تحويل تبادل الفترات

في الرياضيات ، يُعدّ تحويل تبادل الفترات ^{[ 1 ]} نوعًا من الأنظمة الديناميكية التي تُعمّم دوران الدائرة . تتكون فضاءات الطور من الفترة λ ، ويعمل التحويل بتقسيم هذه الفترة إلى عدة فترات فرعية، ثم تبديل هذه الفترات الفرعية. وتظهر هذه التحويلات بشكل طبيعي في دراسة البلياردو المضلع وفي التدفقات التي تحافظ على المساحة .

يترك${\displaystyle n>0}$ودع${\displaystyle \pi }$ليكن تبديلاً على${\displaystyle 1,\dots ,n}$لنفترض متجهًا${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$من الأعداد الحقيقية الموجبة (عرض الفترات الجزئية)، التي تحقق

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

حدد خريطة${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$يُطلق عليه اسم تحويل تبادل الفترات المرتبط بالزوج${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$على النحو التالي. لـ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$يترك

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{و}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

ثم لـ${\displaystyle x\in [0,1]}$، يُعرِّف

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

لو${\displaystyle x}$يقع في الفترة الفرعية${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$. هكذا${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$يؤثر على كل فترة فرعية من الشكل${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$عن طريق الإزاحة ، ويعيد ترتيب هذه الفترات الفرعية بحيث تكون الفترة الفرعية في الموضع${\displaystyle i}$يتم نقله إلى الموضع${\displaystyle \pi (i)}$.

أي تحويل تبادل فترات${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$هو تقابل لـ${\displaystyle [0,1]}$إلى نفسها التي تحافظ على مقياس لوبيغ . وهي متصلة باستثناء عدد محدود من النقاط.

معكوس تحويل تبادل الفترات${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$وهو أيضاً تحويل تبادل فترات. في الواقع، إنه التحويل${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$أين${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$للجميع${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

لو${\displaystyle n=2}$و${\displaystyle \pi =(12)}$(باستخدام رمز الدورة )، وإذا قمنا بتوصيل طرفي الفترة لتكوين دائرة، فإن${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$هي مجرد دوران دائري . وتنص نظرية التوزيع المتساوي لـ Weyl على أنه إذا كان الطول${\displaystyle \lambda _{1}}$إذا كان غير عقلاني ،${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$تتميز هذه الخاصية بأنها إرجودية فريدة . وبصورة تقريبية، هذا يعني أن مدارات النقاط${\displaystyle [0,1]}$موزعة بالتساوي وبشكل منتظم. من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle \lambda _{1}}$إذا كان العدد نسبيًا، فإن كل نقطة من نقاط الفترة تكون دورية ، ويكون دورها هو مقام الكسر.${\displaystyle \lambda _{1}}$(مكتوب بأبسط العبارات).

لو${\displaystyle n>2}$، وقدم${\displaystyle \pi }$يستوفي شروط عدم الانحلال (أي لا يوجد عدد صحيح)${\displaystyle 0<k<n}$بحيث${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$تنص نظرية عميقة، كانت تخمينًا لـ م. كين، ونُسبت بشكل مستقل إلى ويليام أ. فيتش ^{[ 2 ]} وهوارد ماسور ^{[ 3 ]} ، على أنه بالنسبة لجميع الخيارات تقريبًا لـ${\displaystyle \lambda }$في وحدة سيمبلكس${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$تحويل تبادل الفترات${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$وهي مرة أخرى فريدة من نوعها في كونها إرجودية . ومع ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle n\geq 4}$توجد أيضًا خيارات من${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$لهذا السبب.${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$هي إرجودية ولكنها ليست إرجودية بشكل فريد . حتى في هذه الحالات، فإن عدد المقاييس الثابتة الإرجودية لـ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$محدود، وهو على الأكثر${\displaystyle n}$.

تتمتع خرائط الفترات بإنتروبيا طوبولوجية تساوي صفرًا. ^{[ 4 ]}

يمكن فهم عداد المسافات الثنائي على أنه تحويل تبادل فترات لعدد قابل للعد من الفترات. ويُكتب عداد المسافات الثنائي بسهولة على شكل التحويل التالي:

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

مُعرَّف على فضاء كانتور${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$يُعطى التحويل القياسي من فضاء كانتور إلى الفترة [0] بالصيغة التالية:

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

هذا التطبيق هو تشاكل يحافظ على القياس من مجموعة كانتور إلى الفترة [0, 1]، حيث يحوّل قياس برنولي القياسي على مجموعة كانتور إلى قياس ليبيغ على الفترة [0, 1]. يظهر على اليمين تمثيل مرئي لعداد المسافات وأول ثلاث دورات له.

تشمل التعميمات ثنائية الأبعاد وما فوقها عمليات تبادل المضلعات، وعمليات التبادل متعددة السطوح، والتماثلات القطعية . ^{[ 5 ]}

• عداد المسافات

• أرتور أفيلا وجيوفاني فورني، الخلط الضعيف لتحويلات تبادل الفترات وتدفقات الترجمة ، arXiv:math/0406326v1، https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326