عدد الأساس الثابت

في مجال نظرية الحلقات الرياضية ، تتمتع الحلقة R بخاصية عدد الأساس الثابت ( IBN ) إذا كانت جميع الوحدات الحرة المولدة نهائيًا على R ذات رتبة محددة جيدًا. أما في حالة الحقول ، فإن خاصية عدد الأساس الثابت هي أن الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة لها بُعد وحيد .

الحلقة R لها عدد أساسي ثابت (IBN) إذا كان لكل عددين صحيحين موجبين m و n ، فإن R ^m متماثل مع R ⁿ (كوحدات R اليسرى ) يعني أن m = n .

وبصورة مكافئة، هذا يعني أنه لا توجد أعداد صحيحة موجبة مميزة m و n بحيث يكون R ^m متماثلًا مع R ⁿ .

بإعادة صياغة تعريف عدد الأساس الثابت بدلالة المصفوفات، ينص على أنه عندما تكون A مصفوفة من الرتبة m × n على R و B مصفوفة من الرتبة n × m على R بحيث AB = I و BA = I ، فإن m = n . يكشف هذا الشكل أن التعريف متناظر من اليسار إلى اليمين، لذا لا فرق إن عرّفنا عدد الأساس الثابت بدلالة الوحدات اليسرى أو اليمنى؛ فالتعريفان متكافئان. ^{[ 1 ]}

لاحظ أن التشاكلات في التعريفات ليست تشاكلات حلقية، بل هي تشاكلات وحدات، حتى عندما يكون أحد n أو m يساوي 1.

يتمثل الغرض الرئيسي من شرط عدد الأساس الثابت في أن الوحدات الحرة على حلقة IBN تحقق نظيرًا لنظرية الأبعاد في الفضاءات المتجهة : أي قاعدتين لوحدة حرة على حلقة IBN لهما نفس العدد. وبافتراض صحة مبرهنة المرشح الفائق (وهي صيغة أضعف من بديهية الاختيار )، فإن هذه النتيجة مكافئة للتعريف الوارد هنا، ويمكن اعتبارها تعريفًا بديلًا.

يُعرَّف رتبة وحدة نمطية حرة Rn على حلقة IBN R بأنها عدد عناصر الأس m لأي ( وبالتالي كل ) وحدة نمطية R  m  متماثلة مع R n . وبالتالي، تؤكد خاصية IBN أن لكل فئة تماثل من الوحدات النمطية الحرة R رتبة فريدة. لا تُعرَّف الرتبة للحلقات التي لا تحقق خاصية IBN. بالنسبة للفضاءات المتجهة، تُسمى الرتبة أيضًا بالبعد . لذا، فإن النتيجة أعلاه باختصار هي: تُعرَّف الرتبة بشكل فريد لجميع الوحدات النمطية الحرة R إذا وفقط إذا كانت تُعرَّف بشكل فريد للوحدات النمطية الحرة R المولدة نهائيًا .

أي حقل يحقق شرط IBN، وهذا يعني أن الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة لها بُعد محدد جيدًا. علاوة على ذلك، أي حلقة تبديلية (باستثناء الحلقة الصفرية ) تحقق شرط IBN، ^{[ 2 ]} وكذلك أي حلقة نوثرية يسارية وأي حلقة شبه محلية .

من الأمثلة على الحلقات غير الصفرية التي لا تحقق شرط IBN حلقة المصفوفات ذات الأعمدة المنتهية.${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$، المصفوفات ذات المعاملات في حلقة R ، مع فهرسة المدخلات بواسطة${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$وبوجود عدد محدود فقط من العناصر غير الصفرية في كل عمود. يسمح لنا هذا الشرط الأخير بتعريف حاصل ضرب المصفوفات اللانهائية MN ، مما يُعطي بنية الحلقة. تماثل وحدة يسارية${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi$$ :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{أعمدة فردية من }}M,{\text{أعمدة زوجية من }}M)\end{array}}}

تبين أن حلقة المصفوفات اللانهائية هذه متماثلة مع التشاكلات الداخلية لوحدة نمطية حرة يمنى على R ذات رتبة قابلة للعد . ^{[ 3 ]}

انطلاقاً من هذا التشاكل، يمكن إثبات (باختصار)${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$) أن S ≅ S ⁿ لأي عدد صحيح موجب n ، وبالتالي S ⁿ ≅ S ^m لأي عددين صحيحين موجبين m و n . وهناك أمثلة أخرى لحلقات غير IBN لا تتمتع بهذه الخاصية، من بينها جبر ليفيت . ^{[ 4 ]}

يُعدّ شرط IBN شرطًا ضروريًا (ولكنه غير كافٍ) لكي تكون حلقة لا تحتوي على قواسم صفرية قابلة للتضمين في حلقة قسمة (قارن حقل الكسور في الحالة التبديلية). انظر أيضًا شرط Ore .

كل حلقة قسمة غير تافهة أو حلقة منتهية مستقرة لها عدد أساسي ثابت.

يجب أن يكون لكل حلقة تحقق شرط الرتبة (أي أن يكون لها عدد توليد غير محدود ) عدد أساس ثابت. ^{[ 5 ]}

• أبرامز، جين؛ آنه، بي إن (2002)، "بعض الجبر فوق المصفوفي الذي ينشأ كتقاطعات لجبر ليفيت"، مجلة تطبيقات الجبر ، 1 (4): 357-363 ، doi : 10.1142/S0219498802000227 ، ISSN 0219-4988 ، MR 1950131  
• هانغرفورد، توماس و. (1980) [1974]، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  73، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  502+23، ISBN 0-387-90518-9، MR 0600654 إعادة طبع النسخة الأصلية لعام 1974
• لام، تسيت يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  189، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  557+24، ISBN 0-387-98428-3MR 1653294​