الموجة الصوتية الأيونية

في فيزياء البلازما ، تُعدّ الموجة الصوتية الأيونية نوعًا من أنواع التذبذب الطولي للأيونات والإلكترونات في البلازما ، وهي تشبه إلى حد كبير الموجات الصوتية التي تنتقل في الغاز المتعادل. ومع ذلك، نظرًا لأن هذه الموجات تنتشر عبر أيونات موجبة الشحنة، فإنها تتفاعل مع مجالاتها الكهرومغناطيسية ، بالإضافة إلى تفاعلها مع التصادمات البسيطة. في البلازما، يُشار إلى الموجات الصوتية الأيونية غالبًا باسم الموجات الصوتية أو حتى ببساطة الموجات الصوتية. وهي عادةً ما تتحكم في تطور كثافة الكتلة، على سبيل المثال بسبب تدرجات الضغط ، على نطاقات زمنية أطول من التردد المقابل لطول المقياس ذي الصلة. يمكن أن تحدث الموجات الصوتية الأيونية في بلازما غير ممغنطة أو في بلازما ممغنطة موازية للمجال المغناطيسي . بالنسبة لبلازما أحادية النوع من الأيونات وفي حالة الطول الموجي الطويل ، تكون هذه الموجات غير متشتتة .${\displaystyle \omega =v_{s}k}$) بسرعة معطاة بالمعادلة (انظر الاشتقاق أدناه)

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {\gamma _{e}Zk_{\text{B}}T_{e}+\gamma _{i}k_{\text{B}}T_{i}}{M}}}}$

أين${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان ،${\displaystyle M}$كتلة الأيون،${\displaystyle Z}$هذه هي مهمتها،${\displaystyle T_{e}}$هي درجة حرارة الإلكترونات و${\displaystyle T_{i}}$تمثل γ درجة حرارة الأيونات. عادةً ما تُعتبر γ _{e مساويةً للواحد، نظرًا لأن} الموصلية الحرارية للإلكترونات كبيرة بما يكفي للحفاظ على ثبات درجة حرارتها على النطاق الزمني للموجات الصوتية الأيونية، وتُعتبر γ _i مساويةً للثلاثة، وهو ما يتوافق مع الحركة أحادية البعد. في البلازما عديمة التصادم ، غالبًا ما تكون الإلكترونات أكثر سخونةً من الأيونات، وفي هذه الحالة يمكن إهمال الحد الثاني في البسط.

نستنتج علاقة تشتت الموجات الصوتية الأيونية لوصف سائل خطي للبلازما مع الإلكترونات و${\textstyle N}$أنواع الأيونات. نكتب كل كمية على النحو التالي:${\displaystyle X=X_{0}+\delta \cdot X_{1}}$حيث يشير الرمز السفلي 0 إلى قيمة التوازن الثابتة "من الدرجة الصفرية"، ويشير الرمز 1 إلى الاضطراب من الدرجة الأولى. ${\displaystyle \delta }$يمثل معامل ترتيب لعملية التخطيط الخطي، وقيمته الفيزيائية تساوي 1. وللتخطيط الخطي، نوازن جميع الحدود في كل معادلة من نفس الرتبة في${\displaystyle \delta }$الحدود التي تتضمن فقط كميات ذات رمز صفري هي جميعها من الرتبة${\displaystyle \delta ^{0}}$ويجب أن تكون متوازنة، والشروط التي تحتوي على كمية واحدة ذات رمز سفلي يساوي 1 هي جميعها شروط ترتيب.${\displaystyle \delta ^{1}}$والتوازن. نتعامل مع المجال الكهربائي على أنه من الرتبة الأولى (${\displaystyle {\vec {E}}_{0}=0}$) وإهمال المجالات المغناطيسية.

كل نوع${\displaystyle s}$يتم وصفها بالكتلة${\displaystyle m_{s}}$، تكلفة${\displaystyle q_{s}=Z_{s}e}$كثافة العدد${\displaystyle n_{s}}$سرعة التدفق${\displaystyle {\vec {u}}_{s}}$والضغط${\displaystyle p_{s}}$نفترض أن اضطرابات الضغط لكل نوع هي عملية متعددة الخواص ، أي${\displaystyle p_{s1}=\gamma _{s}T_{s0}n_{s1}}$بالنسبة للأنواع${\displaystyle s}$لتبرير هذا الافتراض وتحديد قيمة${\displaystyle \gamma _{s}}$يجب استخدام معالجة حركية تحل دوال توزيع الأنواع في فضاء السرعة. ويحل افتراض البوليتوب أساسًا محل معادلة الطاقة.

كل نوع يحقق معادلة الاستمرارية$${\displaystyle \partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0}$$ومعادلة الزخم

$//$.

نقوم الآن بالتحويل إلى معادلات خطية، ونتعامل مع معادلات من الرتبة الأولى. بما أننا لا نتعامل مع${\displaystyle T_{s1}}$بسبب افتراض البوليتوبية (لكننا لا نفترض أنها تساوي صفرًا)، ولتبسيط الترميز نستخدم${\displaystyle T_{s}}$ل${\displaystyle T_{s0}}$باستخدام معادلة استمرارية الأيونات، تصبح معادلة زخم الأيونات

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}}$

نربط المجال الكهربائي${\displaystyle {\vec {E}}_{1}}$بالنسبة لكثافة الإلكترون بواسطة معادلة زخم الإلكترون:

${\displaystyle n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}}$

نتجاهل الآن الجانب الأيسر، وهو ناتج عن قصور الإلكترونات. هذا صحيح بالنسبة للموجات ذات الترددات الأقل بكثير من تردد بلازما الإلكترونات.${\displaystyle (n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$هذا تقريب جيد لـ${\displaystyle m_{i}\gg m_{e}}$مثل المادة المتأينة، ولكن ليس في حالات مثل بلازما الإلكترون-فجوة في أشباه الموصلات، أو بلازما الإلكترون-بوزيترون. المجال الكهربائي الناتج هو

${\displaystyle {\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}}$

بما أننا قد حللنا بالفعل المجال الكهربائي، فلا يمكننا إيجاده من معادلة بواسون . وترتبط معادلة زخم الأيون الآن بـ${\displaystyle n_{i1}}$لكل نوع من الأنواع${\displaystyle n_{e1}}$:

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}}$

نتوصل إلى علاقة تشتت عبر معادلة بواسون:

${\displaystyle {\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{e0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]}$

الحد الأول بين قوسين على اليمين يساوي صفرًا بافتراض (توازن الشحنة المتعادلة). نعوض عن المجال الكهربائي ونعيد الترتيب لإيجاد

${\displaystyle (1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}}$.

${\displaystyle \lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})}$يُحدد طول ديباي للإلكترون . وينشأ الحد الثاني على اليسار من${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}}$ويعكس هذا المصطلح مدى عدم حيادية الشحنة في الاضطراب. إذا${\displaystyle k\lambda _{De}}$إذا كانت القيمة صغيرة، فقد نتجاهل هذا الحد. يُطلق على هذا التقريب أحيانًا اسم تقريب البلازما.

نعمل الآن في فضاء فورييه، ونكتب كل حقل من الرتبة الأولى على النحو التالي:${\displaystyle X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+cc}$ نحذف علامة التلدة لأن جميع المعادلات تنطبق الآن على سعات فورييه، ونجد

${\displaystyle n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}}$

${\displaystyle v_{s}=\أوميغا /ك}$تمثل سرعة طور الموجة . بالتعويض بهذه القيمة في معادلة بواسون، نحصل على تعبير يكون فيه كل حد متناسبًا مع${\displaystyle n_{e1}}$لإيجاد علاقة التشتت للأنماط الطبيعية، نبحث عن حلول لـ${\displaystyle n_{e1}}$غير صفري، وابحث عن:

${\displaystyle \gamma _{e}T_{e}\left\langle {Z_{i}^{2} \over m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}}\right\rangle =\langle Z_{i}\rangle (1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2})}$.

ديسبجن

${\displaystyle n_{i1}=f_{i}n_{I1}}$أين${\displaystyle n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}}$لذا فإن كسور الأيونات تحقق${\displaystyle \Sigma _{i}f_{i}=1}$، و${\displaystyle \langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i}}$هو المتوسط ​​على أنواع الأيونات. صيغة هذه المعادلة بدون وحدات هي

${\displaystyle {\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle}\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}}$

مع${\displaystyle A_{i}=m_{i}/m_{u}}$،${\displaystyle m_{u}}$هي وحدة الكتلة الذرية،${\displaystyle u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e}}$، و

${\displaystyle \tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}}$

لو${\displaystyle k\lambda _{De}}$إذا كانت قيمة صغيرة (تقريب البلازما)، فيمكننا إهمال الحد الثاني في الطرف الأيمن، وتكون الموجة غير متشتتة.${\displaystyle \omega =v_{s}k}$مع${\displaystyle v_{s}}$مستقل عن k.

يمكن صياغة علاقة التشتت العامة المذكورة أعلاه للموجات الصوتية الأيونية في شكل متعدد حدود من الدرجة N (لـ N نوعًا من الأيونات) في${\displaystyle u^{2}}$يجب أن تكون جميع الجذور موجبة حقيقية، لأننا أهملنا التخميد. علامتا${\displaystyle u}$يتوافق ذلك مع الموجات المتحركة يمينًا ويسارًا. بالنسبة لنوع أيوني واحد،

${\displaystyle v_{s}^{2}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over m_{i}}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}\left[{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over Z_{i}\gamma _{e}T_{e}}\right]}$

سنتناول الآن أنواعًا متعددة من الأيونات، وذلك في الحالة الشائعة.${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$. ل${\displaystyle T_{i}=0}$، علاقة التشتت لها N-1 جذرًا منحلًا${\displaystyle u^{2}=0}$وجذر واحد غير صفري

${\displaystyle v_{s}^{2}(T_{i}=0)\equiv {\gamma _{e}T_{e}/m_{u} \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}{\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle \over \langle Z_{i}\rangle }}$

يُطلق على هذا الجذر غير الصفري اسم "الوضع السريع"، لأن${\displaystyle v_{s}}$عادةً ما تكون أكبر من جميع السرعات الحرارية للأيونات. الحل التقريبي للوضع السريع لـ${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$يكون

${\displaystyle v_{s}^{2}\approx v_{s}^{2}(T_{i}=0)+{\langle Z_{i}^{2}\gamma _{i}T_{i}/A_{i}^{2}\rangle \over m_{u}\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle }}$

الجذور N-1 التي تساوي صفرًا لـ${\displaystyle T_{i}=0}$تُسمى هذه الأوضاع "الأوضاع البطيئة"، لأنها${\displaystyle v_{s}}$يمكن أن تكون قابلة للمقارنة أو أقل من السرعة الحرارية لواحد أو أكثر من أنواع الأيونات.

من الحالات المهمة في مجال الاندماج النووي مزيج متساوي المولات من أيونات الديوتيريوم والتريتيوم (${\displaystyle f_{D}=f_{T}=1/2}$لنتخصص في التأين الكامل (${\displaystyle Z_{D}=Z_{T}=1}$)، درجات حرارة متساوية (${\displaystyle T_{e}=T_{i}}$), أسس البوليتروب${\displaystyle \gamma _{e}=1,\gamma _{i}=3}$وإهمال${\displaystyle (k\lambda _{De})^{2}}$المساهمة. تصبح علاقة التشتت معادلة تربيعية في${\displaystyle v_{s}^{2}}$، أي:

${\displaystyle 2A_{D}A_{T}u^{4}-7(A_{D}+A_{T})u^{2}+24=0}$

استخدام${\displaystyle (A_{D},A_{T})=(2.01,3.02)}$نجد أن الجذرين هما${\displaystyle u^{2}=(1.10,1.81)}$.

ومن الحالات الأخرى المثيرة للاهتمام حالة وجود نوعين من الأيونات ذات كتل مختلفة جدًا. ومن الأمثلة على ذلك خليط من الذهب (A=197) والبورون (A=10.8)، وهو ما يحظى باهتمام كبير حاليًا في تجاويف هولراوم لأبحاث الاندماج بالقصور الذاتي المُحفَّز بالليزر. وللحصول على مثال ملموس، انظر إلى${\displaystyle \gamma _{e}=1}$و${\displaystyle \gamma _{i}=3,T_{i}=T_{e}/2}$بالنسبة لكلا نوعي الأيونات، وحالات الشحنة Z=5 للبورون وZ=50 للذهب. نترك الكسر الذري للبورون.${\displaystyle f_{B}}$غير محدد (ملاحظة)${\displaystyle f_{Au}=1-f_{B}}$). هكذا،${\displaystyle {\bar {Z}}=50-45f_{B},\tau _{B}=0.139,\tau _{Au}=0.00761,F_{B}=2.31f_{B}/{\bar {Z}},}$و${\displaystyle F_{Au}=12.69(1-f_{B})/{\bar {Z}}}$.

تتلاشى الموجات الصوتية الأيونية بفعل تصادمات كولوم وتخميد لاندو غير التصادمي . ويحدث تخميد لاندو على كل من الإلكترونات والأيونات، وتختلف أهميته النسبية باختلاف المعاملات.

• الموجات في البلازما
• صوت
• موجة ألفين
• موجة مغناطيسية صوتية

• براءات اختراع ومقالات متنوعة تتعلق بالاندماج النووي، واللجنة الكهروتقنية الدولية، واللجنة الكهروتقنية الدولية، وفيزياء البلازما