موجة مغناطيسية صوتية

في سائل مثالي موصل كهربائياً مع مجال مغناطيسي متجانس B ، فإن المجموعة المغلقة من معادلات الديناميكا المغناطيسية المائية التي تتكون من معادلة الحركة، ومعادلة الاستمرارية، ومعادلة الحالة، ومعادلة الحث المثالية (انظر الديناميكا المغناطيسية المائية §  المعادلات ) الخطية حول حالة توازن ثابتة حيث يكون الضغط p والكثافة ρ منتظمين وثابتين هي: $$\begin{aligned}\rho_{0}{\frac{\partial\mathbf{v}_{1}}{\partial t}}&=\frac{(\nabla \times\mathbf{B}_{1})\times\mathbf{B}_{0}}{\mu_{0}}}-\nabla p_{1},\\{\frac{\partial\rho_{1}}{\partial t}}+\rho_{0}\nabla \cdot\mathbf{v}_{1}&=0,\\{\frac{\partial}{\partial t}}\left(\frac{p_{1}}{p_{0}}}-\frac{\gamma\rho_{1}}{\rho_{0}}}\right)&=0,\\{\frac{\partial \mathbf {B} _{1}}{\partial t}}&=\nabla \times (\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {B} _{0}),\end{aligned}}}$$ حيث تحمل كميات التوازن الرموز السفلية 0، والاضطرابات الرموز السفلية 1، _و γ هو معامل التمدد الأديباتي ، و μ₀ هي نفاذية الفراغ . وبالبحث عن حل على شكل تراكب لموجات مستوية تتغير وفقًا للمعادلة exp[ i ( k ⋅ x − ωt ) ] ، حيث k متجه الموجة و ω التردد الزاوي ، يمكن إعادة صياغة معادلة الحركة الخطية على النحو التالي: $${\displaystyle -\omega \rho _{0}\mathbf {v} _{1}={\frac {(\mathbf {k} \times \mathbf {B} _{1})\times \mathbf {B} _{0}}{\mu _{0}}}-\mathbf {k} p_{1}.}$$ وبافتراض أن ω ≠ 0 ، يمكن حل المعادلات المتبقية لإيجاد الكميات المضطربة بدلالة v ₁ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=\rho _{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},\\p_{1}&=\gamma p_{0}{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1}}{\omega }},\\\mathbf {B} _{1}&={\frac {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} _{1})\mathbf {B} _{0}-(\mathbf {k} \cdot \mathbf {B} _{0})\mathbf {v} _{1}}{\omega }}.\end{aligned}}}$$ دون الإخلال بعمومية الحل، يمكننا افتراض أن المحور z موجه على طول B₀ وأن متجه الموجة _k يقع في المستوى xz بمركبتين k∥ و k⊥ موازيتين وعموديتين على B₀ _على التوالي. وبتعويض الكميات المضطربة، تُختزل معادلة الحركة إلى معادلة القيم _{الذاتية .}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega ^{2}-v_{A}^{2}k^{2}-c_{s}^{2}k_{\perp }^{2}&0&-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }\\0&\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}&0\\-c_{s}^{2}k_{\parallel }k_{\perp }&0&\omega ^{2}-c_{s}^{2}k_{\parallel }^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x1}\\v_{y1}\\v_{z1}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$$ حيث c _s = √ γ p ₀ / ρ ₀ هي سرعة الصوت ، و v _A = B ₀ / √ μ ₀ ρ ₀ هي سرعة ألفين . وبجعل المحدد يساوي صفرًا، نحصل على علاقة التشتت. $${\displaystyle \left(\omega ^{2}-v_{A}^{2}k_{\parallel }^{2}\right)\left(\omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}\right)=0}$$ أين $${\displaystyle \textstyle c_{ms}={\sqrt {v_{A}^{2}+c_{s}^{2}}}}$$ هي سرعة الموجات المغناطيسية الصوتية . لهذه العلاقة التشتتية ثلاثة جذور مستقلة: جذر واحد يُمثل موجة ألفين، والجذران الآخران يُمثلان أنماط الموجات المغناطيسية الصوتية. من معادلة القيم الذاتية، ينفصل المركب ^y لاضطراب _السرعة عن المركبين الآخرين، مما يُعطي علاقة التشتت _ω²A ⁼ v²Ak²∥ لموجة ألفين ^. _{المعادلة} التربيعية الثنائية المتبقية $${\displaystyle \omega ^{4}-\omega ^{2}k^{2}c_{ms}^{2}+k^{2}k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}=0}$$ هي علاقة التشتت لأنماط الموجات المغناطيسية الصوتية السريعة والبطيئة. ولها جذور $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k^{2}}{2}}\left(c_{ms}^{2}\pm {\sqrt {c_{ms}^{4}-4k_{\parallel }^{2}v_{A}^{2}c_{s}^{2}/k^{2}}}\right)}$$ حيث تشير الإشارة العلوية إلى وضع المغناطيسية الصوتية السريعة وتشير الإشارة السفلية إلى وضع المغناطيسية الصوتية البطيئة.