التراجع متساوي التوتر

في الإحصاء والتحليل العددي ، يعتبر الانحدار المتساوي أو الانحدار الرتيب أسلوبًا لتركيب خط حر الشكل على سلسلة من الملاحظات بحيث يكون الخط الملائم غير متناقص (أو غير متزايد) في كل مكان، ويقع بالقرب من الملاحظات قدر الإمكان.

يُستخدم الانحدار المتساوي في الاستدلال الإحصائي . على سبيل المثال، يمكن استخدامه لملاءمة منحنى متساوي مع متوسطات مجموعة من النتائج التجريبية عندما يُتوقع ازدياد هذه المتوسطات وفق ترتيب معين. ومن مزايا الانحدار المتساوي أنه لا يتقيد بأي شكل دالي، كالخطية التي يفرضها الانحدار الخطي ، طالما أن الدالة متزايدة بشكل رتيب.

من التطبيقات الأخرى التحجيم متعدد الأبعاد غير المتري ^{[ 1 ]} ، حيث يُبحث عن تمثيل منخفض الأبعاد لنقاط البيانات بحيث يتطابق ترتيب المسافات بين النقاط في التمثيل مع ترتيب الاختلاف بينها. ويُستخدم الانحدار المتساوي بشكل تكراري لضبط المسافات المثالية للحفاظ على ترتيب الاختلاف النسبي.

يُستخدم الانحدار المتساوي التوتر أيضًا في التصنيف الاحتمالي لمعايرة الاحتمالات المتوقعة لنماذج التعلم الآلي الخاضعة للإشراف . ^{[ 2 ]}

الانحدار المتساوي التوتر للحالة المرتبة ببساطة مع متغير واحد${\displaystyle x,y}$وقد طُبقت هذه الطريقة لتقدير علاقات الاستجابة للجرعة المستمرة في مجالات مثل التخدير وعلم السموم. وبشكل أدق، لا يوفر الانحدار متساوي التوتر سوى تقديرات نقطية عند القيم المرصودة لـ${\displaystyle x.}$يتم عادةً تقدير منحنى الاستجابة للجرعة الكامل دون أي افتراضات إضافية عن طريق الاستيفاء الخطي بين تقديرات النقاط. ^{[ 3 ]}

تم تطوير برامج لحساب الانحدار المتساوي (الرتيب) للغات R ، ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} و Stata و Python . ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$لنفترض مجموعة معينة من الملاحظات، حيث${\displaystyle y_{i}\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle x_{i}}$تقع ضمن مجموعة مرتبة جزئياً . وللتعميم، كل ملاحظة${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$قد يُعطى وزناً${\displaystyle w_{i}\geq 0}$، على الرغم من شيوعها${\displaystyle w_{i}=1}$للجميع${\displaystyle i}$.

يسعى الانحدار المتساوي التوتر إلى إيجاد أفضل ملاءمة باستخدام طريقة المربعات الصغرى الموزونة${\displaystyle {\hat {y}}_{i}\approx y_{i}}$للجميع${\displaystyle i}$مع مراعاة القيد التالي:${\displaystyle {\hat {y}}_{i}\leq {\hat {y}}_{j}}$حينما${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$وهذا يُعطي البرنامج التربيعي التالي (QP) بدلالة المتغيرات${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\ldots ,{\hat {y}}_{n}}$:

${\displaystyle \min \sum _{i=1}^{n}w_{i}({\hat {y}}_{i}-y_{i})^{2}}$رهناً بـ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}\leq {\hat {y}}_{j}{\text{ لجميع }}(i,j)\in E}$

أين${\displaystyle E=\{(i,j):x_{i}\leq x_{j}\}}$يحدد الترتيب الجزئي للمدخلات المرصودة${\displaystyle x_{i}}$(ويمكن اعتبارها مجموعة حواف رسم بياني موجه غير دوري (dag) ذي رؤوس${\displaystyle 1,2,\ldots n}$). يمكن حل المشكلات من هذا النوع باستخدام تقنيات البرمجة التربيعية العامة.

في السياق المعتاد حيث${\displaystyle x_{i}}$تندرج القيم ضمن مجموعة مرتبة ترتيباً كلياً مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$، يمكننا أن نفترض دون فقدان العمومية أن المشاهدات قد تم فرزها بحيث${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}}$وخذ${\displaystyle E=\{(i,i+1):1\leq i<n\}}$في هذه الحالة، تُعد خوارزمية تجميع المخالفين المتجاورين خوارزمية تكرارية بسيطة لحل البرنامج التربيعي . في المقابل، درس بيست وشاكرافارتي ^{[ 8 ]} المشكلة باعتبارها مشكلة تحديد مجموعة فعالة ، واقترحا خوارزمية أولية. يمكن اعتبار هاتين الخوارزميتين متقابلتين، ولكل منهما تعقيد حسابي قدره${\displaystyle O(n)}$على البيانات المصنفة مسبقًا. ^{[ 8 ]}

لإكمال مهمة الانحدار المتساوي التوتر، يمكننا بعد ذلك اختيار أي دالة غير متناقصة${\displaystyle f(x)}$بحيث${\displaystyle f(x_{i})={\hat {y}}_{i}}$لكل i. من الواضح أن أي دالة من هذا القبيل تحل

${\displaystyle \min _{f}\sum _{i=1}^{n}w_{i}(f(x_{i})-y_{i})^{2}}$رهناً بـ${\displaystyle f}$كونها غير متناقصة

ويمكن استخدامها للتنبؤ بـ${\displaystyle y}$قيم القيم الجديدة لـ${\displaystyle x}$خيار شائع عندما${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$يتمثل الحل في إجراء استيفاء خطي بين النقاط${\displaystyle (x_{i},{\hat {y}}_{i})}$كما هو موضح في الشكل، مما ينتج عنه دالة خطية متصلة ومجزأة:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\hat {y}}_{1}&{\text{إذا كان }}x\leq x_{1}\\{\hat {y}}_{i}+{\frac {x-x_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}({\hat {y}}_{i+1}-{\hat {y}}_{i})&{\text{إذا كان }}x_{i}\leq x\leq x_{i+1}\\{\hat {y}}_{n}&{\text{إذا كان }}x\geq x_{n}\end{cases}}}$

كما يوضح الشكل الأول في هذه المقالة، في حالة وجود انتهاكات للرتابة، فإن المنحنى الناتج عن الاستيفاء سيكون له فترات ثابتة. ومن المعروف عادةً في تطبيقات استجابة الجرعة أن${\displaystyle f(x)}$ليست رتيبة فحسب، بل سلسة أيضًا . الفواصل الموسيقية المسطحة لا تتوافق مع${\displaystyle f(x)}$الشكل المفترض، ويمكن إثبات تحيزه. وقد طوّر أورون وفلورنوي تحسينًا بسيطًا لمثل هذه التطبيقات، يُسمى الانحدار المتساوي التوتر المركزي (CIR)، وأثبت أنه يقلل بشكل كبير من خطأ التقدير في كل من تطبيقات استجابة الجرعة وتحديد الجرعة. ^{[ 9 ]} يتم تطبيق كل من CIR والانحدار المتساوي التوتر القياسي للحالة أحادية المتغير والمرتبة ببساطة، في حزمة R المسماة "cir". ^{[ 4 ]} توفر هذه الحزمة أيضًا تقديرات فترات الثقة التحليلية.

• روبرتسون، ت.؛ رايت، ف. ت.؛ ديكسترا، ر. ل. (1988). الاستدلال الإحصائي المقيد بالترتيب . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-91787-8.
• بارلو، ر. إي.؛ بارثولوميو، د. ج.؛ بريمنر، ج. م.؛ برونك، هـ. د. (1972). الاستدلال الإحصائي في ظل قيود الترتيب؛ نظرية وتطبيق الانحدار المتساوي . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-04970-8.
• شيفلي، تي إس، ساجر، تي دبليو، ووكر، إس جي (2009). "نهج بايزي لتقدير الدوال الرتيبة غير البارامترية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 71 (1): 159-175 . CiteSeerX 10.1.1.338.3846 . doi : 10.1111/j.1467-9868.2008.00677.x . S2CID 119761196 .  {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• وو، دبليو بي ؛ وودروف، إم ؛ مينتز، جي (2001). "الانحدار المتساوي التوتر: نظرة أخرى على مشكلة نقطة التغير". بيومتريكا . 88 (3): 793-804 . doi : 10.1093/biomet/88.3.793 .