إجمالي الطلب

في الرياضيات ، الترتيب الكلي أو الترتيب الخطي هو ترتيب جزئي يمكن فيه مقارنة أي عنصرين. أي أن الترتيب الكلي هو علاقة ثنائية $\leq$ في موقع تصوير ما $X$ ، وهو ما يحقق ما يلي لجميع $a,b$ و $c$ في $X$ :

$a\leq a$ ( انعكاسي ).
لو $a\leq b$ و $b\leq c$ ثم $a\leq c$ ( فعل متعدٍ ).
لو $a\leq b$ و $b\leq a$ ثم $a=b$ ( متناظر عكسيًا ).
$a\leq b$ أو $b\leq a$ ( مرتبط بقوة ، وكان يسمى سابقًا بالكلية).

تُشكّل المتطلبات من 1 إلى 3 تعريفًا للترتيب الجزئي. وتنتج خاصية الانعكاسية (1) تلقائيًا من خاصية الترابط القوي (4)، إلا أن العديد من المؤلفين يشترطونها صراحةً للدلالة على صلتها بالترتيبات الجزئية. ^{[ 1 ]} وتُسمى الترتيبات الكلية أحيانًا بالترتيبات البسيطة ، ^{[ 2 ]} أو المترابطة ، ^{[ 3 ]} أو الكاملة . ^{[ 4 ]}

تُسمى المجموعة التي تتمتع بترتيب كلي مجموعة مرتبة كليًا ؛ ^{[ 5 ]} وتُستخدم أيضًا المصطلحات التالية : المجموعة المرتبة ببساطة ، ^{[ 2 ]} والمجموعة المرتبة خطيًا ، ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]} والمجموعة المرتبة كليًا ^{[ 6 ]} والمجموعة المرتبة جزئيًا ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} . يُعرَّف مصطلح " السلسلة" أحيانًا كمرادف للمجموعة المرتبة كليًا ، ^{[ 5 ]} ولكنه يشير عمومًا إلى مجموعة فرعية مرتبة كليًا من مجموعة مرتبة جزئيًا معينة.

يُطلق على امتداد الترتيب الجزئي المعطى إلى ترتيب كلي اسم الامتداد الخطي لهذا الترتيب الجزئي.

إجمالي الطلبات الصارمة وغير الصارمة

لأغراض التحديد، يُطلق أحيانًا على الترتيب الكلي كما هو مُعرّف أعلاه اسم الترتيب غير الصارم . لكل ترتيب كلي (غير صارم) $\leq$ توجد علاقة مترابطة $<$ ، والتي تُسمى النظام الكلي الصارم المرتبط بـ $\leq$ يمكن تعريف ذلك بطريقتين متكافئتين:

$a<b$ لو $a\leq b$ و $a\neq b$ ( الاختزال الانعكاسي ).
$a<b$ وإلا $b\leq a$ (أي، $<$ هو مكمل عكس $\leq$ ).

وعلى النقيض من ذلك، فإن الإغلاق الانعكاسي لنظام كلي صارم $<$ هو أمر كلي (غير صارم).

وبالتالي، فإن الترتيب الكلي الصارم على مجموعة $X$ هو أمر جزئي صارم بشأن $X$ حيث يمكن مقارنة أي عنصرين مختلفين. أي أن الترتيب الكلي الصارم هو علاقة ثنائية $<$ في موقع تصوير ما $X$ ، وهو ما يحقق ما يلي لجميع $a,b$ و $c$ في $X$ :

لا $a<a$ ( غير انعكاسي ).
لو $a<b$ ثم لا $b<a$ ( غير متماثل ).
لو $a<b$ و $b<c$ ثم $a<c$ ( فعل متعدٍ ).
لو $a\neq b$ ، ثم $a<b$ أو $b<a$ ( متصل ).

ينتج عدم التناظر عن التعدي وعدم الانعكاس؛ ^{[ أ ]} علاوة على ذلك، ينتج عدم الانعكاس عن عدم التناظر. ^{[ ب ]}

أمثلة

أي مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة كليًا X $تكون$ مرتبة كليًا بالنسبة لتقييد الترتيب على $X.$
الترتيب الفريد على المجموعة الفارغة، $\emptyset$ ، هو ترتيب كلي.
أي مجموعة من الأعداد الترتيبية (وبشكل أدق، هذه ترتيبات جيدة ).
إذا كانت $X$ أي مجموعة و $f$ إذا كانت الدالة $f$ دالة حقنية من $X$ إلى مجموعة مرتبة كليًا، فإنها تحفز ترتيبًا كليًا على $X$ عن طريق وضع $x$ $1$ $\leq$ $x$ $2$ إذا وفقط إذا كان $f$ $($ $x$ $1$ $) \leq$ $f$ $($ $x$ $2$ $)$ .
إن الترتيب المعجمي على حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة من المجموعات المرتبة ترتيبًا كليًا، المفهرسة بواسطة مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا ، هو في حد ذاته ترتيب كلي.
تُعتبر مجموعة الأعداد الحقيقية المرتبة وفقًا لعلاقات "أصغر من أو يساوي" (≤) أو "أكبر من أو يساوي" (≥) مرتبة ترتيبًا كليًا. وبالتالي، فإن كل مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية مرتبة ترتيبًا كليًا، مثل الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد النسبية . ويمكن إثبات أن كل مجموعة من هذه المجموعات هي المثال الأولي الوحيد (حتى تماثل الترتيب ) لمجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا تتمتع بخاصية معينة، (هنا، يكون الترتيب الكلي A أوليًا لخاصية ما، إذا كان هناك تماثل ترتيب من A إلى أي مجموعة جزئية من B تتمتع بهذه الخاصية ): ^[⁹^]
- تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة أولية غير فارغة مرتبة كليًا بدون حد أعلى .
- تشكل الأعداد الصحيحة مجموعة أولية غير فارغة مرتبة كليًا بدون حد أعلى أو حد أدنى .
- تشكل الأعداد النسبية مجموعةً أوليةً مرتبةً كليًا، وهي كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية. علاوةً على ذلك، فإن الاختزال الانعكاسي < هو ترتيب كثيف على الأعداد النسبية.
- تشكل الأعداد الحقيقية مجموعة أولية غير محدودة مرتبة كليًا ومتصلة في طوبولوجيا الترتيب (المحددة أدناه).
الحقول المرتبة مرتبة كليًا بحكم تعريفها. وهي تشمل الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. يحتوي كل حقل مرتب على حقل فرعي مرتب متماثل مع الأعداد النسبية. أي حقل مرتب كامل وفقًا لمعيار ديديكيند متماثل مع الأعداد الحقيقية.
إن ترتيب حروف الأبجدية وفقًا لترتيب القاموس القياسي ، على سبيل المثال، $A < B < C$ وما إلى ذلك، هو ترتيب كلي صارم.

السلاسل

يُستخدم مصطلح " السلسلة" أحيانًا كمرادف لمجموعة مرتبة كليًا، ولكنه يُستخدم عمومًا للإشارة إلى مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا مرتبة كليًا وفقًا للترتيب المُستحث. ^{[ 1 ]}^{[ 10 ]} عادةً، تكون المجموعة المرتبة جزئيًا مجموعة من المجموعات الجزئية لمجموعة معينة مرتبة بالاحتواء، ويُستخدم المصطلح لوصف خصائص مجموعة السلاسل. يُفسر هذا العدد الكبير من مستويات المجموعات المتداخلة فائدة هذا المصطلح.

من الأمثلة الشائعة لاستخدام مصطلح "سلسلة" للإشارة إلى المجموعات الجزئية المرتبة كليًا، مبرهنة زورن التي تنص على أنه إذا كان لكل سلسلة في مجموعة مرتبة جزئيًا $X$ حد أعلى في $X$ ، فإن $X$ تحتوي على عنصر أقصى واحد على الأقل. ^{[ 11 ]} تُستخدم مبرهنة زورن عادةً مع $X$ كمجموعة من المجموعات الجزئية؛ في هذه الحالة، يُحسب الحد الأعلى بإثبات أن اتحاد عناصر سلسلة في $X$ ينتمي إلى $X.$ هذه هي الطريقة المُستخدمة عمومًا لإثبات أن فضاءً متجهيًا له قواعد هامل وأن حلقةً لها مُثُل قصوى .

في بعض السياقات، تكون السلاسل التي يتم النظر فيها متماثلة الترتيب مع الأعداد الطبيعية بترتيبها المعتاد أو ترتيبها المعاكس . في هذه الحالة، يمكن تعريف السلسلة بأنها متتالية رتيبة ، وتُسمى سلسلة تصاعدية أو سلسلة تنازلية ، اعتمادًا على ما إذا كانت المتتالية متزايدة أو متناقصة. ^{[ 12 ]}

تتمتع المجموعة المرتبة جزئيًا بشرط السلسلة التنازلية إذا استقرت كل سلسلة تنازلية في النهاية. ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، يكون الترتيب مؤسسًا جيدًا إذا كان يتمتع بشرط السلسلة التنازلية. وبالمثل، يعني شرط السلسلة التصاعدية أن كل سلسلة تصاعدية تستقر في النهاية. على سبيل المثال، الحلقة النويثرية هي حلقة تحقق مُثُلها شرط السلسلة التصاعدية.

في سياقات أخرى، تُؤخذ في الاعتبار فقط السلاسل التي تُمثل مجموعات منتهية . في هذه الحالة، يُشار إلى السلسلة المنتهية بـ " سلسلة منتهية" . في هذه الحالة، يُعرَّف طول السلسلة بأنه عدد المتباينات (أو احتواءات المجموعات) بين العناصر المتتالية في السلسلة؛ أي عدد العناصر في السلسلة ناقص واحد. ^[¹⁴^] وبالتالي، فإن المجموعة الأحادية هي سلسلة طولها صفر، والزوج المرتب هو سلسلة طولها واحد. غالبًا ما يُعرَّف بُعد الفضاء أو يُوصَف بأنه أقصى طول لسلاسل الفضاءات الجزئية. على سبيل المثال، بُعد الفضاء المتجهي هو أقصى طول لسلاسل الفضاءات الجزئية الخطية ، وبُعد كرول للحلقة التبديلية هو أقصى طول لسلاسل المُثُل الأولية .

قد يُستخدم مصطلح "سلسلة" أيضًا للإشارة إلى بعض المجموعات الفرعية المرتبة كليًا من البنى التي لا تُعدّ مجموعات مرتبة جزئيًا. ومن الأمثلة على ذلك السلاسل المنتظمة لكثيرات الحدود. ومثال آخر هو استخدام "سلسلة" كمرادف لكلمة " مسار " في الرسم البياني .

مفاهيم إضافية

نظرية الشبكة

يمكن تعريف المجموعة المرتبة كليًا على أنها نوع خاص من الشبكات ، أي تلك التي يكون لدينا فيها

\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}

لكل a و b .

ثم نكتب a ≤ b إذا وفقط إذا $a=a\wedge b$ وبالتالي فإن المجموعة المرتبة كليًا هي شبكة توزيعية .

إجمالي الطلبات محدود

يمكن التحقق من خلال عدّ بسيط أن أي مجموعة مرتبة كليًا منتهية غير فارغة (وبالتالي أي مجموعة جزئية غير فارغة منها) تحتوي على أصغر عنصر. لذا، فإن كل ترتيب كلي منتهٍ هو في الواقع ترتيب جيد . يمكن إثبات أن كل ترتيب كلي منتهٍ متماثل ترتيبيًا مع ترتيب ترتيبي ، إما عن طريق برهان مباشر أو بملاحظة أن كل ترتيب جيد متماثل ترتيبيًا مع ترتيب ترتيبي ، وأن كل ترتيب كلي منتهٍ متماثل ترتيبيًا مع جزء أولي من الأعداد الطبيعية المرتبة حسب الترتيب ω. بعبارة أخرى، يُنشئ الترتيب الكلي على مجموعة تحتوي على k عنصرًا تقابلًا مع أول k عدد طبيعي. لذلك، من الشائع فهرسة الترتيبات الكلية المنتهية أو الترتيبات الجيدة من النوع ω بالأعداد الطبيعية بطريقة تحافظ على الترتيب (إما بدءًا من الصفر أو من الواحد).

نظرية الفئات

تشكل المجموعات المرتبة كليًا فئة فرعية كاملة من فئة المجموعات المرتبة جزئيًا ، حيث تكون التشكلات عبارة عن دوال تحترم الترتيب، أي دوال f بحيث إذا كان a ≤ b فإن f ( a ) ≤ f ( b ).

إن التطبيق التقابلي بين مجموعتين مرتبتين كليًا والذي يحترم الترتيبين هو تماثل في هذه الفئة.

طوبولوجيا النظام

لأي مجموعة مرتبة كليًا $X،$ يمكننا تعريف الفترات المفتوحة

$(أ ، ب) = {س | أ < س و س < ب}$ ،
$(-\infty, b) = {x | x < b}$ ,
$(أ ، \infty) = {س | أ < س}$ ، و
$(-\infty, \infty) = X$ .

يمكننا استخدام هذه الفترات المفتوحة لتعريف طوبولوجيا على أي مجموعة مرتبة، وهي طوبولوجيا الترتيب .

عند استخدام أكثر من ترتيب على مجموعة ما، يُشار إلى بنية الترتيب الناتجة عن ترتيب معين. على سبيل المثال، إذا كانت N هي الأعداد الطبيعية، و< تعني أصغر من و > تعني أكبر من، فقد نشير إلى بنية الترتيب على N الناتجة عن < وبنية الترتيب على N الناتجة عن > (في هذه الحالة، تكون متطابقة، ولكنها لن تكون كذلك بشكل عام).

يمكن إثبات أن بنية النظام الناتجة عن نظام كلي طبيعية وراثيًا .

اكتمال

تُسمى المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا كاملةً إذا كان لكل مجموعة جزئية غير فارغة لها حد أعلى ، حد أعلى أصغر . على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الحقيقية R كاملة، لكن مجموعة الأعداد النسبية Q ليست كذلك. بعبارة أخرى، لا تنطبق مفاهيم الاكتمال المختلفة (والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين "الكليّة") على القيود . على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الحقيقية ، تتمثل إحدى خصائص العلاقة ≤ في أن لكل مجموعة جزئية غير فارغة S من R لها حد أعلى في R حد أعلى أصغر ( يُسمى أيضًا الحد الأعلى) في R. ومع ذلك، بالنسبة للأعداد النسبية، ليس هذا الحد الأعلى بالضرورة نسبيًا، لذا لا تنطبق الخاصية نفسها على تقييد العلاقة ≤ على الأعداد النسبية.

هناك عدد من النتائج التي تربط خصائص طوبولوجيا الترتيب باكتمال X:

إذا كانت بنية الترتيب على X متصلة، فإن X تكون كاملة.
تكون X متصلة في إطار طوبولوجيا الترتيب إذا وفقط إذا كانت كاملة ولا توجد فجوة في X (الفجوة هي نقطتان a و b في X حيث a < b بحيث لا توجد c تحقق a < c < b .)
تكون X كاملة إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة محدودة مغلقة في طوبولوجيا الترتيب مضغوطة.

تُعتبر المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا (مع طوبولوجيا الترتيب الخاصة بها) والتي تُمثل شبكة كاملة مجموعةً متراصة . ومن الأمثلة على ذلك الفترات المغلقة للأعداد الحقيقية، مثل الفترة [0,1]، ونظام الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا (خط الأعداد الحقيقية الممتد). وتوجد تماثلات تحافظ على الترتيب بين هذه الأمثلة.

مجموع الطلبات

لأي طلبين إجماليين منفصلين $(A_{1},\leq _{1})$ و $(A_{2},\leq _{2})$ هناك نظام طبيعي $\leq _{+}$ في موقع التصوير $A_{1}\cup A_{2}$ ، والذي يُطلق عليه مجموع الرتبتين أو أحيانًا ببساطة $A_{1}+A_{2}$ :

ل

x,y\in A_{1}\cup A_{2}

،

x\leq _{+}y

يتحقق الشرط إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط التالية:

$x,y\in A_{1}$ و $x\leq _{1}y$
$x,y\in A_{2}$ و $x\leq _{2}y$
$x\in A_{1}$ و $y\in A_{2}$

بشكل بديهي، هذا يعني أن عناصر المجموعة الثانية تضاف فوق عناصر المجموعة الأولى.

وبشكل أعم، إذا $(I,\leq )$ هي مجموعة فهارس مرتبة ترتيبًا تامًا، ولكل $i\in I$ الهيكل $(A_{i},\leq _{i})$ هو ترتيب خطي، حيث المجموعات $A_{i}$ إذا كانت المجموعات منفصلة مثنى مثنى، فإن الترتيب الكلي الطبيعي على $\bigcup _{i}A_{i}$ يتم تعريفها بواسطة

ل

x,y\in \bigcup _{i\in I}A_{i}

،

x\leq y

ينطبق في حالة:

إما أن يكون هناك بعض $i\in I$ مع $x\leq _{i}y$
أو هناك بعض $i<j$ في $I$ مع $x\in A_{i}$ ، $y\in A_{j}$

قرر

إن نظرية الرتبة الأولى للأوامر الكلية قابلة للتقرير ، أي أن هناك خوارزمية لتحديد أي عبارات الرتبة الأولى تنطبق على جميع الأوامر الكلية. وباستخدام قابلية التفسير في S2S ، فإن نظرية الرتبة الثانية الأحادية للأوامر الكلية القابلة للعد قابلة للتقرير أيضًا. ^{[ 15 ]}

الطلبات على حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المطلوبة بالكامل

توجد عدة طرق لتحويل مجموعتين مرتبتين كليًا إلى ترتيب على حاصل الضرب الديكارتي ، مع العلم أن الترتيب الناتج قد يكون جزئيًا فقط . فيما يلي ثلاثة من هذه الترتيبات الممكنة، مرتبة بحيث يكون كل ترتيب أقوى من الذي يليه:

الترتيب المعجمي : ( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا وفقط إذا كان أ < ج أو ( أ = ج و ب ≤ د ). هذا ترتيب كلي.
( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا وفقط إذا كان أ ≤ ج و ب ≤ د ( ترتيب المنتج ). هذا ترتيب جزئي.
( أ ، ب ) ≤ ( ج ، د ) إذا وفقط إذا كان ( أ < ج و ب < د ) أو ( أ = ج و ب = د ) (الإغلاق الانعكاسي للضرب المباشر للترتيبات الكلية الصارمة المناظرة). وهذا أيضًا ترتيب جزئي.

كل ترتيب من هذه الترتيبات يُوسّع الترتيب الذي يليه، بمعنى أنه إذا كان لدينا x ≤ y في ترتيب الضرب، فإن هذه العلاقة تنطبق أيضًا في الترتيب المعجمي، وهكذا. ويمكن تعريف الترتيبات الثلاثة جميعها بشكل مماثل للضرب الديكارتي لأكثر من مجموعتين.

عند تطبيقها على الفضاء المتجهي R ⁿ ، فإن كل واحدة من هذه تجعله فضاءً متجهيًا مرتبًا .

انظر أيضًا أمثلة على المجموعات المرتبة جزئيًا .

الدالة الحقيقية لـ n متغير حقيقي معرفة على مجموعة جزئية من R ⁿ تحدد ترتيبًا ضعيفًا صارمًا وترتيبًا كليًا مسبقًا مطابقًا على تلك المجموعة الجزئية.

الهياكل ذات الصلة

العلاقات الثنائية المتعدية

	متماثل	مضاد للتناظر	متصل	مؤسس بشكل جيد	لديه روابط	لديه لقاءات	انعكاسي	غير انعكاسي	غير متماثل
			توتال، سيميكونكس					مضاد للانعكاس
علاقة التكافؤ	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
طلب مسبق (طلب شبه رسمي)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
طلب جزئي	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
إجمالي الطلبات المسبقة	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
إجمالي الطلب	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
الطلب المسبق	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
ترتيب شبه جيد	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
ترتيب جيد	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
شعرية	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
الانضمام إلى شبه الشبكة	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
لقاء شبه شبكة	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
ترتيب جزئي صارم	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
ترتيب ضعيف صارم	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
إجمالي الطلب الصارم	✗	Y	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	متماثل	مضاد للتناظر	متصل	مؤسس بشكل جيد	لديه روابط	لديه لقاءات	انعكاسي	غير انعكاسي	غير متماثل
التعريفات، للجميع $a,b$ و ${\displaystyle S\neq \varnothing$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر".

تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة $R$ يكون متعدياً : للجميع $a,b,c,$ لو $aRb$ و $bRc$ ثم $aRc.$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

العلاقة الثنائية التي تكون غير متناظرة، ومتعدية، وانعكاسية (ولكن ليس بالضرورة كلية) هي ترتيب جزئي .

المجموعة ذات الترتيب الكلي المتوافق هي مجموعة مرتبة كليًا .

لا يوجد سوى عدد قليل من البنى غير التافهة التي يمكن تعريفها (بمعنى أنها) اختزالات لرتبة كلية. يؤدي نسيان الاتجاه إلى علاقة بينية . ويؤدي نسيان موقع الأطراف إلى رتبة دورية . ويؤدي نسيان كلتا المعلومتين إلى استخدام فصل أزواج النقاط لتمييز الفترتين المحددتين بزوج من النقاط على دائرة. ^{[ 16 ]}

انظر أيضاً

حلقة أرتينية – حلقة في الجبر المجرد
خط كانتريمان
نظرية الترتيب – فرع من فروع الرياضيات
التبديل – النسخة الرياضية لتغيير الترتيب
ترتيب البادئة – ترتيب جزئي كلي تنازلي
الترتيب – العلاقة بين العناصر في مجموعة
مشكلة سوسلين – مشكلة في نظرية المجموعات
الترتيب الجيد – فئة من الترتيبات الرياضية

ملحوظات

↑ دع $a<b$ لنفترض جدلاً أن ذلك أيضاً $b<a$ . ثم $a<a$ بالتعدي، وهو ما يتناقض مع اللاانعكاسية.
↑ إذا $a<a$ إذن لا $a<a$ بسبب عدم التماثل.

مراجع

1 2 هالموس 1968 ، الفصل 14.
1 2 بيركوف 1967 ، ص. 2.
1 2 Schmidt & Ströhlein 1993 ، ص 32.
↑ فوكس 1963 ، ص 2.
1 2 3 ديفي وبريستلي 1990 ، ص. 3.
↑ يونغ إيه بي، مودجيل إس، رودريغز أو. منطق الافتراضات المُعطى الأولوية كحجة عقلانية (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي الخامس عشر حول الوكلاء المستقلين وأنظمة الوكلاء المتعددين (AAMAS 2016) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2025 .
↑ ستروميير، ألفريد؛ جينيلارد، كريستيان؛ ويبر، ماتس (1 أغسطس 1990). "ترتيب الأحرف والسلاسل النصية" . رسائل ACM SIGAda Ada (7): 84. doi : 10.1145/101120.101136 . S2CID 38115497 .
↑ غاناباثي، جايانثي (1992). "العناصر القصوى والحدود العليا في المجموعات المرتبة جزئيًا". مجلة باي مو إبسيلون . 9 (7): 462-464 . ISSN 0031-952X . JSTOR 24340068 .
↑ يشبه هذا التعريف تعريف الكائن الأولي للفئة ، ولكنه أضعف.
↑ رولان فرايسي (ديسمبر 2000). نظرية العلاقات . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 145 ( الطبعة الأولى). إلسيفير. ISBN 978-0-444-50542-2.هنا: صفحة 35
↑ برايان أ. ديفي وهيلاري آن بريستلي (1990). مقدمة في الشبكات والترتيب . كتب كامبريدج الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36766-2. إل سي سي إن 89009753 . هنا: صفحة 100
↑ يانيس ن. موشوفاكيس (2006) ملاحظات حول نظرية المجموعات ، نصوص جامعية في الرياضيات (بيركهاوزر) ISBN 0-387-28723-X، ص 116
↑ أي أنه بعد فهرس معين، تكون جميع عناصر التسلسل اللاحقة متساوية
↑ ديفي وبريستلي 1990، تعريف 2.24، ص 37
↑ وير، مارك (2002). "قابلية الحسم لـ S1S و S2S" . الأوتوماتا، والمنطق، والألعاب اللانهائية . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 2500. سبرينغر. الصفحات 207-230 . doi : 10.1007/3-540-36387-4_12 . ISBN 978-3-540-00388-5.
↑ ماكفرسون، إتش. دوغالد (2011)، "دراسة استقصائية للهياكل المتجانسة"، الرياضيات المتقطعة ، 311 (15): 1599-1634 ، doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024

فهرس

بيركوف، غاريت (1967). نظرية الشبكة . منشورات كولكيوم. المجلد 25. بروفيدنس: الجمعية الأمريكية للرياضيات.
ديفي، برايان أ.؛ بريستلي، هيلاري آن (1990). مقدمة في الشبكات والترتيب . كتب كامبريدج الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36766-2. إل سي سي إن 89009753 .
فوكس، ل (1963). الأنظمة الجبرية المرتبة جزئياً . مطبعة بيرغامون.
جورج غراتزر (1971). نظرية الشبكات: المفاهيم الأولية والشبكات التوزيعية. دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-0442-0
هالموس، بول ر. (1968). نظرية المجموعات الساذجة . برينستون: نوستراند.
جون ج. هوكينج وجيل س. يونج (1961). الطوبولوجيا. طبعة منقحة، دوفر، 1988. ISBN 0-486-65676-4
روزنشتاين، جوزيف ج. (1982). الترتيبات الخطية . نيويورك: دار النشر الأكاديمية.
شميدت، غونتر ؛ سترولين، توماس (1993). العلاقات والرسوم البيانية: الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-642-77970-1.

روابط خارجية

"مجموعة مرتبة كليًا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[9] دع $a<b$ لنفترض جدلاً أن ذلك أيضاً $b<a$ . ثم $a<a$ بالتعدي، وهو ما يتناقض مع اللاانعكاسية.

[10] إذا $a<a$ إذن لا $a<a$ بسبب عدم التماثل.

[FOOTNOTEHalmos1968Ch.14-1] 1 2 هالموس 1968 ، الفصل 14.

[FOOTNOTEBirkhoff19672-2] 1 2 بيركوف 1967 ، ص. 2.

[FOOTNOTESchmidtStröhlein199332-3] 1 2 Schmidt & Ströhlein 1993 ، ص 32.

[FOOTNOTEFuchs19632-4] فوكس 1963 ، ص 2.

[FOOTNOTEDaveyPriestley19903-5] 1 2 3 ديفي وبريستلي 1990 ، ص. 3.

[Young_2016-6] يونغ إيه بي، مودجيل إس، رودريغز أو. منطق الافتراضات المُعطى الأولوية كحجة عقلانية (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي الخامس عشر حول الوكلاء المستقلين وأنظمة الوكلاء المتعددين (AAMAS 2016) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 يناير 2025 .

[7] ستروميير، ألفريد؛ جينيلارد، كريستيان؛ ويبر، ماتس (1 أغسطس 1990). "ترتيب الأحرف والسلاسل النصية" . رسائل ACM SIGAda Ada (7): 84. doi : 10.1145/101120.101136 . S2CID 38115497 .

[8] غاناباثي، جايانثي (1992). "العناصر القصوى والحدود العليا في المجموعات المرتبة جزئيًا". مجلة باي مو إبسيلون . 9 (7): 462-464 . ISSN 0031-952X . JSTOR 24340068 .

[11] يشبه هذا التعريف تعريف الكائن الأولي للفئة ، ولكنه أضعف.

[12] رولان فرايسي (ديسمبر 2000). نظرية العلاقات . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. المجلد 145 ( الطبعة الأولى). إلسيفير. ISBN 978-0-444-50542-2.هنا: صفحة 35

[13] برايان أ. ديفي وهيلاري آن بريستلي (1990). مقدمة في الشبكات والترتيب . كتب كامبريدج الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36766-2. إل سي سي إن 89009753 . هنا: صفحة 100

[14] يانيس ن. موشوفاكيس (2006) ملاحظات حول نظرية المجموعات ، نصوص جامعية في الرياضيات (بيركهاوزر) ISBN 0-387-28723-X، ص 116

[15] أي أنه بعد فهرس معين، تكون جميع عناصر التسلسل اللاحقة متساوية

[16] ديفي وبريستلي 1990، تعريف 2.24، ص 37

[17] وير، مارك (2002). "قابلية الحسم لـ S1S و S2S" . الأوتوماتا، والمنطق، والألعاب اللانهائية . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 2500. سبرينغر. الصفحات 207-230 . doi : 10.1007/3-540-36387-4_12 . ISBN 978-3-540-00388-5.

[18] ماكفرسون، إتش. دوغالد (2011)، "دراسة استقصائية للهياكل المتجانسة"، الرياضيات المتقطعة ، 311 (15): 1599-1634 ، doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ أ ]

[ ب ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[

[ 15 ]

[ 16 ]