المشتقة q

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال التوافقية وحساب التفاضل والتكامل الكمي ، يُعدّ المشتق من الرتبة q ، أو مشتق جاكسون ، نظيرًا من الرتبة q للمشتق العادي ، وقد قدّمه فرانك هيلتون جاكسون . وهو معكوس تكامل جاكسون من الرتبة q . للاطلاع على أشكال أخرى من المشتق من الرتبة q، يُرجى مراجعة تشونغ وآخرون (1994) .

يتم تعريف المشتقة q للدالة f ( x ) على النحو التالي ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

كما أنها تُكتب غالبًا على النحو التالي:${\displaystyle D_{q}f(x)}$. يُعرف المشتق q أيضًا باسم مشتق جاكسون .

بصورة رسمية، من حيث عامل إزاحة لاغرانج في المتغيرات اللوغاريتمية، فإنه يعادل العامل

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

والذي يؤدي إلى المشتق البسيط،${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$مثل${\displaystyle q\to 1}$.

من الواضح أنها خطية،

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

يحتوي على قاعدة ضرب مماثلة لقاعدة ضرب المشتقات العادية، مع شكلين متكافئين

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

وبالمثل، فإنه يحقق قاعدة القسمة ،

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

توجد أيضًا قاعدة مشابهة لقاعدة السلسلة للمشتقات العادية. لنفترض${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$. ثم

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

الدالة الذاتية للمشتقة q هي الدالة الأسية q e _q ( x ).

يشبه التفاضل من الرتبة q التفاضل العادي، مع وجود اختلافات مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، مشتقة q للحد الأحادي هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

أين${\displaystyle [n]_{q}}$يمثل القوس q للعدد n . لاحظ أن${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$وبالتالي يتم استعادة المشتقة العادية في هذه الحالة.

يمكن إعطاء المشتقة من الرتبة n لدالة ما على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

بشرط أن تكون المشتقة العادية من الرتبة n للدالة f موجودة عند x = 0. هنا،${\displaystyle (q;q)_{n}}$هو رمز بوخامر q ، و${\displaystyle [n]!_{q}}$هو مضروب q . إذا${\displaystyle f(x)}$بما أن الدالة تحليلية، يمكننا تطبيق صيغة تايلور على تعريفها.${\displaystyle D_{q}(f(x))}$للحصول على

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

يتبع ذلك نظير q لتوسيع تايلور لدالة حول الصفر: ^{[ 2 ]}

$$$

التمثيل التالي للرتبة الأعلى${\displaystyle q}$المشتقات معروفة: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$هو${\displaystyle q}$معامل ذي الحدين. بتغيير ترتيب الجمع كما${\displaystyle r=nk}$، فنحصل على الصيغة التالية: ^{[ 4 ] [ 6 ]}

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

رتبة أعلى${\displaystyle q}$تُستخدم المشتقات لـ${\displaystyle q}$تركيبة تايلور و${\displaystyle q}$- صيغة رودريغز (الصيغة المستخدمة في بناء${\displaystyle q}$- كثيرات الحدود المتعامدة ^{[ 4 ]} ).

تم استخدام حساب التفاضل والتكامل q في التعلم الآلي لتصميم دوال التنشيط العشوائية. ^{[ 16 ]}

• المشتقات (التعميمات)
• تكامل جاكسون
• Q-أُسِّي
• كثيرات الحدود الفرقية Q
• حساب الكم
• إنتروبيا تساليس