نظرية جاكوبسون-موروزوف

في الرياضيات، تنص نظرية جاكوبسون - موروزوف على إمكانية توسيع العناصر العديمة القوة في جبر لي شبه البسيط إلى ثلاثيات من الرتبة _sl² . سُميت النظرية نسبةً إلى جاكوبسون (1951) وموروزوف (1942) .

يعتمد بيان جاكوبسون - موروزوف على المفاهيم التمهيدية التالية: ثلاثية sl _{2 في} جبر لي شبه بسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(في جميع أنحاء هذه المقالة، على حقل ذي خاصية صفرية ) هو تشاكل لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\to {\mathfrak {g}}}$أو بعبارة أخرى، هو ثلاثي${\displaystyle e,f,h}$من العناصر في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إرضاء العلاقات

${\displaystyle [h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.}$

عنصر${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم "عديم القوة"، إذا كان التشكل الداخلي${\displaystyle [x,-]:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$(المعروف بالتمثيل المرافق ) هو تشاكل داخلي عديم القوة . من الحقائق الأساسية أنه لأي ثلاثية sl ₂${\displaystyle (e,f,h)}$، يجب أن يكون العنصر e عنصرًا عديم القوة. تنص نظرية جاكوبسون - موروزوف على أنه، على العكس من ذلك، أي عنصر غير صفري عديم القوة${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$يمكن توسيعها لتشمل ثلاثية sl _2. ^{[ 1 ] [ 2 ]} لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}}$، تم توضيح الثلاثيات sl ₂ التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة في Chriss & Ginzburg (1997 ، ص 184) .

يمكن أيضًا صياغة النظرية للمجموعات الجبرية الخطية (مرة أخرى على حقل k ذي خاصية صفرية): أي تشاكل (للمجموعات الجبرية) من المجموعة الجمعية${\displaystyle G_{a}}$إلى مجموعة اختزالية H عوامل من خلال التضمين

${\displaystyle G_{a}\to SL_{2},x\mapsto \left({\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}}\right).}$

علاوة على ذلك، أي تحليلين من هذا القبيل

${\displaystyle SL_{2}\to H}$

مترافقة بنقطة k من H.

يمكن صياغة تعميم واسع النطاق للنظرية كما وردت أعلاه على النحو التالي: إدراج المجموعات المختزلة في جميع المجموعات الجبرية الخطية، حيث التشكلات${\displaystyle G\to H}$يتم تناول العناصر في كلتا الفئتين حتى الاقتران.${\displaystyle H(k)}$، يقبل مُرافقًا يساريًا ، وهو ما يُسمى بالغلاف المُختزل. يُرسل هذا المُرافق اليساري المجموعة الجمعية${\displaystyle G_{a}}$ل${\displaystyle SL_{2}}$(وهو أمرٌ شبه بسيط، على عكس كونه اختزاليًا)، وبالتالي استعادة الشكل المذكور أعلاه لنظرية جاكوبسون - موروزوف. وقد أثبت أندريه وكاهن (2002 ، النظرية 19.3.1) هذه النظرية المعممة لجاكوبسون - موروزوف بالاستعانة بأساليب متعلقة بفئات تاناكيان، وأثبتها أوسوليفان (2010) بأساليب هندسية أكثر.

• أندريه، إيف؛ خان، برونو (2002)، “Nilpotence، radicaux et Structures monoïdales”، Rend. سيمين. حصيرة. جامعة. بادوفا ، 108 : 107–291 ، أرخايف : الرياضيات/0203273 ، بيب كود : 2002math......3273A ، السيد 1956434 
• كريس، نيل؛ جينزبورغ، فيكتور (1997)، نظرية التمثيل والهندسة المعقدة ، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3792-3MR 1433132​ 
• بورباكي ، نيكولا (2007)، Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8 ، سبرينغر، ISBN 9783540339779
• جاكوبسون، ناثان (1935)، "الأساليب العقلانية في نظرية جبر لي"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 36 (4): 875-881 ، doi : 10.2307/1968593 ، JSTOR 1968593 ، MR 1503258  
• جاكوبسون، ناثان (1951)، "جبر لي القابل للاختزال تمامًا للتحويلات الخطية"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 2 : 105-113 ، doi : 10.1090/S0002-9939-1951-0049882-5 ، MR 0049882 
• جاكوبسون، ناثان (1979)، جبر لي (إعادة نشر الطبعة الأصلية لعام 1962  )، منشورات دوفر، نيويورك، ISBN 0-486-63832-4
• موروزوف، ف. ف. (1942)، "حول عنصر عديم القوة في جبر لي شبه بسيط"، CR (Doklady) Acad. Sci. URSS ، سلسلة جديدة، 36 : 83-86 ، MR 0007750 
• أوسوليفان، بيتر (2010)، "نظرية جاكوبسون-موروسوف المعممة"، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد  207، doi : 10.1090/s0065-9266-10-00603-4 ، ISBN 978-0-8218-4895-1