الخاصية (الجبر)

في الرياضيات ، خاصية الحلقة​${\displaystyle R}$، وغالبًا ما يُشار إليه${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$يُعرَّف هذا بأنه أصغر عدد موجب من نسخ العنصر المحايد الضربي للحلقة ( 1 ) التي يكون مجموعها مساوياً للعنصر المحايد الجمعي ( 0 ). إذا لم يوجد مثل هذا العدد، يُقال إن الحلقة لها خاصية صفرية.

إنه،${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$هو أصغر عدد موجب${\displaystyle n}$بحيث ^{[ 1 ] (ص 198، نظرية 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

إذا كان هذا العدد${\displaystyle n}$موجود، و${\displaystyle 0}$خلاف ذلك.

إن التعريف الخاص للصفر المميز مستوحى من التعريفات المكافئة الموصوفة في القسم التالي، حيث لا يلزم النظر إلى الصفر المميز بشكل منفصل.

يمكن أيضًا اعتبار الخاصية هي أس المجموعة الجمعية للحلقة ، أي أصغر عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$بحيث: ^{[ 1 ] (ص 198، تعريف 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

لكل عنصر${\displaystyle a}$من الحلقة (مرة أخرى، إذا${\displaystyle n}$يوجد؛ وإلا فهو صفر). هذا التعريف مكافئ للحلقة، بسبب خاصية التوزيع . أما بالنسبة للحلقات التي لا تحتوي على عنصر محايد، فإن التعريف الأول غير منطقي، ويُستخدم التعريف الثاني بشكل عام.

الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية لها خاصية الصفر.

تتميز الأعداد الصحيحة modulo n بخاصية${\displaystyle n}$.

كل حلقة منطقية لها الخاصية 2.

خاصية الحقل إما أن تكون 0 أو عددًا أوليًا .

• خصائص الخاتم${\displaystyle R}$هو عدد طبيعي${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle n\mathbb {Z} }$هي نواة التشاكل الحلقي الفريد من${\displaystyle \mathbb {Z} }$ل${\displaystyle R}$. ^{[ أ ]}

• السمة المميزة هي العدد الطبيعي${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle R}$تحتوي على حلقة فرعية متماثلة مع حلقة العامل${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$، وهو صورة التشاكل المذكور أعلاه.

• عندما تكون الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle \{0,1,2,3,\dots \}}$إذا تم ترتيبها جزئياً حسب قابلية القسمة،${\displaystyle 1}$وهو الأصغر و${\displaystyle 0}$إذا كانت القيمة هي الأكبر، فإن خاصية الحلقة هي أصغر قيمة لـ${\displaystyle n}$والتي${\displaystyle n\cdot 1=0}$إذا لم يكن هناك أي شيء "أصغر" (بهذا الترتيب) من الصفر كافيًا، فإن الخاصية هي${\displaystyle 0}$هذا هو الترتيب الجزئي المناسب نظراً للحقائق التالية:${\displaystyle \operatorname {char} (A\times B)}$هو المضاعف المشترك الأصغر لـ${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$و${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$وأنه لا يوجد تماثل حلقي${\displaystyle f:A\to B}$لا وجود لها إلا إذا${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$يقسم${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$.

• خصائص الخاتم${\displaystyle R}$يكون${\displaystyle n}$تحديداً إذا كان البيان${\displaystyle ka=0}$للجميع${\displaystyle a\in R}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle k}$هو مضاعف لـ${\displaystyle n}$.

إذا كانت R و S حلقتين ، ووجد تشاكل حلقي R → S ، فإن خاصية S تقسم خاصية R. يمكن استخدام هذا أحيانًا لاستبعاد إمكانية وجود تشاكلات حلقية معينة. الحلقة الوحيدة ذات الخاصية 1 هي الحلقة الصفرية ، التي تحتوي على عنصر واحد فقط هو 0. إذا لم يكن للحلقة R غير التافهة أي قواسم صفرية غير تافهة ، فإن خاصيتها إما 0 أو عدد أولي . ينطبق هذا بشكل خاص على جميع الحقول ، وجميع المجالات التكاملية ، وجميع حلقات القسمة . أي حلقة ذات خاصية صفرية هي حلقة لانهائية.

الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد n لها الخاصية n . إذا كانت R حلقة جزئية من S ، فإن R و S لهما نفس الخاصية. على سبيل المثال، إذا كان p عددًا أوليًا و q ( X ) متعددة حدود غير قابلة للاختزال بمعاملات في الحقل${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$إذا كان لدينا p عنصرًا، فإن حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$هو حقل ذو خاصية p . مثال آخر: الحقل${\displaystyle \mathbb {C} }$يحتوي عدد الأعداد المركبة على${\displaystyle \mathbb {Z} }$لذا فإن خاصية${\displaystyle \mathbb {C} }$هو 0 .

أ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$الجبر - هو مكافئ لحلقة مميزة تقسم n . وذلك لأنه لكل حلقة R يوجد تشاكل حلقي${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$وتؤثر هذه الخريطة على العملية.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$إذا وفقط إذا كانت خاصية R تقسم n . في هذه الحالة، لأي r في الحلقة، فإن إضافة r إلى نفسها n مرة تعطي nr = 0 .

إذا كانت الحلقة التبديلية ^R ذات خاصية أولية p ، فإننا نحصل على ( x + y ) ^p = xp + yp لجميع العناصر x و y في R - وهو ما يُعرف عادةً بـ " حلم الطالب المبتدئ " الخاطئ ^، والذي ينطبق على القوة p ^. يُعرّف التطبيق x ↦ xp تشاكلًا حلقيًا R → R ، يُسمى تشاكل فروبينيوس . إذا كانت R أيضًا مجالًا تكامليًا ، فإن التشاكل يكون أحاديًا .

كما ذُكر سابقًا، فإن خاصية أي حقل إما أن تكون صفرًا أو عددًا أوليًا. يُسمى الحقل ذو الخاصية غير الصفرية حقلًا ذا خاصية منتهية أو خاصية موجبة أو خاصية أولية . يُعرَّف أس الخاصية بشكل مماثل، باستثناء أنه يساوي 1 عندما تكون الخاصية صفرًا ؛ وإلا فإنه يأخذ نفس قيمة الخاصية. ^{[ 2 ]}

أي حقل F له حقل جزئي أدنى وحيد ، يُسمى أيضًا حقله الأولي . هذا الحقل الجزئي متماثل إما مع حقل الأعداد النسبية أو حقل الأعداد النسبية.${\displaystyle \mathbb {Q} }$أو حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$من الرتبة الأولية. حقلان أوليان لهما نفس الخاصية متماثلان، وهذا التماثل فريد. بعبارة أخرى، يوجد أساسًا حقل أولي فريد في كل خاصية.

• خاتم ذو خصائص مختلطة