صيغة جنسن

في التحليل المركب ، تربط صيغة جنسن متوسط ​​القيمة المطلقة لدالة تحليلية على دائرة بعدد أصفارها داخل تلك الدائرة. وقد قدم هذه الصيغة يوهان جنسن ( 1899 ) ، وهي تُعدّ بيانًا هامًا في دراسة الدوال الكاملة . 

لنفترض أن${\displaystyle f}$هي دالة تحليلية في منطقة في المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$والذي يحتوي على القرص المغلق${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$نصف قطر${\displaystyle r>0}$حول الأصل،${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$أصفار${\displaystyle f}$في داخل${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$(مكررة وفقًا لتعددها الخاص)، وأن${\displaystyle f(0)\neq 0}$.

تنص صيغة جنسن على أن ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

تُنشئ هذه الصيغة علاقة بين معيار أصفار${\displaystyle f}$في داخل${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ومتوسط ${\displaystyle \log |f(z)|}$على الدائرة الحدودية${\displaystyle |z|=r}$ويمكن اعتبارها تعميمًا لخاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية . أي، إذا${\displaystyle f}$لا يحتوي على أصفار في${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$ثم تُختزل صيغة جنسن إلى

${\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta ,}$

وهي خاصية القيمة المتوسطة للدالة التوافقية${\displaystyle \log |f(z)|}$.

الصيغة المكافئة لصيغة جنسن والتي تُستخدم بشكل متكرر هي

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\,dt}$

أين${\displaystyle n(t)}$يشير إلى عدد الأصفار في${\displaystyle f}$في قرص نصف قطره${\displaystyle t}$متمركزة عند نقطة الأصل.

يمكن استخدام صيغة جنسن لتقدير عدد أصفار دالة تحليلية في قرص. أي، إذا${\displaystyle f}$دالة تحليلية في قرص نصف قطره${\displaystyle R}$مركزها في${\displaystyle z_{0}}$وإذا${\displaystyle |f|}$يحدها${\displaystyle M}$على حدود ذلك القرص، فإن عدد الأصفار من${\displaystyle f}$في قرص نصف قطره ${\displaystyle r<R}$متمركزة في نفس النقطة${\displaystyle z_{0}}$لا يتجاوز

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}$

تُعدّ صيغة جنسن بيانًا هامًا في دراسة توزيع قيم الدوال الكاملة والدوال الميرومورفية. وعلى وجه الخصوص، فهي نقطة انطلاق نظرية نيفانلينا ، وكثيرًا ما تظهر في براهين نظرية هادامارد للتحليل إلى عوامل ، والتي تتطلب تقديرًا لعدد أصفار الدالة الكاملة.

تُستخدم صيغة جنسن أيضًا لإثبات تعميم لنظرية بالي-وينر للدوال شبه التحليلية مع${\displaystyle r\rightarrow 1}$[ ^{2 ]} في مجال نظرية التحكم (وخاصة: طرق التحليل الطيفي ) ^، يُشار إلى هذا التعميم غالبًا باسم شرط بالي-وينر . ^{[ 3 ]}

يمكن تعميم صيغة جنسن للدوال التي هي دوال ميرومورفية فقط على${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$أي افترض أن

${\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}$

أين${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$هي دوال تحليلية في${\displaystyle \mathbb {D} _{r}}$وجود أصفار في${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$ و ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} _{r}\setminus \{0\}}$ على التوالي، تنص صيغة جنسن للدوال الميرومورفية على ما يلي:

${\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n-l}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

تُعد صيغة جنسن نتيجة لصيغة بواسون - جنسن الأكثر عمومية ، والتي بدورها تتبع صيغة جنسن من خلال تطبيق تحويل موبيوس على${\displaystyle z}$تم تقديمه وتسميته بواسطة رولف نيفانلينا .${\displaystyle f}$هي دالة تحليلية في القرص الواحدي، ولها أصفار. ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$يقع داخل قرص الوحدة، ثم لكل${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$تنص صيغة بواسون - جنسن في القرص الواحد على ما يلي:

${\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}$

هنا،

${\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}$

هي نواة بواسون على القرص الوحدوي. إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$إذا لم يكن هناك أصفار في قرص الوحدة، فإن صيغة بواسون-جنسن تُختزل إلى

${\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}$

وهي صيغة بواسون للدالة التوافقية${\displaystyle \log |f(z)|}$.

• نظرية بالي-وينر

• أهلفورس، لارس ف. (1979)، التحليل المركب: مقدمة في نظرية الدوال التحليلية لمتغير مركب واحد ، السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثالثة)، دوسلدورف: ماكجرو هيل، ISBN 0-07-000657-1، Zbl 0395.30001 
• Jensen، J. (1899)، “Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions”، Acta Mathematica (بالفرنسية)، 22 (1): 359–364 ، دوى : 10.1007 / BF02417878 ، ISSN 0001-5962 ، JFM 30.0364.02 ، السيد 1554908   
• بالي، ريموند إي إيه سي ؛ وينر، نوربرت (1934). تحويلات فورييه في المجال المركب . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1019-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• رانسفورد، توماس (1995)، نظرية الكمون في المستوى المركب ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  28، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-46654-7، Zbl 0828.31001 
• سيد، أ.ح.؛ كايلات، ت. (2001). "دراسة استقصائية لطرق التحليل الطيفي". الجبر الخطي العددي مع التطبيقات . 8 ( 6-7 ): 467-496 . doi : 10.1002/nla.250 . ISSN 1070-5325 .