نظرية نيفانلينا

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في مجال التحليل المركب ، تُعدّ نظرية نيفانلينا جزءًا من نظرية الدوال الميرومورفية . وقد وضعها رولف نيفانلينا عام ١٩٢٥. وصفها هيرمان فايل بأنها "إحدى الأحداث الرياضية العظيمة القليلة في القرن العشرين". [ ١ ] تصف هذه النظرية التوزيع التقاربي لحلول المعادلة f ( z ) = a ، مع تغير قيمة a. ومن الأدوات الأساسية في هذه النظرية خاصية نيفانلينا T(r, f ) التي تقيس معدل نمو الدالة الميرومورفية.

ومن بين المساهمين الرئيسيين الآخرين في النصف الأول من القرن العشرين: لارس أهلفورس ، وأندريه بلوخ ، وهنري كارتان ، وإدوارد كولينجوود ، وأوتو فروستمان ، وفريثيوف نيفانلينا ، وهنريك سيلبرغ ، وتاتسوجيرو شيميزو ، وأوزوالد تايخمولر ، وجورج فاليرون . في صيغتها الأصلية، تتناول نظرية نيفانلينا الدوال الميرومورفية لمتغير عقدي واحد مُعرَّف في قرص | z | ≤ R أو في المستوى العقدي بأكمله ( R  =  ∞). وقد وسّعت التعميمات اللاحقة نظرية نيفانلينا لتشمل الدوال الجبرية، والمنحنيات الهولومورفية ، والخرائط الهولومورفية بين مشعبات عقدية ذات أبعاد عشوائية، والخرائط شبه المنتظمة ، والأسطح الدنيا .

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي النسخة الكلاسيكية للدوال الميرومورفية ذات المتغير الواحد، مع التركيز على الدوال الميرومورفية في المستوى المركب. ومن المراجع العامة لهذه النظرية: غولدبرغ وأوستروفسكي [ 2 ] ، وهايمان [ 3 ] ، ولانغ (1987) .

خصائص نيفانلينا

التعريف الأصلي لنيڤانلينا

لتكن f دالة ميرومورفية. لكل r  ≥  0، ليكن n ( r , f ) عدد أقطاب الدالة الميرومورفية f في القرص | z | ≤ r ، مع مراعاة التعددية . ثم عرّف دالة عد نيفانلينا كما يلي:

شمال(ر،و)=∫0ر(ن(ت،و)-ن(0،و))دتت+ن(0،و)سجل⁡ر.{\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,}

تقيس هذه الكمية نمو عدد الأقطاب في الأقراص | z | ≤ r ، مع ازدياد r . وبالتحديد، لنفترض أن a₁ , a₂ , ... , an هي أقطاب الدالة f في القرص المثقوب 0 < | z | ≤ r، مكررة وفقًا للتعددية. عندئذٍ n = n ( r , f ) - n (0, f ).   

شمال(ر،و)=∑ك=1نسجل⁡(ر|أك|)+ن(0،و)سجل⁡ر.{\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,}

لنفترض أن log + x  =  max(log x , 0). عندئذٍ تُعرَّف دالة التقارب كما يلي:  

م(ر،و)=12π∫02πسجل+⁡|و(رهـأناθ)|دθ.{\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,}

وأخيرًا، عرّف خاصية نيفانلينا من خلال (انظر صيغة جنسن للدوال الميرومورفية)

تي(ر،و)=م(ر،و)+شمال(ر،و).{\displaystyle T(r,f)=m(r,f)+N(r,f).\,}

أهلفورس - نسخة شيميزو

تعتمد طريقة ثانية لتحديد خاصية نيفانلينا على الصيغة التالية

∫0ردتت(1π∫|z|≤ت|و′|2(1+|و|2)2دم)=تي(ر،و)+يا(1)،{\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}

حيث يمثل dm عنصر المساحة في المستوى. يُطلق على التعبير في الطرف الأيسر اسم خاصية أهلفورس - شيميزو. لا يُعدّ الحد المحدود O (1) مهمًا في معظم المسائل.

المعنى الهندسي لخاصية أهلفورس-شيميزو هو كالتالي: التكامل الداخلي dm هو المساحة الكروية لصورة القرص | z | ≤ t ، مع مراعاة التكرار (أي أن أجزاء كرة ريمان المغطاة k مرة تُحسب k مرة). تُقسم هذه المساحة على π ، وهي مساحة كرة ريمان كاملة. يمكن تفسير النتيجة على أنها متوسط ​​عدد الطبقات في تغطية كرة ريمان بالقرص | z | ≤ t . ثم يُكامل متوسط ​​عدد التغطية هذا بالنسبة إلى t بوزن 1/ t .

ملكيات

يتشابه دور الدالة المميزة في نظرية الدوال الميرومورفية في المستوى مع دورها في

سجل⁡م(ر،و)=سجل⁡الأعلى|z|≤ر|و(z)|{\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}

في نظرية الدوال الكاملة . في الواقع، من الممكن مقارنة T ( r , f ) و M ( r , f ) مباشرةً لدالة كاملة:

تي(ر،و)≤سجل+⁡م(ر،و){\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}

و

سجل⁡م(ر،و)≤(R+رR-ر)تي(R،و)،{\displaystyle \log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{R-r}}\right)T(R,f),\,}

لأي R  > r . 

إذا كانت f دالة كسرية من الدرجة d ، فإن T ( r , f )  ~ d log r ؛ في الواقع، T ( r , f ) = O (log r ) إذا وفقط إذا كانت f دالة كسرية.      

يتم تحديد رتبة الدالة الميرومورفية بواسطة

ρ(و)=ليم سوبر→∞سجل+⁡تي(ر،و)سجل⁡ر.{\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}

تشكل الدوال ذات الرتبة المحدودة فئة فرعية مهمة تمت دراستها بشكل كبير.

عندما يكون نصف قطر القرص R ، الذي تُعرَّف فيه الدالة الميرومورفية، محدودًا، فإن خاصية نيفانلينا قد تكون محدودة. الدوال في قرص ذات خاصية محدودة، والمعروفة أيضًا بالدوال من النوع المحدود ، هي تحديدًا تلك الدوال التي تمثل نسبًا بين دوال تحليلية محدودة. يمكن أيضًا تعريف الدوال من النوع المحدود على هذا النحو لمجال آخر، مثل النصف العلوي من المستوى .

النظرية الأساسية الأولى

ليكن a  ∈ C ، وعرّف 

شمال(ر،أ،و)=شمال(ر،1و-أ)،م(ر،أ،و)=م(ر،1و-أ).{\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right).\,}

بالنسبة لـ a  =  ∞، نضع N ( r ,∞, f )  = N ( r , f ), m ( r ,∞, f ) = m ( r , f ).   

تنص النظرية الأساسية الأولى لنظرية نيفانلينا على أنه لكل عنصر a في كرة ريمان ،

تي(ر،و)=شمال(ر،أ،و)+م(ر،أ،و)+يا(1)،{\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}

حيث قد يعتمد الحد المحدود O (1) على f و a . [ 4 ] بالنسبة للدوال الميرومورفية غير الثابتة في المستوى، فإن T ( r , f ) تؤول إلى اللانهاية عندما تؤول r إلى اللانهاية، لذا تنص النظرية الأساسية الأولى على أن المجموع N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ) يؤول إلى اللانهاية بمعدل مستقل عن a . تُعد النظرية الأساسية الأولى نتيجة مباشرة لصيغة جنسن .   

تتميز الدالة المميزة بالخصائص التالية للدرجة:

تي(ر،وز)≤تي(ر،و)+تي(ر،ز)+يا(1)،تي(ر،و+ز)≤تي(ر،و)+تي(ر،ز)+يا(1)،تي(ر،1/و)=تي(ر،و)+يا(1)،تي(ر،وم)=متي(ر،و)+يا(1)،{\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}

حيث m عدد طبيعي. الحد المحدود O (1) مهمل عندما يؤول T ( r , f ) إلى اللانهاية. يمكن استنتاج هذه الخصائص الجبرية بسهولة من تعريف نيفانلينا وصيغة جنسن.

النظرية الأساسية الثانية

نُعرّف N ( r , f ) بنفس طريقة تعريف N ( r , f ) ولكن دون مراعاة التعددية (أي أننا نحسب فقط عدد الأقطاب المتميزة). عندئذٍ، يُعرّف N1 (r, f) على أنه دالة نيفانلينا لحساب النقاط الحرجة للدالة f ، أي 

شمال1(ر،و)=2شمال(ر،و)-شمال(ر،و′)+شمال(ر،1و′)=شمال(ر،و)+شمال¯(ر،و)+شمال(ر،1و′).{\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,}

تنص النظرية الأساسية الثانية على أنه لكل k قيمة مميزة a j على كرة ريمان، لدينا

∑ج=1كم(ر،أج،و)≤2تي(ر،و)-شمال1(ر،و)+S(ر،و).{\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}

وهذا يعني

(ك-2)تي(ر،و)≤∑ج=1كشمال¯(ر،أج،و)+S(ر،و)،{\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,}

حيث S ( r , f ) هو "حد خطأ صغير".

بالنسبة للدوال الميرومورفية في المستوى، S ( r , f )  =  o( T ( r , f ))، خارج مجموعة ذات طول محدود، يكون حد الخطأ صغيرًا مقارنةً بالخاصية لمعظم قيم r . توجد تقديرات أفضل بكثير لحد الخطأ، لكن أندريه بلوخ افترض، وأثبت هايمان، أنه لا يمكن التخلص من مجموعة استثنائية.

تسمح النظرية الأساسية الثانية بإيجاد حد أعلى للدالة المميزة بدلالة N ( r , a ). على سبيل المثال، إذا كانت f دالة تامة متسامية، فباستخدام النظرية الأساسية الثانية مع k  =  3 و a³ = ∞ ، نحصل على أن f تأخذ كل قيمة عددًا لا نهائيًا من المرات، باستثناء حالتين على الأكثر، مما يثبت نظرية بيكارد .  

استند برهان نيفانلينا الأصلي للنظرية الأساسية الثانية إلى ما يُعرف بـ"مُبرهنة المشتقة اللوغاريتمية" ، والتي تنص على أن m ( r , f' / f )  = S ( r , f ). وينطبق برهان مماثل على العديد من التعميمات متعددة الأبعاد. كما توجد براهين هندسية تفاضلية تربطها بنظرية غاوس-بونيه . ويمكن أيضًا اشتقاق النظرية الأساسية الثانية من نظرية أهلفورس الطوبولوجية المترية ، والتي يُمكن اعتبارها امتدادًا لصيغة ريمان-هرويتز لتشمل الأغطية ذات الدرجة اللانهائية. 

تشير براهين نيفانلينا وأهلفورس إلى أن الثابت 2 في النظرية الأساسية الثانية مرتبط بخاصية أويلر لمجال ريمان. مع ذلك، ثمة تفسير مختلف تمامًا لهذا الثابت 2، يستند إلى تشابه عميق مع نظرية الأعداد اكتشفه تشارلز أوسجود وبول فوجتا . وفقًا لهذا التشابه، يُعدّ 2 هو الأس في نظرية ثو-سيجل-روث . ولمزيد من التوضيح حول هذا التشابه مع نظرية الأعداد، يُرجى الرجوع إلى دراسة لانغ (1987) وكتاب رو (2001) .

علاقة العيب

تُعدّ علاقة النقص إحدى النتائج الرئيسية لنظرية الأساس الثانية. ويُعرَّف نقص الدالة الميرومورفية عند النقطة a بالصيغة التالية:

دلتا(أ،و)=الحد الأقصى غير محدودر→∞م(ر،أ،و)تي(ر،و)=1-ليم سوبر→∞شمال(ر،أ،و)تي(ر،و).{\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}

بحسب النظرية الأساسية الأولى، فإن 0 ≤ δ ( a , f ) ≤ 1، إذا كانت T ( r , f ) تؤول إلى اللانهاية (وهو ما ينطبق دائمًا على الدوال غير الثابتة الميرومورفية في المستوى). تُسمى النقاط a التي تحقق δ ( a , f ) > 0 بالقيم الناقصة . وتنص النظرية الأساسية الثانية على أن مجموعة القيم الناقصة لدالة ميرومورفية في المستوى قابلة للعد على الأكثر ، وتتحقق العلاقة التالية:      

∑أدلتا(أ،و)≤2،{\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}

حيث يشمل الجمع جميع القيم الناقصة. [ 5 ] يمكن اعتبار هذا تعميمًا لنظرية بيكارد . ويمكن اشتقاق العديد من النظريات الأخرى من نوع بيكارد من النظرية الأساسية الثانية.

وكنتيجة أخرى من النظرية الأساسية الثانية، يمكن للمرء أن يحصل على ذلك

تي(ر،و′)≤2تي(ر،و)+S(ر،و)،{\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}

وهذا يعمم حقيقة أن الدالة الكسرية من الدرجة d لها 2d − 2 < 2d نقطة حرجة .    

التطبيقات

تُعدّ نظرية نيفانلينا مفيدة في جميع المسائل التي تنشأ فيها الدوال الميرومورفية المتسامية، مثل النظرية التحليلية للمعادلات التفاضلية والوظيفية [ 6 ] [ 7 ]، والديناميكا الهولومورفية ، والأسطح الدنيا ، والهندسة الزائدية المعقدة، التي تتناول تعميمات نظرية بيكارد إلى أبعاد أعلى. [ 8 ]

مزيد من التطوير

ركز جزء كبير من الأبحاث في مجال الدوال ذات المتغير المركب الواحد خلال القرن العشرين على نظرية نيفانلينا. تمحور أحد اتجاهات هذه الأبحاث حول تحديد مدى إمكانية تطبيق الاستنتاجات الرئيسية لنظرية نيفانلينا. فعلى سبيل المثال، تتمثل المسألة العكسية في نظرية نيفانلينا في بناء دوال ميرومورفية ذات عيوب محددة مسبقًا عند نقاط معينة. وقد حلّ ديفيد دراسين هذه المسألة عام ١٩٧٦. [ ٩ ] وركز اتجاه آخر على دراسة فئات فرعية مختلفة من فئة جميع الدوال الميرومورفية في المستوى. وتتمثل أهم هذه الفئات الفرعية في الدوال ذات الرتبة المحدودة. وقد تبين أن العيوب في هذه الفئة تخضع لعدة قيود، بالإضافة إلى علاقة العيب (نورير أراكليان، ديفيد دراسين، ألبرت إدري، ألكسندر إيريمينكو ، فولفغانغ فوكس ، أناتولي غولدبرغ ، والتر هايمان ، جوزيف مايلز، دانيال شيا، أوزوالد تايخمولر ، آلان ويتسمان وآخرون).

قام هنري كارتان ، ويواكيم وهيرمان ويل [ 1 ] ، ولارس أهلفورس بتوسيع نظرية نيفانلينا لتشمل المنحنيات الهولومورفية . ويُعد هذا التوسيع الأداة الرئيسية للهندسة الزائدية المعقدة . [ 10 ] كما قام هنريك سيلبرغ وجورج فاليرون بتوسيع نظرية نيفانلينا لتشمل الدوال الجبرية . [ 11 ] ولا يزال البحث المكثف في النظرية الكلاسيكية أحادية البعد مستمرًا. [ 12 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هـ. ويل (1943). الدوال الميرومورفية والمنحنيات التحليلية . مطبعة جامعة برينستون . ص  8.
  2. ↑ غولدبرغ، أ.؛ أوستروفسكي، إ. (2008). توزيع قيم الدوال الميرومورفية . الجمعية الرياضية الأمريكية .
  3. ↑ هايمان، دبليو. (1964). الدوال الميرومورفية . مطبعة جامعة أكسفورد .
  4. ↑ رو (2001) ص 5
  5. ↑ رو (2001) ص 61
  6. ↑ إلبو لاين (1993). نظرية نيفانلينا والمعادلات التفاضلية المعقدة . برلين: والتر دي جرويتر .
  7. ↑ إيريمينكو، أ. (1982). "حلول ميرومورفية للمعادلات التفاضلية الجبرية". المسوحات الرياضية الروسية . 37 (4): 61-95 . Bibcode : 1982RuMaS..37...61E . CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . doi : 10.1070/RM1982v037n04ABEH003967 . 
  8. ↑ لانغ (1987) ص 39
  9. ↑ دراسين، ديفيد (1976). "المسألة العكسية لنظرية نيفانلينا" . مجلة الرياضيات 138 (1): 83-151 . doi : 10.1007/BF02392314 . MR 0585644 . 
  10. ↑ لانغ (1987) الفصل السابع
  11. ^ فاليرون، ج. (1931). "Sur la dérivée des fonctions algébroïdes". ثور. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. فرنسا . المجلد. 59. ص 17 – 39.  
  12. ↑ أ. إيريمينكو وج. لانغلي (2008). الدوال الميرومورفية لمتغير عقدي واحد. دراسة استقصائية ، نُشرت كملحق لكتاب غولدبرغ، أ.؛ أوستروفسكي، إ. (2008). توزيع قيم الدوال الميرومورفية . الجمعية الرياضية الأمريكية .

للمزيد من القراءة

  • بومبيري، إنريكو ؛ غوبلر، والتر (2006). "13. نظرية نيفانلينا". الارتفاعات في الهندسة الديوفانتية . دراسات رياضية جديدة. المجلد  4. مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 444-478 . ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034 . 
  • كودايرا ، كونيهيكو (2017). نظرية نيفانلينا . ملخصات سبرينغر في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-981-10-6786-0. Zbl 1386.30002 . 
  • فويتا، بول (1987). التقريبات الديوفانتية ونظرية توزيع القيم . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1239. دار نشر سبرينغر . ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011 . 
  • فويتا، بول (2011). "التقريب الديوفانتي ونظرية نيفانلينا". في: كورفاجا، بيترو؛ غاسباري، كارلو (محرران). الهندسة الحسابية. محاضرات أُلقيت في المدرسة الصيفية لمركز CIME، سيترارو، إيطاليا، 10-15 سبتمبر 2007. سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  2009. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 111-224 . ISBN  978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076 .