تمثيل جبر لي

في مجال نظرية التمثيل الرياضي ، يُعد تمثيل جبر لي أو تمثيل جبر لي طريقةً لكتابة جبر لي كمجموعة من المصفوفات (أو التشكلات الداخلية لفضاء متجهي ) بحيث يُعطى قوس لي بواسطة المُبدِّل . بلغة الفيزياء، نبحث عن فضاء متجهي $V$ بالإضافة إلى مجموعة من المشغلين على $V$ تحقيق مجموعة ثابتة من علاقات التبادل، مثل العلاقات التي تحققها عوامل الزخم الزاوي .

يرتبط هذا المفهوم ارتباطًا وثيقًا بمفهوم تمثيل زمرة لي . وبشكل عام، فإن تمثيلات جبر لي هي الشكل التفاضلي لتمثيلات زمر لي، بينما تمثيلات الغطاء الشامل لزمرة لي هي الشكل المتكامل لتمثيلات جبر لي الخاص بها.

في دراسة تمثيلات جبر لي، تلعب حلقة خاصة ، تُسمى الجبر الشامل المُحيط ، دورًا هامًا. وتُشير خاصية الشمولية لهذه الحلقة إلى أن فئة تمثيلات جبر لي هي نفسها فئة الوحدات النمطية فوق جبره الشامل.

التعريف الرسمي

يترك ${\mathfrak {g}}$ ليكن جبر لي و $V$ ليكن فضاءً متجهيًا. لنفترض ${\mathfrak {gl}}(V)$ يرمز إلى فضاء التشكلات الداخلية لـ $V$ أي فضاء جميع التحويلات الخطية لـ $V$ إلى نفسها. هنا، الجبر الترابطي ${\mathfrak {gl}}(V)$ يتم تحويلها إلى جبر لي مع قوس معطاة بواسطة المبدل: $[s,t]=s\circ tt\circ s$ لكل s,t في ${\mathfrak {gl}}(V)$ ثم تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ على $V$ هو تشاكل جبر لي

\rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)

.

وهذا يعني صراحةً أن $\rho$ يجب أن تكون دالة خطية ويجب أن تحقق الشروط التالية

\rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)

لكل X و Y في ${\mathfrak {g}}$ يُطلق على الفضاء المتجهي V ، بالإضافة إلى التمثيل ρ ، اسم ${\mathfrak {g}}$ -وحدة . (يسيء العديد من المؤلفين استخدام المصطلحات ويشيرون إلى V نفسها على أنها التمثيل).

التمثيل $\rho$ يقال إنها أمينة إذا كانت حقنية.

يمكن تعريف a بشكل مكافئ ${\mathfrak {g}}$ -الوحدة النمطية كفضاء متجهي V بالإضافة إلى خريطة ثنائية الخطية ${\mathfrak {g}}\times V\to V$ بحيث

[X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)

لكل X و Y في ${\mathfrak {g}}$ و v في V. يرتبط هذا بالتعريف السابق عن طريق وضع X ⋅ v = ρ ( X )( v ).

أمثلة

التمثيلات المرافقة

أبسط مثال على تمثيل جبر لي هو التمثيل المرافق لجبر لي ${\mathfrak {g}}$ على نفسه:

{\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].

في الواقع، بفضل هوية جاكوبي ، $\operatorname {ad}$ هو تماثل جبر لي.

تمثيلات زمرة لي متناهية الصغر

يظهر تمثيل جبر لي أيضًا في الطبيعة. إذا $\phi$ G → H هو تشاكل بين زمر لي (الحقيقية أو المركبة) ، و ${\mathfrak {g}}$ و ${\mathfrak {h}}$ إذا كانت جبر لي لـ G و H على التوالي، فإن التفاضل ${\displaystyle d_{e}\phi$ على الفضاءات المماسية عند عناصر التطابق هو تشاكل جبر لي. على وجه الخصوص، بالنسبة لفضاء متجهي محدود الأبعاد V ، فإنّ تمثيل زمر لي

\phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,

يحدد تشاكل جبر لي

{\displaystyle d\phi

من ${\mathfrak {g}}$ إلى جبر لي للمجموعة الخطية العامة GL( V )، أي جبر التشكل الداخلي لـ V.

على سبيل المثال، لنفترض $c_{g}(x)=gxg^{-1}$ ثم يكون تفاضل $c_{g}:G\to G$ الهوية عنصر من $\operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$ . ويرمز إليه بـ $\operatorname {Ad} (g)$ يحصل المرء على تمثيل $\operatorname {Ad}$ من G على الفضاء المتجهي ${\mathfrak {g}}$ هذا هو التمثيل المرافق لـ G. بتطبيق ما سبق، نحصل على تمثيل جبر لي $d\operatorname {Ad}$ يمكن إثبات ذلك $d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad}$ ، التمثيل المرافق لـ ${\mathfrak {g}}$ .

يقول عكس جزئي لهذا البيان أن كل تمثيل لجبر لي ذي أبعاد منتهية (حقيقي أو مركب) يرتفع إلى تمثيل فريد لمجموعة لي المرتبطة به والمتصلة ببساطة ، بحيث تكون تمثيلات مجموعات لي المتصلة ببساطة متناظرة تناظرًا واحدًا لواحد مع تمثيلات جبر لي الخاص بها. ^{[ 1 ]}

في الفيزياء الكمية

في نظرية الكم، يُنظر إلى "الكميات القابلة للرصد" التي تُمثل مؤثرات ذاتية الترافق على فضاء هيلبرت . وتُعد علاقات التبادل بين هذه المؤثرات أداةً مهمة. فعلى سبيل المثال، تُحقق مؤثرات الزخم الزاوي علاقات التبادل التالية:

[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},

.

وبالتالي، فإن مدى هذه المؤثرات الثلاثة يشكل جبر لي، وهو متماثل مع جبر لي so(3) لمجموعة الدوران SO(3) . ^{[ 2 ]} إذاً إذا $V$ هي أي فضاء جزئي من فضاء هيلبرت الكمومي الذي يكون ثابتًا تحت تأثير مؤثرات الزخم الزاوي، $V$ سيشكل هذا تمثيلاً لجبر لي so(3). يُعد فهم نظرية تمثيل so(3) مفيدًا للغاية، على سبيل المثال، في تحليل الهاميلتونيان ذي التناظر الدوراني، مثل ذرة الهيدروجين . تظهر العديد من جبر لي الأخرى المثيرة للاهتمام (وتمثيلاتها) في فروع أخرى من الفيزياء الكمية. في الواقع، يتميز تاريخ نظرية التمثيل بتفاعلات غنية بين الرياضيات والفيزياء.

المفاهيم الأساسية

الفضاءات الجزئية الثابتة وعدم الاختزال

بالنظر إلى التمثيل ${\displaystyle \rho$ من جبر لي ${\mathfrak {g}}$ نقول إن الفضاء الجزئي $W$ ل $V$ ثابت إذا $\rho (X)w\in W$ للجميع $w\in W$ و $X\in {\mathfrak {g}}$ يُقال إن التمثيل غير الصفري غير قابل للاختزال إذا كانت الفضاءات الجزئية الثابتة الوحيدة هي $V$ نفسها والفراغ الصفري $\{0\}$ . يُستخدم مصطلح الوحدة البسيطة أيضًا للتمثيل غير القابل للاختزال.

التشاكلات

يترك ${\mathfrak {g}}$ ليكن جبر لي . ليكن V و W ${\mathfrak {g}}$ -وحدات. ثم خريطة خطية $f:V\to W$ هو تشاكل لـ ${\mathfrak {g}}$ -الوحدات النمطية إذا كانت ${\mathfrak {g}}$ -متغيرة؛ أي، $f(X\cdot v)=X\cdot f(v)$ لأي $X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V$ إذا كانت الدالة f تقابلية، $V,W$ يقال إنها متكافئة . وتُعرف هذه الخرائط أيضًا باسم الخرائط المتشابكة أو التشكلات .

وبالمثل، فإن العديد من الإنشاءات الأخرى من نظرية الوحدات في الجبر المجرد تنتقل إلى هذا الإطار: الوحدة الفرعية، والقسمة، والقسمة الفرعية، والمجموع المباشر، وسلسلة جوردان-هولدر، وما إلى ذلك.

معضلة شور

تُعدّ ليمّة شور أداة بسيطة ولكنها مفيدة في دراسة التمثيلات غير القابلة للاختزال. وهي تتكون من جزأين: ^{[ 3 ]}

إذا كانت V و W غير قابلة للاختزال ${\mathfrak {g}}$ -الوحدات النمطية و $f:V\to W$ إذا كان تشاكلاً، $f$ إما أن يكون صفراً أو تماثلاً.
إذا كان V غير قابل للاختزال ${\mathfrak {g}}$ -وحدة نمطية على حقل مغلق جبريًا و $f:V\to V$ إذا كان تشاكلاً، $f$ هو مضاعف قياسي للعنصر المحايد.

قابلية الاختزال الكاملة

ليكن V تمثيلاً لجبر لي ${\mathfrak {g}}$ يُقال إن V قابل للاختزال كليًا (أو شبه بسيط) إذا كان متماثلًا مع مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال (انظر: الوحدة النمطية شبه البسيطة ). إذا كان V محدود الأبعاد، فإنه يكون قابلًا للاختزال كليًا إذا وفقط إذا كان لكل فضاء جزئي ثابت من V مكمل ثابت. (أي، إذا كان W فضاءً جزئيًا ثابتًا، فإنه يوجد فضاء جزئي ثابت آخر P بحيث يكون V هو المجموع المباشر لـ W و P ).

لو ${\mathfrak {g}}$ إذا كانت V جبر لي شبه بسيط ذو بُعد منتهٍ على حقل ذي خاصية صفرية، وكان V ذا بُعد منتهٍ، فإن V يكون شبه بسيط؛ وهذا ما يُعرف بنظرية فايل للاختزال الكامل . ^{[ 4 ]} بالتالي، بالنسبة لجبر لي شبه البسيط، فإن تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال (أي البسيطة) يؤدي مباشرةً إلى تصنيف جميع التمثيلات. أما بالنسبة لجبر لي الآخر، الذي لا يمتلك هذه الخاصية المميزة، فقد لا يُفيد تصنيف التمثيلات غير القابلة للاختزال كثيرًا في تصنيف التمثيلات العامة.

يُقال إن جبر لي اختزالي إذا كان تمثيله المرافق شبه بسيط. بالتأكيد، كل جبر لي شبه بسيط (محدود الأبعاد) ${\mathfrak {g}}$ هو تبسيطي، لأن كل تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ كما ذكرنا سابقًا، فإنّ الجبر المختزل قابل للاختزال تمامًا. من جهة أخرى، يُعرّف جبر لي المختزل بأنه يتحلل إلى مجموع مباشر لمثاليّات (أي فضاءات جزئية ثابتة للتمثيل المرافق) لا تحتوي على مثاليّات جزئية غير تافهة. بعض هذه المثاليّات أحاديّ البُعد، والباقي جبر لي بسيط. بالتالي، فإنّ جبر لي المختزل هو مجموع مباشر لجبر تبديلي وجبر شبه بسيط.

الثوابت

يُقال أن العنصر v من V هو ${\mathfrak {g}}$ ثابت إذا $x\cdot v=0$ للجميع $x\in {\mathfrak {g}}$ يُرمز إلى مجموعة جميع العناصر الثابتة بـ $V^{\mathfrak {g}}$ .

الإنشاءات الأساسية

حاصل ضرب الموترات للتمثيلات

إذا كان لدينا تمثيلان لجبر لي ${\mathfrak {g}}$ إذا كانت _V1و V2 هما فضاءات المتجهات الأساسية _{، فإن}_حاصل الضرب الموتري للتمثيلات سيكون V1 _⊗V2 هو فضاء المتجهات الأساسي، مع تأثير ${\mathfrak {g}}$ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال الافتراض التالي:

X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).

للجميع $v_{1}\in V_{1}$ و $v_{2}\in V_{2}$ .

في لغة التشاكلات، هذا يعني أننا نُعرّف $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})$ وفقًا للصيغة

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)

[ ^{5 ] يُطلق على} هذا اسم مجموع كرونكر لـ

\rho _{1}

و

\rho _{2}

، كما هو محدد في جمع المصفوفات#Kronecker_sum و Kronecker product#Properties ، وبشكل أكثر تحديدًا في Tensor product of representations .

في الأدبيات الفيزيائية، غالبًا ما يتم حذف الضرب الموتري مع عامل الوحدة في الترميز، وتُكتب الصيغة على النحو التالي:

(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)

،

حيث يُفهم أن $\rho _{1}(x)$ يؤثر على العامل الأول في حاصل الضرب الموتري و $\rho _{2}(x)$ يؤثر على العامل الثاني في حاصل الضرب الموتري. في سياق تمثيلات جبر لي su(2)، يُعرف حاصل الضرب الموتري للتمثيلات باسم "جمع الزخم الزاوي". في هذا السياق، $\rho _{1}(X)$ قد يكون، على سبيل المثال، الزخم الزاوي المداري بينما $\rho _{2}(X)$ هو الزخم الزاوي الدوراني.

تمثيلات مزدوجة

يترك ${\mathfrak {g}}$ كن جبر لي و ${\displaystyle \rho$ تمثيلاً لـ ${\mathfrak {g}}$ . يترك $V^{*}$ ليكن الفضاء الثنائي، أي فضاء الدوال الخطية على $V$ ثم يمكننا تعريف تمثيل $\rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})$ وفقًا للصيغة

\rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },

حيث بالنسبة لأي مشغل $A:V\rightarrow V$ ، عامل النقل $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ يُعرَّف بأنه "التركيب مع $A$ "المشغل:

(A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)

علامة الطرح في تعريف $\rho ^{*}$ يلزم ضمان ذلك $\rho ^{*}$ هو في الواقع تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ ، في ضوء الهوية $(AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.$

إذا عملنا في أساس، فإن المنقول في التعريف أعلاه يمكن تفسيره على أنه منقول المصفوفة العادي.

التمثيل على الخرائط الخطية

يترك $V,W$ يكون ${\mathfrak {g}}$ -الوحدات النمطية، ${\mathfrak {g}}$ جبر لي. ثم $\operatorname {Hom} (V,W)$ يصبح ${\mathfrak {g}}$ -وحدة عن طريق التعيين $(X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)$ . بخاصة، $\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}$ أي بمعنى آخر، ${\mathfrak {g}}$ تجانسات الوحدات النمطية من $V$ ل $W$ هي ببساطة عناصر $\operatorname {Hom} (V,W)$ التي تبقى ثابتة تحت تأثير الفعل المحدد للتو لـ ${\mathfrak {g}}$ على $\operatorname {Hom} (V,W)$ إذا أخذنا $W$ لكي يكون الحقل الأساسي، نستعيد فعل ${\mathfrak {g}}$ على $V^{*}$ كما ورد في القسم الفرعي السابق.

نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط

انظر نظرية التمثيل لجبر لي شبه البسيط .

الجبر المغلف

لكل جبر لي ${\mathfrak {g}}$ على حقل k ، يمكن ربط حلقة معينة تسمى الجبر الشامل لـ ${\mathfrak {g}}$ ورمزت إلى $U({\mathfrak {g}})$ تضمن الخاصية الشاملة للجبر الشامل أن كل تمثيل لـ ${\mathfrak {g}}$ يؤدي إلى تمثيل لـ $U({\mathfrak {g}})$ وعلى العكس من ذلك، تنص نظرية PBW على أن ${\mathfrak {g}}$ يجلس في الداخل $U({\mathfrak {g}})$ بحيث يكون كل تمثيل لـ $U({\mathfrak {g}})$ يمكن حصرها في ${\mathfrak {g}}$ وبالتالي، توجد مطابقة تامة بين تمثيلات ${\mathfrak {g}}$ وأولئك من $U({\mathfrak {g}})$ .

يلعب الجبر الشامل دورًا هامًا في نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط، الموصوفة أعلاه. على وجه التحديد، تُبنى التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة كحاصل قسمة لوحدات فيرما ، وتُبنى وحدات فيرما كحاصل قسمة للجبر الشامل. ^{[ 6 ]}

بناء $U({\mathfrak {g}})$ وهو كما يلي. ^{[ 7 ]} ليكن T هو جبر الموترات للفضاء المتجهي ${\mathfrak {g}}$ وبالتالي، بحسب التعريف، $T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}$ وتُعطى عملية الضرب عليها بالصيغة التالية: $\otimes$ . يترك $U({\mathfrak {g}})$ ليكن حلقة القسمة لـ T بواسطة المثالي المتولد من عناصر من الشكل

[X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)

.

توجد خريطة خطية طبيعية من ${\mathfrak {g}}$ داخل $U({\mathfrak {g}})$ تم الحصول عليها بتقييد خريطة القسمة لـ $T\to U({\mathfrak {g}})$ إلى درجة قطعة واحدة. تنص نظرية PBW على أن الخريطة الأساسية هي في الواقع أحادية. وبالتالي، فإن كل جبر لي ${\mathfrak {g}}$ يمكن تضمينها في جبر ترابطي $A=U({\mathfrak {g}})$ بطريقة تجعل القوس على ${\mathfrak {g}}$ يُعطى بواسطة $[X,Y]=XY-YX$ في $A$ .

لو ${\mathfrak {g}}$ إذا كان أبيليًا ، فإن $U({\mathfrak {g}})$ هو الجبر المتناظر للفضاء المتجهي ${\mathfrak {g}}$ .

منذ ${\mathfrak {g}}$ هو وحدة فوق نفسها عبر التمثيل المرافق، الجبر المغلف $U({\mathfrak {g}})$ يصبح ${\mathfrak {g}}$ -وحدة نمطية عن طريق توسيع التمثيل المرافق. ولكن يمكن أيضًا استخدام التمثيل المنتظم الأيسر والأيمن لجعل الجبر المغلف ${\mathfrak {g}}$ -وحدة نمطية؛ أي، باستخدام الترميز $l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})$ ، عملية رسم الخرائط $X\mapsto l_{X}$ يُعرّف تمثيلًا لـ ${\mathfrak {g}}$ على $U({\mathfrak {g}})$ يتم تعريف التمثيل المنتظم الأيمن بشكل مماثل.

التمثيل المستحث

يترك ${\mathfrak {g}}$ ليكن جبر لي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفرية و ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ جبر فرعي. $U({\mathfrak {h}})$ أعمال بشأن $U({\mathfrak {g}})$ من اليمين، وبالتالي، لأي ${\mathfrak {h}}$ -الوحدة W ، يمكن للمرء تشكيل اليسار $U({\mathfrak {g}})$ -وحدة $U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W$ إنه ${\mathfrak {g}}$ -وحدة نمطية يُشار إليها بـ $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ وأطلق عليه اسم ${\mathfrak {g}}$ الوحدة النمطية المستحثة بواسطة W. وهي تحقق (وتتميز في الواقع) بالخاصية العامة: لأي ${\mathfrak {g}}$ -الوحدة E

\operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)

.

بالإضافة إلى، $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}$ هو دالة تامة من فئة ${\mathfrak {h}}$ - وحدات إلى فئة ${\mathfrak {g}}$ -الوحدات. تستخدم هذه حقيقة أن $U({\mathfrak {g}})$ وحدة مجانية على اليمين $U({\mathfrak {h}})$ وخاصة إذا $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W$ إذا كانت بسيطة (أو بسيطة للغاية)، فإن W بسيطة (أو بسيطة للغاية). هنا، أ ${\mathfrak {g}}$ الوحدة النمطية V بسيطة للغاية إذا $V\otimes _{k}F$ يُعد الأمر بسيطًا لأي امتداد حقل $F/k$ .

الاستقراء متعدٍ: $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}$ لأي جبر لي جزئي ${\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}$ وأي جبر فرعي من نوع لي ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'$ الاستقراء يتبادل مع التقييد: ليكن ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ الجبر الفرعي و ${\mathfrak {n}}$ مثال لـ ${\mathfrak {g}}$ ذلك موجود في ${\mathfrak {h}}$ . تعيين ${\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}$ و ${\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}$ . ثم $\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}$ .

التمثيلات اللانهائية الأبعاد و"الفئة O"

يترك ${\mathfrak {g}}$ ليكن جبر لي شبه بسيط ذو أبعاد منتهية على حقل ذي خاصية صفرية. (في حالة الجبر القابل للحل أو الجبر العدمي، يتم دراسة المثاليّات الأولية للجبر المغلف؛ انظر ديكسمير للحصول على التفسير النهائي.)

فئة الوحدات (التي قد تكون ذات أبعاد لا نهائية) ${\mathfrak {g}}$ اتضح أن حجمها كبير جدًا، خاصةً بالنسبة لأساليب الجبر التماثلي، ما يجعلها غير مجدية. وقد تبين أن فئة فرعية أصغر، هي الفئة O ، تُعدّ مكانًا أفضل لنظرية التمثيل في الحالة شبه البسيطة ذات الخاصية الصفرية. على سبيل المثال، تبين أن الفئة O ذات حجم مناسب لصياغة التبادلية الشهيرة BGG.

وحدة (g,K)

يُعدّ أحد أهم تطبيقات تمثيلات جبر لي هو نظرية تمثيل مجموعات لي المختزلة الحقيقية. ويستند هذا التطبيق على فكرة أنه إذا $\pi$ إذا كان تمثيل فضاء هيلبرت، على سبيل المثال، لمجموعة لي خطية شبه بسيطة حقيقية متصلة G ، فإنه يمتلك فعلين طبيعيين: التعقيد ${\mathfrak {g}}$ والمجموعة الفرعية المدمجة القصوى المتصلة K. ${\mathfrak {g}}$ - بنية الوحدة النمطية لـ $\pi$ يسمح بتطبيق الأساليب الجبرية، وخاصة الأساليب الهومولوجية، و $K$ تسمح بنية الوحدة بإجراء التحليل التوافقي بطريقة مشابهة لتلك التي يتم إجراؤها على مجموعات لي شبه البسيطة المدمجة المتصلة.

التمثيل على الجبر

إذا كان لدينا جبر لي فائق L ، فإن تمثيل L على جبر هو جبر متدرج Z ₂ (ليس بالضرورة ترابطيًا ) A وهو تمثيل لـ L كفضاء متجه متدرج Z ₂ ، بالإضافة إلى ذلك، تعمل عناصر L كمشتقات / مشتقات عكسية على A.

وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كان H عنصرًا نقيًا من L وكان x و y عنصرين نقيين من A ،

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + ( -1 ) ^xHx ( H [ y ] )

أيضًا، إذا كانت A أحادية ، فإن

H [1] = 0

أما الآن، بالنسبة لحالة تمثيل جبر لي ، فإننا ببساطة نسقط جميع الدرجات و ( - 1) إلى بعض عوامل القوة.

الجبر الفائق (أو جبر لي الفائق) هو جبر وله تمثيل مرافق لنفسه. هذا التمثيل هو تمثيل على جبر: خاصية الاشتقاق (أو الاشتقاق المضاد) هي متطابقة جاكوبي الفائقة .

إذا كان فضاء متجهي جبرًا ترابطيًا وجبر لي في آنٍ واحد ، وكان التمثيل المرافق لجبر لي على نفسه تمثيلًا على جبر (أي أنه يؤثر عن طريق الاشتقاقات على بنية الجبر الترابطي)، فإنه يكون جبر بواسون . وتُعطي الملاحظة المماثلة لجبر لي الفائق مفهوم جبر بواسون الفائق .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ هول 2015 نظرية 5.6
↑ هول 2013 القسم 17.3
↑ هول 2015 نظرية 4.29
↑ ديكسمير 1977 ، النظرية 1.6.3
↑ هول 2015 القسم 4.3
↑ هول 2015 القسم 9.5
↑ جاكوبسون 1962

مراجع

Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, "بنية التمثيلات التي يتم توليدها بواسطة متجهات ذات وزن أعلى،" Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
ديكسمير، ج. (1977)، الجبر المغلف ، أمستردام، نيويورك، أكسفورد: نورث هولاند، ISBN 0-444-11077-1.
A. Beilinson and J. Bernstein، "Localisation de g-modules،" Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I، vol. 292، الموضوع. 1، ص 15-18، 1981.
باورلي، جي جي إيه؛ دي كيرف، إي إيه (1990). أ. فان غروسن؛ إي إم دي ياغر (محرران). جبر لي ذو الأبعاد المحدودة وغير المحدودة وتطبيقاته في الفيزياء . دراسات في الفيزياء الرياضية. المجلد 1. نورث هولاند. ISBN 0-444-88776-8.
باورلي، GGA؛ دي كيرف، EA؛ تن كرود، القرد (1997). أ. فان جروسن؛ إم دي جاجر (محرران). جبر الكذب ذو الأبعاد المحدودة واللانهائية وتطبيقاتها في الفيزياء . دراسات في الفيزياء الرياضية. المجلد. 7. شمال هولندا. رقم ISBN 978-0-444-82836-1– عبر موقع ScienceDirect .
فولتون، دبليو .؛ هاريس، ج. (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 .
د. غايتسغوري ، نظرية التمثيل الهندسي، الرياضيات 267، خريف 2005
هول، برايان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 267، سبرينغر، ISBN 978-1461471158
هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
روسمان، وولف (2002)، زمر لي - مقدمة من خلال الزمر الخطية ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، منشورات أكسفورد للعلوم، رقم ISBN 0-19-859683-9
ريوشي هوتا، كيوشي تاكيوتشي، توشيوكي تانيساكي، وحدات D، الحزم الضارة، ونظرية التمثيل ؛ تمت الترجمة بواسطة كيوشي تاكيوش
همفريز، جيمس (1972)، مقدمة في جبر لي ونظرية التمثيل ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 9، سبرينغر، ISBN 9781461263982
جاكوبسون، ناثان (1979) [1962]. جبر لي . دوفر. ISBN 978-0-486-63832-4.
غاريت بيركوف ؛ فيليب م. ويتمان (1949). "تمثيل جبر جوردان ولي" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 65 : 116-136 . doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0029366-6 .
كيريلوف، أ. (2008). مقدمة في زمر لي وجبر لي . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 113. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521889698.
كناب، أنتوني و. (2001)، نظرية تمثيل المجموعات شبه البسيطة: نظرة عامة قائمة على الأمثلة، سلسلة معالم برينستون في الرياضيات، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-09089-0(معالجة أولية لـ SL(2, C ))
كناب، أنتوني دبليو. (2002)، مجموعات لي: ما وراءها ومقدمة ( الطبعة الثانية)، بيركهاوزر

للمزيد من القراءة

بن-زفي، ديفيد؛ نادلر، ديفيد (2012). "تحديد موقع بيلينسون-بيرنشتاين فوق مركز هاريش-تشاندرا". arXiv : 1209.0188v1 [ math.RT ].

[1] هول 2015 نظرية 5.6

[2] هول 2013 القسم 17.3

[3] هول 2015 نظرية 4.29

[4] ديكسمير 1977 ، النظرية 1.6.3

[5] هول 2015 القسم 4.3

[6] هول 2015 القسم 9.5

[7] جاكوبسون 1962

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

5 ] يُطلق على

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗