فوك سبيس

فضاء فوك هو بناء جبري يُستخدم في ميكانيكا الكم لإنشاء فضاء الحالات الكمومية لعدد متغير أو غير معروف من الجسيمات المتطابقة انطلاقًا من فضاء هيلبرت لجسيم واحد H. سُمي هذا الفضاء نسبةً إلى ف. أ. فوك الذي قدمه لأول مرة في بحثه المنشور عام 1932 بعنوان "Konfigurationsraum und zweite Quantelung" (" فضاء التكوين والتكميم الثاني "). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بصورة غير رسمية، يُعرَّف فضاء فوك بأنه مجموع مجموعة من فضاءات هيلبرت التي تُمثل حالات الجسيمات الصفرية، وحالات الجسيمات الأحادية، وحالات الجسيمات الثنائية، وهكذا. إذا كانت الجسيمات المتطابقة بوزونات ، فإن حالات الجسيمات n تُمثل متجهات في حاصل ضرب موتر متناظر لـ n فضاء هيلبرت أحادي الجسيم H. أما إذا كانت الجسيمات المتطابقة فرميونات ، فإن حالات الجسيمات n تُمثل متجهات في حاصل ضرب موتر غير متناظر لـ n فضاء هيلبرت أحادي الجسيم H (انظر الجبر المتناظر والجبر الخارجي على التوالي). الحالة العامة في فضاء فوك هي توليفة خطية من حالات الجسيمات n ، حالة واحدة لكل n .

من الناحية الفنية، فإن فضاء فوك هو ( إكمال فضاء هيلبرت لـ) المجموع المباشر للموترات المتناظرة أو المتضادة في قوى الموتر لفضاء هيلبرت أحادي الجسيم H ، $${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

هنا${\displaystyle S_{\nu }}$هو المؤثر الذي يجعل الموتر متناظرًا أو مضادًا للتناظر، اعتمادًا على ما إذا كان فضاء هيلبرت يصف الجسيمات التي تخضع لقانون بوزوني${\displaystyle (\nu =+)}$أو فرميونية${\displaystyle (\nu =-)}$الإحصائيات، ويمثل الخط العلوي اكتمال الفضاء. يمكن بدلاً من ذلك بناء فضاء فوك البوزوني (أو الفرميوني) على أنه (اكتمال فضاء هيلبرت) للموترات المتناظرة${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$(أو الموترات المتناوبة)${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$). لكل أساس لـ H ، يوجد أساس طبيعي لفضاء فوك، حالات فوك .

فضاء فوك هو المجموع المباشر (الهيلبرتي) لحاصل ضرب الموترات لنسخ من فضاء هيلبرت أحادي الجسيم${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

هنا${\displaystyle \mathbb {C} }$، وهي الكميات العددية المركبة ، تتكون من الحالات التي لا تحتوي على جسيمات.${\displaystyle H}$حالات جسيم واحد،${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$حالات جسيمين متطابقين، إلخ.

حالة عامة في${\displaystyle F_{\nu }(H)}$يُعطى بواسطة

$$$ \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i}،\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ أين

• ${\displaystyle |0\rangle }$هو متجه طوله 1 يُسمى حالة الفراغ و${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$هو معامل مركب،
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$هي حالة في فضاء هيلبرت للجسيم الواحد و${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$هو معامل مركب،
• $//$، و${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$هو معامل مركب، إلخ.

يُعد تقارب هذا المجموع اللانهائي مهمًا إذا${\displaystyle F_{\nu }(H)}$يجب أن يكون فضاء هيلبرت. من الناحية الفنية، نحن بحاجة إلى${\displaystyle F_{\nu }(H)}$أن تكون هذه المجموعة هي الإكمال الفضائي لهيلبرت للمجموع المباشر الجبري. وهي تتكون من جميع المجموعات غير المنتهية${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$بحيث يكون المعيار ، المحدد بواسطة الضرب الداخلي، محدودًا $${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$ حيث${\displaystyle n}$يُعرَّف معيار الجسيم بواسطة $${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n}}\sum _{j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$ أي، تقييد المعيار على حاصل الضرب الموتري${\displaystyle H^{\otimes n}}$

بالنسبة لحالتين عامتين $${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$و $${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ المنتج الداخلي على${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ثم يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$ حيث نستخدم المنتجات الداخلية في كل من${\displaystyle n}$فضاءات هيلبرت ذات الجسيمات. لاحظ أن، على وجه الخصوص${\displaystyle n}$تكون الفضاءات الفرعية للجسيمات متعامدة بالنسبة لـ${\displaystyle n}$.

حالة الضرب في فضاء فوك هي حالة من الشكل

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

والتي تصف مجموعة من${\displaystyle n}$الجسيمات، إحداها لها حالة كمومية${\displaystyle \phi _{1}}$، آخر${\displaystyle \phi _{2}}$وهكذا حتى${\displaystyle n}$الجسيم رقم 1، حيث كل${\displaystyle \phi _{i}}$أي حالة من فضاء هيلبرت للجسيم الواحد${\displaystyle H}$هنا يتم وضع الجسيمات المفردة جنبًا إلى جنب (كتابة متجهات الجسيمات المفردة جنبًا إلى جنب، بدون${\displaystyle \otimes }$يمثل الضرب المتناظر (أو غير المتناظر) في جبر الموترات المتناظر (أو غير المتناظر) . الحالة العامة في فضاء فوك هي توليفة خطية من حالات الضرب. تُسمى الحالة التي لا يمكن كتابتها كمجموع محدب لحالات الضرب حالة متشابكة .

عندما نتحدث عن جسيم واحد في حالة${\displaystyle \phi _{i}}$يجب أن نضع في اعتبارنا أنه في ميكانيكا الكم، لا يمكن التمييز بين الجسيمات المتطابقة . ففي فضاء فوك نفسه، تكون جميع الجسيمات متطابقة. (لوصف أنواع متعددة من الجسيمات، نأخذ حاصل الضرب الموتري لعدد من فضاءات فوك المختلفة يساوي عدد أنواع الجسيمات قيد الدراسة). ومن أهم مميزات هذا النموذج أن الحالات متناظرة ضمنيًا بشكل صحيح. على سبيل المثال، إذا كانت الحالة المذكورة أعلاه${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$إذا كانت المادة فرميونية، فسيكون الناتج صفرًا إذا كان اثنان (أو أكثر) من${\displaystyle \phi _{i}}$متساويان لأن الناتج الخارجي (غير المتناظر)${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$هذا صياغة رياضية لمبدأ استبعاد باولي، الذي ينص على أنه لا يمكن أن يتواجد فرميونان (أو أكثر) في نفس الحالة الكمومية. في الواقع، عندما تكون حدود حاصل الضرب الرسمي مرتبطة خطيًا، فإن حاصل الضرب يساوي صفرًا بالنسبة للموترات المتناظرة عكسيًا. كذلك، فإن حاصل ضرب الحالات المتعامدة يكون متعامدًا بشكل صحيح بحكم التعريف (مع أنه قد يساوي صفرًا في حالة فيرمي عندما تتساوى حالتان).

يُعدّ أساس عدد الإشغال أساسًا مفيدًا ومناسبًا لمساحة فوك . بافتراض وجود أساس${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$ل${\displaystyle H}$يمكننا الإشارة إلى الحالة بـ ${\displaystyle n_{0}}$الجسيمات في الحالة${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$، ${\displaystyle n_{1}}$الجسيمات في الحالة${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$...${\displaystyle n_{k}}$الجسيمات في الحالة${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$ولا توجد جسيمات في الحالات المتبقية، وذلك بتحديد

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

حيث كل${\displaystyle n_{i}}$تأخذ القيمة 0 أو 1 للجسيمات الفرميونية، و0، 1، 2، ... للجسيمات البوزونية. لاحظ أنه يمكن حذف الأصفار الزائدة دون تغيير الحالة. تُسمى هذه الحالة حالة فوك .${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$تُفهم حالات فوك على أنها حالات مستقرة لحقل حر، وتصف هذه الحالات مجموعة من الجسيمات غير المتفاعلة بأعداد محددة. وأعم حالة فوك هي تراكب خطي لحالات نقية.

يُعدّ كلٌّ من عاملي الإنشاء والإفناء من العوامل ذات الأهمية الكبيرة ، حيث يقوم أحدهما، عند تطبيقه على حالة فوك، بإضافة جسيم إلى الحالة الكمومية المنسوبة إليه، بينما يقوم الآخر، على التوالي، بإزالته منها. ويُرمز لهما بـ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$للخلق و${\displaystyle a(\phi )}$للإفناء على التوالي. لإنشاء ("إضافة") جسيم، الحالة الكمومية${\displaystyle |\phi \rangle }$متناظر أو خارجي - مضروب في${\displaystyle |\phi \rangle }$وعلى التوالي، لإفناء (إزالة) جسيم، يتم أخذ ناتج ضرب داخلي (زوجي أو فردي) مع${\displaystyle \langle \phi |}$، وهو المرافق لـ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$من الملائم في كثير من الأحيان العمل مع حالات الأساس لـ${\displaystyle H}$بحيث تقوم هذه المؤثرات بإزالة وإضافة جسيم واحد فقط في حالة الأساس المعطاة. كما تعمل هذه المؤثرات كمولدات لمؤثرات أكثر عمومية تعمل على فضاء فوك، على سبيل المثال مؤثر العدد الذي يحدد عدد الجسيمات في حالة معينة.${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$يكون${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$.

غالباً ما تكون مساحة الجسيمات الواحدة${\displaystyle H}$يُعطى على النحو التالي${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$، فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على فضاء${\displaystyle X}$مع القياس${\displaystyle \mu }$(بمعنى أدق، فئات التكافؤ للدوال القابلة للتكامل التربيعي حيث تكون الدوال متكافئة إذا اختلفت على مجموعة قياسها صفر ). المثال النموذجي هو الجسيم الحر مع${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي في الفضاء ثلاثي الأبعاد . ومن ثم، فإن فضاءات فوك لها تفسير طبيعي على أنها دوال قابلة للتكامل التربيعي متناظرة أو غير متناظرة كما يلي.

يترك${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$و${\displaystyle X^{1}=X}$،${\displaystyle X^{2}=X\times X}$،${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$إلخ. لنعتبر فضاء مجموعات النقاط الذي هو الاتحاد المنفصل

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\amalg X^{1}\amalg X^{2}\amalg X^{3}\amalg \cdots .}$$

له مقياس طبيعي${\displaystyle \mu ^{*}}$بحيث${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$وتقييد${\displaystyle \mu ^{*}}$ل${\displaystyle X^{n}}$يكون${\displaystyle \mu ^{n}}$مساحة فوك المتساوية${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$ويمكن بعد ذلك تحديدها مع فضاء الدوال المتناظرة في${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$بينما مساحة فوك الغريبة${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$يمكن تحديدها بفضاء الدوال المتناظرة عكسيًا. وينتج هذا التحديد مباشرةً من التحويل المتساوي القياس.$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$$${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$.

دوال موجية معطاة${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$محدد سلاتر

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$ هي دالة مضادة للتناظر على${\displaystyle X^{n}}$وبالتالي، يمكن تفسيره بشكل طبيعي على أنه عنصر من عناصر${\displaystyle n}$قطاع الجسيمات في فضاء فوك الفردي. يتم اختيار التطبيع بحيث${\displaystyle \|\Psi \|=1}$إذا كانت الدوال${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$متعامدة. يوجد "محدد سلاتر" مشابه مع استبدال المحدد بالمحدد الذي يعطي عناصر من${\displaystyle n}$-قطاع من فضاء فوك الزوجي.

في نظرية التمثيل ، يمكن وصف فضاءات فوك بأنها وحدات دورية مُولَّدة بواسطة متجه مميز، هو الفراغ . تعمل عوامل الإفناء على إزالة الفراغ، بينما يؤدي التطبيق المتكرر لعوامل الإنشاء إلى توليد متجهات الأساس المتبقية. بالتالي، يمكن اعتبار فضاء فوك فضاء تمثيل للجبر المُوَلَّد بواسطة عوامل الإنشاء والإفناء. بالنسبة للبوزونات، يُعطي فضاء فوك المتناظر تمثيل فوك القياسي لعلاقات التبادل الأساسية ، أو ما يُكافئه لجبر فايل . أما بالنسبة للفيرميونات، فيُعطي فضاء فوك غير المتناظر التمثيل المُقابل لعلاقات التبادل المضاد الأساسية ، أو ما يُكافئه لجبر كليفورد . ^{[ 3 ]} يكون متجه الفراغ دوريًا في كلتا الحالتين.

في حالة البوزونات، بالنسبة لفضاء أحادي الجسيم ذي أبعاد محدودة، تُعرّف علاقات التبادل الأساسية جبر هايزنبرغ المُوَلَّد بواسطة مُعاملي الإنشاء والإفناء بالإضافة إلى عنصر مركزي، يعمل كعنصر محايد في تمثيل فوك المعتاد. جبر فايل المُقابل هو خارج قسمة الجبر الشامل لهذا الجبر الهايزنبرغي على العلاقة التي يعمل بها العنصر المركزي كـ${\displaystyle 1}$تُغلق التعبيرات التربيعية في عوامل الإنشاء والإفناء تحت تأثير المُبدِّل، وتُعطي تمثيلاً لجبر لي التبسيطي.${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$على مستوى المجموعة، يُعرف هذا بالمذبذب، أو التمثيل الميتابليكتي . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

فضاء فوك البوزوني غير قابل للاختزال كتمثيل قياسي لجبر هايزنبرغ أو جبر فايل، ولكنه يتحلل إلى مكونات زوجية وفردية غير قابلة للاختزال تحت التأثير التربيعي لـ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$مع مراعاة اتفاقية الوزن الأعلى المعتادة لـ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$هذان المكونان لهما أعلى الأوزان${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\omega _{n}}$و${\displaystyle \omega _{n-1}-{\frac {3}{2}}\omega _{n}}$، أين${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$هي الأوزان الأساسية من النوع-${\displaystyle C_{n}}$نظام الجذر . في الإحداثيات القياسية${\displaystyle \varepsilon _{i}}$في جبر كارتان الفرعي ، تكون هذه الأوزان الأساسية${\displaystyle \omega _{k}=\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{k}}$وبالمثل، في نموذج فوك الهولومورفي، يمكن اعتبار المكونين، اعتمادًا على اختيار الجذور الموجبة، وحدات مولدة بواسطة قطاعات الفراغ الزوجية والفردية. ^{[ 7 ] [ 6 ]}

في حالة الفرميونات، يتم الحصول على العلاقة مع تمثيلات اللف المغزلي عن طريق اختيار استقطاب للفضاء التربيعي. إذا${\displaystyle U}$هو فضاء أحادي الجسيم ذو أبعاد محدودة، يشكل الفضاء التربيعي${\displaystyle U\oplus U^{\ast }}$، مع شكل ثنائي خطي متناظر معطى بواسطة الاقتران الطبيعي بين${\displaystyle U}$و${\displaystyle U^{\ast }}$الحدّان هما فضاءان فرعيان متناحيان أقصى متكاملان. فضاء فوك الفرميوني${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$إذن، وحدة السبينور المرتبطة بهذا الاستقطاب هي: عناصر من${\displaystyle U}$تعمل عن طريق الضرب الخارجي، بينما عناصر${\displaystyle U^{\ast }}$تعمل هذه العمليات عن طريق الانكماش. وتُحقق هذه العمليات علاقات التبادل المضاد المتعارف عليها، وبالتالي تُعطي الفعل القياسي لجبر كليفورد.${\displaystyle \mathrm {Cl} (U\oplus U^{\ast })}$على${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$[ ^{8 ]​}

تُولّد التعبيرات التربيعية في مُعاملات الإنشاء والإفناء الفرميونية فعلًا لجبر لي متعامد .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n)}$، أين${\displaystyle 2n=\dim(U\oplus U^{\ast })}$الأجزاء الزوجية والفردية${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {even} }U}$و${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {odd} }U}$أعطِ تمثيلي نصف الدوران. مع مولد كليفورد إضافي واحد، الفضاء الكامل${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$يعطي تمثيل الدوران لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1)}$[ ^{9 ]​}

تُستخدم فضاءات فوك أيضًا في الجبر اللانهائي الأبعاد. يمكن تمثيل فضاء فوك الفرميوني كجبر خارجي شبه لانهائي، ويُستخدم لبناء تمثيلات لجبر المصفوفات اللانهائي الرتبة وجبر لي الأفيني . وبالمثل، تظهر فضاءات فوك البوزونية كوحدات نمطية لجبر هايزنبرغ وفي بناء جبر الرؤوس . تُحدد مطابقة البوزون-الفرميون بعض تمثيلات فوك البوزونية والفرميونية، وهي مثال محوري على دور فضاء فوك في نظرية التمثيل. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

عرّف فضاء سيغال-بارغمان${\displaystyle B_{N}}$^{[ 12 ]} منالدوال الهولومورفيةالقابلة للتكامل التربيعي بالنسبة إلىمقياس غاوسي:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$ أين $${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$ ثم تحديد مساحة${\displaystyle B_{\infty }}$باعتبارها اتحادًا متداخلًا للمساحات${\displaystyle B_{N}}$على الأعداد الصحيحة${\displaystyle N\geq 0}$أظهر سيغال ^{[ 13 ]} وبارغمان ^{[ 14 ] [ 15 ]} أن${\displaystyle B_{\infty }}$متماثل مع فضاء فوك البوزوني. الحد الأحادي $${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$ يتوافق مع حالة فوك $${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

• مخططات فاينمان وحاصل ضرب ويك المرتبط بفضاء كيو-فوك - التحليل غير التبادلي ، إدوارد ج. إفروس وميهاي بوبا، قسم الرياضيات، جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس
• آر. جيروش، الفيزياء الرياضية، مطبعة جامعة شيكاغو، الفصل 21.