توزيع K

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع K المعمم عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ذات ثلاثة معلمات. وينشأ هذا التوزيع من خلال دمج توزيعين من توزيعات غاما . في كل حالة، تُستخدم إعادة تحديد معلمات الشكل المعتاد لعائلة توزيعات غاما، بحيث تكون المعلمات كما يلي:

• متوسط ​​التوزيع،
• معامل الشكل المعتاد.

يُعدّ توزيع K حالة خاصة من توزيع غاما التبايني ، والذي بدوره حالة خاصة من التوزيع الزائدي المعمم . وغالبًا ما يُشار إلى حالة خاصة أبسط من توزيع K المعمم باسم توزيع K.

لنفترض أن متغيرًا عشوائيًا${\displaystyle X}$يتبع توزيع جاما بمتوسط${\displaystyle \sigma }$ومعامل الشكل${\displaystyle \alpha }$، مع${\displaystyle \sigma }$يتم التعامل معها كمتغير عشوائي له توزيع جاما آخر، هذه المرة بمتوسط${\displaystyle \mu }$ومعامل الشكل${\displaystyle \beta }$والنتيجة هي أن${\displaystyle X}$لها دالة كثافة الاحتمال التالية (pdf) لـ${\displaystyle x>0}$: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

أين${\displaystyle K}$هي دالة بيسل معدلة من النوع الثاني. لاحظ أنه بالنسبة لدالة بيسل المعدلة من النوع الثاني، لدينا${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$في هذا الاشتقاق، يُعد توزيع K توزيعًا احتماليًا مركبًا . وهو أيضًا توزيع ضربي : ^{[ 1 ]} إنه توزيع حاصل ضرب متغيرين عشوائيين مستقلين، أحدهما يتبع توزيع جاما بمتوسط ​​1 ومعامل شكل${\displaystyle \alpha }$أما الثاني فيتبع توزيع جاما بمتوسط${\displaystyle \mu }$ومعامل الشكل${\displaystyle \beta }$.

يمكن الحصول على صيغة أبسط ذات معلَمين لتوزيع K عن طريق وضع${\displaystyle \beta =1}$كما ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

أين${\displaystyle v=\alpha }$هو عامل الشكل،${\displaystyle b=\alpha /\mu }$هو عامل المقياس، و${\displaystyle K}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني. ويمكن الحصول على الصيغة ذات المعاملين المذكورة أعلاه أيضًا عن طريق وضع${\displaystyle \alpha =1}$،${\displaystyle v=\beta }$، و${\displaystyle b=\beta /\mu }$، وإن كان ذلك بتفسير فيزيائي مختلف لـ${\displaystyle b}$و${\displaystyle v}$المعلمات. غالبًا ما يُشار إلى هذا الشكل الرسمي المكون من معلمتين باسم توزيع K، بينما يُشار إلى الشكل الرسمي المكون من ثلاث معلمات باسم توزيع K المعمم.

يستند هذا التوزيع إلى ورقة بحثية لإريك جاكمان وبيتر بوسي (1978) استخدماها لنمذجة صدى الموجات الميكروية في البحر. ^{[ 4 ]} اشتق جاكمان وتوف (1987) التوزيع من نموذج المشي العشوائي المتحيز. ^{[ 5 ]} اشتق كيث د. وارد (1981) التوزيع من حاصل ضرب متغيرين عشوائيين، z = a y ، حيث يتبع a توزيع كاي تربيع ، ويتبع y توزيع غاوسي معقد. وبالتالي، فإن القيمة المطلقة لـ z ، |z| ، تتبع توزيع K. ^{[ 6 ]}

يتم إعطاء دالة توليد العزوم بواسطة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

أين${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$و${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$هي دالة ويتاكر .

يتم إعطاء العزوم النونية لتوزيع K بواسطة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

إذن، يتم إعطاء المتوسط ​​والتباين بواسطة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

جميع خصائص التوزيع متناظرة في${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta .}$^{[ 1 ]}

ينشأ توزيع K كنتيجة لنموذج إحصائي أو احتمالي يُستخدم في صور الرادار ذي الفتحة التركيبية (SAR). ويتكون توزيع K من دمج توزيعين احتماليين منفصلين ، أحدهما يمثل المقطع العرضي للرادار ، والآخر يمثل التشويش البقعي الذي يُعدّ سمة مميزة للتصوير المتماسك. كما يُستخدم في الاتصالات اللاسلكية لنمذجة تأثيرات التلاشي السريع والتظليل المركبة.

• ريدينغ، نيكولاس ج. (1999)، تقدير معلمات توزيع K في مجال الشدة (ملف PDF) ، جنوب أستراليا: مختبر الإلكترونيات والمراقبة التابع لمنظمة العلوم والتكنولوجيا الدفاعية، ص  60، DSTO-TR-0839
• بوكيه، ستيفن (2011)، حساب احتمالية الكشف الراداري في التشويش والضوضاء البحرية الموزعة K (ملف PDF) ، كانبرا، أستراليا: قسم العمليات المشتركة، منظمة العلوم والتكنولوجيا الدفاعية DSTO، ص  35، DSTO-TR-0839
• جاكمان، إريك؛ بوسي، بيتر ن. (27 فبراير 1978). "أهمية توزيعات K في تجارب التشتت". رسائل المراجعة الفيزيائية . 40 (9). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 546-550 . Bibcode : 1978PhRvL..40..546J . doi : 10.1103/physrevlett.40.546 . ISSN 0031-9007 . 
• جاكمان، إريك؛ تاف، روبرت جيه إيه (1987-09-01). "توزيع K المعمم: نموذج إحصائي للتشتت الضعيف". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية أ . 4 (9). الجمعية البصرية: 1764-1772. رمز Bibcode : 1987JOSAA...4.1764J . doi : 10.1364/josaa.4.001764 . ISSN 1084-7529 . 
• وارد، كيث د. (1981). "التمثيل المركب لتشويش البحر عالي الدقة". رسائل الإلكترونيات . 17 (16). معهد الهندسة والتكنولوجيا (IET): 561-565. رمز Bibcode : 1981ElL....17..561W . doi : 10.1049/el:19810394 . ISSN 0013-5194 . 
• بيثاس، بيتروس س.؛ ساغياس، نيكوس س.؛ ماثيوبولوس، ب. تاكيس؛ كاراغيانديس، جورج ك .؛ رونتوغيانيس، أثاناسيوس أ. (2006). "حول تحليل أداء الاتصالات الرقمية عبر قنوات التلاشي المعمم من النوع k". رسائل اتصالات IEEE ، 10 (5). معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE): 353-355 . CiteSeerX 10.1.1.725.7998 . doi : 10.1109/lcomm.2006.1633320 . ISSN 1089-7798 . S2CID 4044765 .   
• لونغ، موريس و. (2001). انعكاسية الرادار لليابسة والبحر (  الطبعة الثالثة). نوروود، ماساتشوستس: دار أرتيك هاوس. ص  560.

• جاكمان، إريك (1980-01-01). "حول إحصائيات الضوضاء الموزعة وفقًا لتوزيع K". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 13 (1). دار نشر IOP: 31-48 . رمز Bibcode : 1980JPhA...13...31J . doi : 10.1088/0305-4470/13/1/006 . ISSN 0305-4470 . 
• وارد، كيث د.؛ تاف، روبرت ج. أ.؛ واتس، سيمون (2006) تشويش البحر: التشتت، وتوزيع K، وأداء الرادار ، مؤسسة الهندسة والتكنولوجيا. ISBN 0-86341-503-2.