التليف

إن مفهوم التليف يعمم مفهوم حزمة الألياف ويلعب دورًا مهمًا في الطوبولوجيا الجبرية ، وهو فرع من فروع الرياضيات.

تُستخدم التليفات، على سبيل المثال، في أنظمة بوستنيكوف أو نظرية الانسداد .

في هذه المقالة، جميع عمليات الربط هي عمليات ربط مستمرة بين الفضاءات الطوبولوجية .

• الإسقاط على العامل الأول${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$هي تليف. أي أن الحزم التافهة هي تليفات.
• كل غطاء${\displaystyle p\colon E\to B}$هو تليف. تحديدًا، لكل تماثل${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$وكل مصعد${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$يوجد مصعد محدد بشكل فريد${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$مع${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$^{[ 4 ] : 159 [ 5 ] : 50}
• كل حزمة ألياف${\displaystyle p\colon E\to B}$يحقق خاصية رفع التماثل لكل مركب CW. ^{[ 2 ] : 379}
• تُحقق حزمة الألياف ذات الفضاء شبه المتراص والفضاء الأساسي هاوسدورف خاصية رفع التماثل لجميع الفضاءات. ^{[ 2 ] : 379}
• يُعطى مثال على التليف الذي لا يُمثل حزمة ألياف من خلال عملية التعيين${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}$ناتج عن الإدراج${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$أين${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle X}$فضاء طوبولوجي و${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$هي فضاء جميع التطبيقات المتصلة ذات الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة . ^{[ 4 ] : ​​198}
• تليف هوبف${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$هي حزمة ألياف غير تافهة، وتحديداً، هي تليف سير.

• الألياف${\displaystyle p^{-1}(b)}$زيادة${\displaystyle b\in B}$تكون متكافئة تماثليًا لكل مكون من مكونات المسار${\displaystyle B.}$^{[ 2 ] : 405}
• للتماثل${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$ألياف التراجع${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$و${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$هي متكافئة من حيث التماثل الليفي. ^{[ 2 ] : 406}
• إذا كانت المساحة الأساسية${\displaystyle B}$إذا كان قابلاً للانقباض ، فإن التليف${\displaystyle p\colon E\to B}$هل التماثل الليفي مكافئ لتليف المنتج؟${\displaystyle B\times F\to B.}$^{[ 2 ] : 406}
• تليف مسار الفضاء للتليف${\displaystyle p\colon E\to B}$يشبه نفسه إلى حد كبير. وبشكل أدق، فإن التضمين${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$هو تكافؤ تماثلي للألياف. ^{[ 2 ] : 408}
• للتليف${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F}$وفي الفضاء الكلي القابل للانكماش، يوجد تكافؤ تماثلي ضعيف${\displaystyle F\to \Omega B.}$^{[ 2 ] : 408}

للتليف${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F}$ونقطة الأساس${\displaystyle b_{0}\in B}$الإدراج${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$تحويل الليف إلى ليف التماثل هو تكافؤ تماثلي .${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$مع${\displaystyle i(e,\gamma )=e}$، أين${\displaystyle e\in E}$و${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$هو طريق من${\displaystyle p(e)}$ل${\displaystyle b_{0}}$في الفضاء الأساسي، يوجد تليف. تحديدًا، هو تليف السحب الخلفي لتليف فضاء المسار.${\displaystyle PB\to B}$على امتداد${\displaystyle p}$يمكن الآن تطبيق هذا الإجراء مرة أخرى على التليف.${\displaystyle i}$وهكذا دواليك. وهذا يؤدي إلى سلسلة طويلة:

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

ألياف${\displaystyle i}$على نقطة${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$يتكون من الأزواج${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$أين${\displaystyle \gamma }$هو طريق من${\displaystyle p(e_{0})=b_{0}}$ل${\displaystyle b_{0}}$أي مساحة الحلقة${\displaystyle \Omega B}$. الإدراج${\displaystyle \Omega B\hookrightarrow F_{i}}$من ألياف${\displaystyle i}$في ألياف التماثل لـ${\displaystyle i}$وهي مرة أخرى تكافؤ تماثلي، والتكرار ينتج عنه التسلسل التالي:

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

بسبب ازدواجية التليف والتليف المشترك ، توجد أيضًا سلسلة من التليفات المشتركة. تُعرف هاتان السلسلتان بسلاسل بوبي أو سلاسل التليف والتليف المشترك. ^{[ 2 ] : 407-409}

التليف${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم رئيسي ، إذا وُجد مخطط تبادلي:

الصف السفلي عبارة عن سلسلة من التليفات، والتحويلات الرأسية عبارة عن تكافؤات تماثلية ضعيفة. تلعب التليفات الرئيسية دورًا هامًا في أبراج بوستنيكوف . ^{[ 2 ] : 412}

لـ Serre fibration${\displaystyle p\colon E\to B}$توجد سلسلة طويلة ودقيقة من مجموعات التماثل . بالنسبة لنقاط الأساس${\displaystyle b_{0}\in B}$و${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$هذا معطى بواسطة:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }$${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

التشاكلات​${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$و${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$هي التشاكلات المستحثة للتضمين${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$والإسقاط${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$^{[ 2 ] : 376}

تعتبر المتتاليات الطيفية أدوات مهمة في الطوبولوجيا الجبرية لحساب مجموعات (التماثل) المشترك.

يربط التسلسل الطيفي ليري -سير بين التماثل (المشترك) للفضاء الكلي والليف مع التماثل (المشترك) للفضاء الأساسي للتليف. بالنسبة للتليف${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F,}$حيث تكون المساحة الأساسية عبارة عن مركب CW متصل بمسار، ونظرية التماثل الجمعي${\displaystyle G_{*}}$توجد متتالية طيفية: ^{[ 7 ] : 242}

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$

لا تُنتج التليفات تسلسلات طويلة ودقيقة في التماثل، كما هو الحال في التماثل الموضعي. ولكن في ظل ظروف معينة، تُوفر التليفات تسلسلات دقيقة في التماثل. بالنسبة للتليف...${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F,}$حيث يكون الفضاء الأساسي والألياف متصلين عبر المسار ، المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(B)}$يتصرف بشكل تافه بشأن${\displaystyle H_{*}(F)}$بالإضافة إلى الشروط${\displaystyle H_{p}(B)=0}$ل${\displaystyle 0<p<m}$و${\displaystyle H_{q}(F)=0}$ل${\displaystyle 0<q<n}$يوجد تسلسل دقيق (يُعرف أيضًا باسم تسلسل سير الدقيق):

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$^{[ 7 ] : 250}

يمكن استخدام هذه المتتالية، على سبيل المثال، لإثبات نظرية هوريفيتش أو لحساب تماثل فضاءات الحلقات من الشكل ${\displaystyle \Omega S^{n}:}$^{[ 8 ] : 162}

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

في حالة خاصة من التليف${\displaystyle p\colon E\to S^{n}}$حيث تكون المساحة الأساسية${\displaystyle n}$-كرة من الألياف${\displaystyle F,}$توجد متواليات تامة (تُسمى أيضًا متواليات وانغ ) للتماثل والتماثل المشترك: ^{[ 1 ] : 456}

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$

للتليف${\displaystyle p\colon E\to B}$مع الألياف${\displaystyle F}$وحلقة تبديلية ثابتة${\displaystyle R}$مع وجود وحدة، يوجد مؤثر متغاير من الزمرة الأساسية لـ${\displaystyle B}$إلى فئة المصنفين${\displaystyle R}$-modules، التي تُخصص لـ${\displaystyle b\in B}$الوحدة${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$وإلى فئة المسار${\displaystyle [\omega ]}$التماثل${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}$أين${\displaystyle h[\omega ]}$هي فئة تماثلية في${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].}$

يُطلق على التليف اسم قابل للتوجيه فوق${\displaystyle R}$إذا كان لأي مسار مغلق${\displaystyle \omega }$في${\displaystyle B}$ينطبق ما يلي:${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$^{[ 1 ] : 476}

للحصول على ألياف قابلة للتوجيه${\displaystyle p\colon E\to B}$في الملعب${\displaystyle \mathbb {K} }$مع الألياف${\displaystyle F}$وفي فضاء القاعدة المتصل بالمسارات، تُعطى خاصية أويلر للفضاء الكلي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

هنا يتم تعريف خصائص أويلر للفضاء الأساسي والألياف على الحقل${\displaystyle \mathbb {K} }$[ ^{1 ] : 481​}

• التليف التقريبي
• التليف المشترك