التسلسل الهرمي لكورتيويج-دي فريس

في الرياضيات ، تُعرف متسلسلة كورتيغ-دي فريس (KdV) بأنها سلسلة لانهائية من معادلات التطور غير الخطية المتوافقة، والتي تحتوي على معادلة كورتيغ-دي فريس كأول عنصر غير تافه فيها. وهي من الأمثلة المحورية في نظرية الأنظمة التكاملية ومعادلات السوليتون ، لأنها تجمع بين عدة خصائص مميزة للتكامل: صياغة لاكس ، وعدد لا نهائي من التدفقات المتبادلة والكميات المحفوظة ، وبنى هاميلتونية وثنائية هاميلتونية، وطرق حل دقيقة مثل تحويل التشتت العكسي والتكامل ذي الفجوة المحدودة. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

تُصاغ هذه المعادلة عادةً على شكل عائلة من معادلات لاكس لمؤثر شرودنغر أحادي البعد$${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u(x),}$$ أو، على نحو مماثل وفقًا لاتفاقيات الإشارات،${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x)}$يتكون التسلسل الهرمي من تدفقات التنقل في المتغيرات المساعدة${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\dots }$، كل منها يحتفظ بالبيانات الطيفية لـ${\displaystyle L}$في السياقات الدورية وشبه الدورية، يؤدي هذا التفسير الطيفي إلى نظرية الحلول ذات الفجوة المحدودة والحلول الجبرية الهندسية، بينما على نطاق أوسع، يعمل التسلسل الهرمي كنموذج أولي للعديد من التسلسلات الهرمية القابلة للتكامل والاختزالات اللاحقة مثل تسلسلات KdV و KP المعدلة . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يترك $${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u(x,t_{0},t_{1},t_{2},\dots ).}$$ يمكن تعريف التسلسل الهرمي لمعادلة كورتيغ-دي فريس (KdV) من خلال اشتراط ما يلي:${\displaystyle L}$تتطور وفقًا لمجموعة معادلات لاكس $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}=[P_{2n+1},L],\qquad n=0,1,2,\dots ,}$$ حيث كل${\displaystyle P_{2n+1}}$هو مؤثر تفاضلي من الرتبة الفردية يتم تحديده بواسطة${\displaystyle L}$. هناك طريقة مختصرة لإنشاء هذه المؤثرات تستخدم المؤثرات التفاضلية الزائفة الرسمية : $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}={\big [}(L^{(2n+1)/2})_{+},L{\big ]},}$$ أين${\displaystyle (\cdot )_{+}}$يرمز إلى الجزء التفاضلي لمؤثر تفاضلي زائف رسمي. هذه الصيغة تعني أن التدفقات تتبادل: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{m}}}{\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}={\frac {\partial }{\partial t_{n}}}{\frac {\partial L}{\partial t_{m}}},}$$ لذا يمكن اعتبار التسلسل الهرمي نظامًا متوافقًا ومحددًا بشكل زائد لـ${\displaystyle u}$يعتمد ذلك على عدد لا نهائي من المرات. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

يمكن تقديم أوصاف مكافئة باستخدام حقول متجهات هاميلتونية تبادلية أو مخطط لينارد-ماغري التكراري. في جميع هذه الصيغ، تتمثل السمة المميزة للتسلسل الهرمي في أنه ينتج عددًا لا نهائيًا من التدفقات المتوافقة، وكلها مرتبطة بنفس مؤثر شرودنغر. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

على الرغم من أن عامل لاكس مكتوب هنا على النحو التالي${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u}$من المعتاد عرض المعادلات غير الخطية وفقًا لاتفاقية مكافئة يتم الحصول عليها عن طريق استبدال${\displaystyle u}$بواسطة${\displaystyle -u}$وإعادة قياس متغيرات الزمن. وفقًا لهذا الاصطلاح، فإن المعادلات القليلة الأولى من التسلسل الهرمي هي $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t_{0}}&=u_{x},\\u_{t_{1}}&=6uu_{x}-u_{xxx},\\u_{t_{2}}&=u_{xxxxx}-10uu_{xxx}-20u_{x}u_{xx}+30u^{2}u_{x}.\end{aligned}}}$$ ال${\displaystyle t_{0}}$التدفق هو تدفق الترجمة.${\displaystyle t_{1}}$-flow هي معادلة كورتيغ-دي فريس نفسها، حتى الاستبدال التقليدي${\displaystyle t_{1}=t}$تُسمى المعادلات الأعلى بمعادلات KdV الأعلى . توجد اصطلاحات إشارة مختلفة لـ${\displaystyle L}$وتؤدي عمليات التطبيع المختلفة للأوقات إلى صيغ مكافئة بمعاملات أو إشارات مختلفة. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

يُعدّ التسلسل الهرمي لمعادلة كورتيغ-دي فريس (KdV) أيضًا تسلسلًا هرميًا هاميلتونيًا . تسمح معادلة KdV بعدد لا نهائي من الدوال المحفوظة ، ويؤدي اختيار هذه الدوال تباعًا كدوال هاميلتونية إلى إنتاج التدفقات الأعلى. في صيغة بواسون القياسية ، يمكن كتابة التسلسل الهرمي بشكل تخطيطي كما يلي: $${\displaystyle u_{t_{n}}=\partial _{x}{\frac {\delta I_{n}}{\delta u}},}$$ أين${\displaystyle I_{n}[u]}$تُعدّ هذه الكميات محفوظة في عملية الالتفاف. ترتبط وجهة النظر الهاميلتونية هذه ارتباطًا وثيقًا بصيغة جيلفاند-ديكي وبنية KdV ثنائية الهاميلتونية. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]}

معادلة لاكس تعني أن المؤثر${\displaystyle L}$يتطور بشكل متساوي الطيف. وبالتالي، تُحفظ البيانات الطيفية لمسألة شرودنغر المساعدة على طول كل تدفق KdV. ^{[ 3 ] [ 1 ]} في حالة الكمونات الدورية، يمكن التعبير عن ذلك بدلالة البيانات الطيفية لفلوكي أو بلوخ. ليكن${\displaystyle T}$كن عامل الترجمة${\displaystyle T\psi (x)=\psi (x+1)}$بالنسبة لجهد دوري أحادي${\displaystyle u}$، أحد الدراسات أزواج${\displaystyle (\lambda ,\alpha )}$والتي يوجد لها حل غير صفري $${\displaystyle (\partial _{x}^{2}+u)\psi =\lambda \psi ,\qquad T\psi =\alpha \psi .}$$يظل طيف بلوخ-فلوكي الناتج ثابتًا تحت تدفقات KdV. تُعدّ هذه المسألة الطيفية الدورية إحدى نقاط الانطلاق الرئيسية للتكامل ذي الفجوة المحدودة. ^{[ 5 ] [ 8 ]}

لأغراض عديدة، يتم ترميز حل التسلسل الهرمي لـ KdV بواسطة دالة تاو${\displaystyle \tau (t_{0},t_{1},t_{2},\dots )}$، مُعرَّفة حتى الضرب بالدالة الأسية لدالة خطية اختيارية للأزمنة. في عملية التوحيد${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+2u}$يُستخدم في تركيب المصفوفة والمذيب أدناه، $${\displaystyle u=\partial _{x}^{2}\log \tau ,\qquad x=t_{0}.}$$ وبشكل أعم، المشتقات اللوغاريتمية العليا لـ${\displaystyle \tau }$أعطِ دوال الارتباط أو${\displaystyle n}$دوال النقاط في التسلسل الهرمي. يوفر هذا طريقة مختصرة لتنظيم تدفقات KdV التبادلية وهوياتها الثنائية الخطية، وهو لغة قياسية للحلول الدقيقة للتسلسلات الهرمية القابلة للتكامل. ^{[ 7 ] [ 9 ]}

تعبر الأعمال الحديثة لدوبروفين ويانغ وزاغير عن السلسلة المولدة للمشتقات اللوغاريتمية لدالة تاو بدلالة محلل المصفوفة الأساسي لمؤثر شرودنغر، وبشكل مكافئ بدلالة دالة موجية مرتبطة ودالة موجية ثنائية. ^{[ 9 ]}

ومن الأمثلة البارزة دالة تاو لـ Witten–Kontsevich ، التي يمثل لوغاريتمها الدالة المولدة لأعداد التقاطع لـ${\displaystyle \psi }$- فئات على فضاءات معامل ديلين-مامفورد${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$افترض إدوارد ويتن أن هذه الدالة المولدة هي دالة تاو لتسلسل KdV الهرمي تحقق معادلة الأوتار، وأثبت مكسيم كونتسيفيتش هذا الافتراض باستخدام دالة آيري المصفوفية . وقد أرست هذه النتيجة صلةً جوهريةً بين تسلسل KdV الهرمي، والجاذبية ثنائية الأبعاد ، ونظرية التقاطع على فضاءات المعاملات للمنحنيات. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

تستخدم صيغة أخرى لتسلسل KdV مُحلِّل مصفوفة مرتبطًا بمؤثر شرودنغر. في عملية التطبيع الشائعة، يُكتب مؤثر لاكس القياسي على النحو التالي:${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+2u}$ويقدم الرتبة الأولى المقابلة${\displaystyle 2\times 2}$عامل المصفوفة $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{x}+\Lambda (\lambda )+q,\qquad \Lambda (\lambda )={\begin{pmatrix}0&1\\\lambda &0\end{pmatrix}},\qquad q={\begin{pmatrix}0&0\\-2u&0\end{pmatrix}}.}$$محلل المصفوفة الأساسي هو الشكل الرسمي الفريد${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$سلسلة لوران ذات القيمة العالية${\displaystyle R(\lambda )}$مُرضٍ $${\displaystyle [{\mathcal {L}},R(\lambda )]=0,\qquad R(\lambda )=\Lambda (\lambda )+{\text{lower-order terms}},\qquad \operatorname {tr} R(\lambda )^{2}=2\lambda .}$$ يشير الترتيب الأدنى هنا إلى التصنيف الرئيسي القياسي، والذي${\displaystyle \deg \lambda =2}$والمولدات المثلثية العلوية والسفلية لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$حاصل على شهادات جامعية${\displaystyle 1}$و${\displaystyle -1}$، على التوالي. المدخل العلوي الأيمن${\displaystyle b(\lambda )}$يحتوي على توسيع تكراري تحدد معاملاته مشتقات KdV التبادلية. ^{[ 9 ] [ 4 ]}

في هذا النهج، يتم ترميز دالة تاو عن طريق توليد متسلسلات مبنية من${\displaystyle R(\lambda )}$أظهر دوبروفين ويانغ وزاغير أنه بالنسبة لأي حل للتسلسل الهرمي، يمكن كتابة المشتقات اللوغاريتمية لدالة تاو بدلالة محلل المصفوفة الأساسي، ثم قدموا صيغًا مكافئة بدلالة دالة موجية.${\displaystyle \psi (z,t)}$وثنائيته${\displaystyle \psi ^{*}(z,t)}$[ ^{9 ] هذه تفي بالمسائل الخطية المساعدة للتسلسل الهرمي ،} ويستعيد ناتجها مدخل الحل: $${\displaystyle \psi (z,t)\psi ^{*}(z,t)=b(z^{2},t).}$$ ومنها تتشكل النواة $${\displaystyle D(z,w,t)={\frac {\psi (z,t)\,\partial _{x}\psi ^{*}(w,t)-\psi ^{*}(w,t)\,\partial _{x}\psi (z,t)}{w^{2}-z^{2}}},}$$ وسلسلة التوليد لـ${\displaystyle n}$دوال الارتباط النقطي لـ${\displaystyle \log \tau }$يتم الحصول عليها كمجموع دوري لحاصل ضرب هذه النوى. وتستخدم صيغة مكافئة نواة ثابتة المقياس مبنية فقط من${\displaystyle b(z^{2},t)}$[ ^{9 ]​}

لا يحل هذا محل تعريفات لاكس أو التفاضلية الزائفة المعتادة للتسلسل الهرمي، ولكنه يوفر طريقة فعالة أخرى لحساب بيانات دالة تاو الخاصة به. على وجه الخصوص، بعد التخصيص إلى${\displaystyle t_{1}=t_{2}=\cdots =0}$، ينتج عن زوج من الدوال الموجية المحددة بواسطة البيانات الأولية جميع المشتقات اللوغاريتمية لـ${\displaystyle \tau }$من رتبة اثنين على الأقل، وبالتالي يحدد${\displaystyle \tau }$حتى غموضها الأسي الخطي. وهذا ما يجعل الطريقة مفيدة للحلول الصريحة مثل حلول ويتن-كونتسيفيتش، وبريزين-جروس-ويتن المعممة، وحلول لاميه التي ناقشها دوبروفين ويانغ وزاغير. ^{[ 9 ]}

كتابة مُحلِّل المصفوفة الأساسي على النحو التالي: $${\displaystyle R(\lambda )={\begin{pmatrix}a(\lambda )&b(\lambda )\\c(\lambda )&-a(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ المعادلة${\displaystyle [\partial _{x}+\Lambda (\lambda )+q,R(\lambda )]=0}$أعطِ $${\displaystyle a={\frac {1}{2}}b_{x},\qquad c=(\lambda -2u)b-{\frac {1}{2}}b_{xx},}$$ وبالتالي المعادلة العددية من الدرجة الثالثة $${\displaystyle b_{xxx}-4(\lambda -2u)b_{x}+4u_{x}\,b=0.}$$ التطبيع${\displaystyle \operatorname {tr} R(\lambda )^{2}=2\lambda }$يعادل $${\displaystyle b\,b_{xx}-{\frac {1}{2}}b_{x}^{2}-2(\lambda -2u)b^{2}=-2\lambda .}$$ التوسع $${\displaystyle b(\lambda )=\sum _{k\geq -1}b_{k}\,\lambda ^{-k-1},\qquad b_{-1}=1,}$$ نحصل على العلاقة التفاضلية المتكررة $${\displaystyle \partial _{x}b_{k}=2u\,\partial _{x}b_{k-1}+u_{x}\,b_{k-1}+{\frac {1}{4}}\,\partial _{x}^{3}b_{k-1},\qquad k\geq 0,}$$ بالإضافة إلى تكرار جبري يحدد كل${\displaystyle b_{k}}$بشكل فريد عن المعاملات السابقة. الحدود الأولى هي $${\displaystyle b_{0}=u,\qquad b_{1}={\frac {3}{2}}u^{2}+{\frac {1}{4}}u_{xx}.}$$ تُنشئ هذه المعاملات التسلسل الهرمي بشكل تكراري: فبعد اختيار نفس معايير التطبيع الزمني المستخدمة في مواضع أخرى من هذه المقالة، تُعيد إنتاج تدفق الإزاحة، ومعادلة كورتيغ-دي فريس (KdV)، ومعادلات كورتيغ-دي فريس الأعلى. وبهذا الشكل، يكون التكرار التفاضلي هو تكرار لينارد-ماغري مكتوبًا بلغة مُحلِّل المصفوفات. ^{[ 9 ] [ 4 ] [ 6 ]}

من بين الحلول الدقيقة الأكثر شهرة لتسلسل KdV حلول السوليتون الخاصة به . في عملية توحيد شائعة، تُكتب هذه الحلول بدلالة دالة تاو بواسطة $${\displaystyle u=-2\,\partial _{x}^{2}\log \tau .}$$ بالنسبة لمعادلة Korteweg-de Vries نفسها، $${\displaystyle u_{t_{1}}=6uu_{x}-u_{xxx},}$$ الحل أحادي السوليتون هو $${\displaystyle u(x,t_{1})=-2\kappa ^{2}\operatorname {sech} ^{2}\!{\big (}\kappa (x-4\kappa ^{2}t_{1}-x_{0}){\big )},}$$ أين${\displaystyle \kappa >0}$و${\displaystyle x_{0}}$هي ثوابت. إنها موجة متحركة موضعية ذات شكل ثابت، وسرعتها تتناسب مع سعتها. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

وبشكل عام، فإن${\displaystyle N}$يمكن كتابة حلول السوليتون على النحو التالي: $${\displaystyle \tau =\sum _{\mu _{i}\in \{0,1\}}\exp \!\left(\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}\eta _{i}+\sum _{1\leq i<j\leq N}\mu _{i}\mu _{j}A_{ij}\right),}$$ أين $${\displaystyle e^{A_{ij}}=\left({\frac {\kappa _{i}-\kappa _{j}}{\kappa _{i}+\kappa _{j}}}\right)^{2}.}$$ بالنسبة لمعادلة KdV، يمكن للمرء أن يأخذ $${\displaystyle \eta _{i}=2\kappa _{i}x-8\kappa _{i}^{3}t_{1}+\delta _{i},}$$ مع الثوابت${\displaystyle \delta _{i}}$تصف الحلول الناتجة تراكبات غير خطية لموجات منفردة. بعد التفاعل، تعود الموجات المنفردة للظهور بنفس السعات والسرعات، وتختلف فقط في إزاحات الطور؛ يُعد سلوك التشتت المرن هذا إحدى السمات المميزة للأنظمة القابلة للتكامل. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 1 ]}

وينطبق شكل دالة تاو نفسه على التسلسل الهرمي الكامل لمعادلة كورتيغ-دي فريس. نترك كل مرحلة${\displaystyle \eta _{i}}$تعتمد خطيًا على جميع أوقات التسلسل الهرمي $${\displaystyle t_{0}=x,\;t_{1},\;t_{2},\dots ,}$$ بمعاملات تتناسب مع القوى الفردية لـ${\displaystyle \kappa _{i}}$وبالتالي، فإن اختيارًا واحدًا لمعاملات السوليتون يُحدد حلًا متوافقًا لجميع تدفقات KdV التبادلية. وبهذا المعنى، فإن حلول السوليتون الهرمية هي حلول السوليتون المتزامنة لمجموعة المعادلات بأكملها، وليس فقط لتدفق KdV الأول. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

من وجهة نظر طيفية، تتوافق حلول السوليتون مع مؤثرات شرودنغر عديمة الانعكاس. وتحدد القيم الذاتية المنفصلة لمسألة شرودنغر أحادية البعد المرتبطة بها معلمات السوليتون.${\displaystyle \kappa _{i}}$بينما يُعزى غياب الانعكاس إلى خصائص النقل والتشتت المرن الدقيقة. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

بالنسبة للبيانات الأولية المتلاشية بسرعة على خط الأعداد الحقيقية، يمكن حل معادلة KdV باستخدام تحويل التشتت العكسي . ويتم دراسة مؤثر شرودنغر أحادي البعد المرتبط بها. $${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t),}$$ أو بعد ضرب المعادلة الطيفية بـ${\displaystyle -1}$، الاتفاقية المكافئة${\displaystyle {\widetilde {L}}=\partial _{x}^{2}+{\widetilde {u}}}$مع${\displaystyle {\widetilde {u}}=-u}$ويتم عكس إشارة المعامل الطيفي. ثم تُحسب بيانات التشتت: معامل الانعكاس، والقيم الذاتية المنفصلة، ​​وثوابت التطبيع المقابلة. التطور غير الخطي لـ${\displaystyle u}$يتم تحويلها إلى تطور خطي لبيانات التشتت هذه. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

في لغة Lax-pair، المعامل${\displaystyle L}$يتطور بشكل متساوي الطيف، لذا فإن قيمه الذاتية مستقلة عن الزمن. بالنسبة لتدفق KdV، يكون التغير الزمني لبيانات التشتت المتبقية بسيطًا: يكتسب معامل الانعكاس عامل طور أسي بسيط، بينما تظل القيم الذاتية المنفصلة ثابتة وتتطور ثوابت التطبيع بشكل أسي. الجهد${\displaystyle u(x,t)}$ثم يتم استخلاصها من بيانات التشتت عن طريق حل معادلة جيلفاند-ليفيتان-مارشينكو التكاملية. ^{[ 3 ] [ 14 ] [ 15 ]}

تُفسّر هذه الطريقة الدور الخاص لحلول السوليتون. تُنتج بيانات التشتت عديمة الانعكاس حلولًا دقيقة متعددة السوليتونات، بينما تُنتج بيانات التضاؤل ​​الأكثر عمومية حلولًا تشتتية بالإضافة إلى أي مُكوّن سوليتون مُحدد بواسطة الطيف المنفصل. وبهذه الطريقة، يلعب تحويل التشتت العكسي في معادلة كورتيغ-دي فريس دورًا مُماثلًا لدور تحويل فورييه في المعادلات التشتتية الخطية. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

تكمن مشكلة التشتت نفسها وراء التسلسل الهرمي الكامل لمعادلة كورتيغ-دي فريس (KdV). تحافظ التدفقات الأعلى على طيف مؤثر شرودنغر نفسه، وتؤثر من خلال تطورات طورية خطية مختلفة على بيانات التشتت نفسها. وبالتالي، يوفر تحويل التشتت العكسي طريقة حل مشتركة لجميع تدفقات التسلسل الهرمي، وليس فقط لمعادلة كورتيغ-دي فريس الأولى. ^{[ 3 ] [ 14 ]}

يمكن اعتبار التسلسل الهرمي نظامًا محددًا بشكل مفرط لـ $${\displaystyle u=u(x=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ).}$$ يتميز جهد الفجوة المحدودة بوجود مؤثر تفاضلي فردي غير صفري يتبادل مع${\displaystyle L}$بصورة مكافئة، يُحقق هذا معادلة ثابتة لمزيج خطي مناسب من تدفقات KdV. تقتصر تدفقات التسلسل الهرمي المتبقية على الإزاحات التبادلية على مشعب الطيف المتساوي الأبعاد المقابل. في الحالة الدورية، تُوصف كمونات الفجوة المحدودة بمنحنيات طيفية زائدية، ويمكن كتابة الحلول المقابلة بدلالة دوال ريمان ثيتا . بالنسبة لكمونات الفجوة المحدودة الدورية الملساء، يكون الجنس${\displaystyle 0}$يُعطي حلولاً ثابتة، بينما الجنس${\displaystyle 1}$^{[ 5} ] ^{[ 16 ] [ 17} ]​^​​

تُشكّل حلول الفجوات المحدودة فئةً مهمةً وقابلةً للوصف بوضوح من الحلول الدورية وشبه الدورية، لكنها لا تُغطي تعريف التسلسل الهرمي نفسه. وعلى وجه الخصوص، ينبغي اعتبارها حلولًا خاصة تتميز بشروط طيفية أو شروط استقرار إضافية، وليست الشكل العام لحل دوري لمعادلة كورتيغ-دي فريس. ^{[ 5 ] [ 17 ]}

يُعد التسلسل الهرمي المتكامل المُعدَّل ( mKdV hierarchy ) لدالة ما، ذا صلة وثيقة بهذا النوع من التسلسلات.${\displaystyle v=v(x,t_{0},t_{1},t_{2},\dots )}$باستخدام التطبيع المستخدم في هذه المقالة، فإن أول تدفق غير تافه لها هو $${\displaystyle v_{t_{1}}=6v^{2}v_{x}-v_{xxx},}$$ بالإضافة إلى تدفقات متوافقة أعلى في المتغيرات${\displaystyle t_{2},t_{3},\dots }$بينما تُكتب تسلسلات KdV عادةً بدلالة مؤثر شرودنغر من الدرجة الثانية، فإن التسلسلات المعدلة تُصاغ بشكل طبيعي بواسطة مؤثر من الدرجة الأولى${\displaystyle 2\times 2}$عامل متساهل، ويمكن اعتباره أيضًا${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$التسلسل الهرمي لدرينفيلد-سوكولوف. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

تُحدد العلاقة بين التسلسلين الهرميين بواسطة تحويل ميورا$${\displaystyle u=v_{x}+v^{2}.}$$ لو${\displaystyle v}$إذا كانت تحقق معادلة KdV المعدلة، فعندئذٍ${\displaystyle u}$يحقق معادلة KdV $${\displaystyle u_{t_{1}}=6uu_{x}-u_{xxx}.}$$ وبشكل أعم، يُحوّل تحويل ميورا كل تدفق من تسلسل mKdV إلى التدفق المقابل له في تسلسل KdV. وبما أن معادلة KdV المُعدّلة ثابتة تحت هذا التحويل، فإن تحويل ميورا يُحوّل كل تدفق من تسلسل mKdV إلى التدفق المقابل له في تسلسل KdV.${\displaystyle v\mapsto -v}$كما يحصل المرء على التحويل المصاحب $${\displaystyle u=-v_{x}+v^{2}.}$$ غالباً ما تُعتبر هاتان الخريطتان معاً خريطة ميورا. ^{[ 18 ] [ 1 ] [ 7 ]}

في اتفاقية الإشارة البديلة${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$ينعكس تحويل ميورا في عملية التحليل إلى عوامل $${\displaystyle -\partial _{x}^{2}+u=(\partial _{x}+v)(-\partial _{x}+v)}$$ أو $${\displaystyle -\partial _{x}^{2}+u=(-\partial _{x}+v)(\partial _{x}+v),}$$ مما ينتج عنه${\displaystyle u=v_{x}+v^{2}}$و${\displaystyle u=-v_{x}+v^{2}}$على التوالي. يساعد هذا التحليل على تفسير سبب وجود نسخ متوازية للعديد من بنى تسلسل KdV لـ mKdV، وسبب مناقشة التسلسلين معًا في كثير من الأحيان. ^{[ 18 ] [ 7 ]}

تُفسّر إعادة الصياغة الهندسية تحويل ميورا على أنه انتقال من بيانات الاتصال من الدرجة الأولى إلى الاتصال الإسقاطي المرتبط بها ؛ في${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$في هذه الحالة، ينعكس ذلك في تحليل عامل شرودنغر إلى عوامل من الدرجة الأولى. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

يتم الحصول على التسلسل الهرمي غير التبادلي أو المصفوفي لـ KdV من خلال السماح للمتغير التابع بأخذ قيم في جبر ترابطي، وخاصة في جبر${\displaystyle N\times N}$المصفوفات. في أحد الاصطلاحات القياسية، يكون أول عنصر غير تافه فيها هو معادلة KdV للمصفوفة $${\displaystyle U_{t}=U_{xxx}+3(UU_{x}+U_{x}U),}$$ حيث يتم تماثل الحد غير الخطي لأن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا. بعد تغيير إشارات المتغير التابع والزمن، فإن الاصطلاح المستخدم للمعادلة العددية المعروضة يعطي $${\displaystyle U_{t_{1}}=3(UU_{x}+U_{x}U)-U_{xxx}.}$$ متى${\displaystyle U}$التنقل مع${\displaystyle U_{x}}$وخاصة في الحالة العددية، يختزل هذا إلى معادلة KdV العددية. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

قام كاريلو وشيبولد بتطوير تسلسلات KdV ذات القيم المؤثرة وتسلسلات KdV المعدلة باستخدام أساليب الاستدعاء الذاتي، حيث تظهر حالة المصفوفة كحالة خاصة محدودة الأبعاد لنفس الإطار غير التبادلي. يقدم عملهما عوامل استدعاء ذاتي صريحة وصيغ حلول لتسلسلات KdV وKdV الكامنة وKdV المعدلة في كل من السياقين القياسي والمصفوفي. ^{[ 22 ] [ 20 ]}

وبشكل أوسع، المصفوفة${\displaystyle r}$تظهر التسلسلات الهرمية لـ KdV في نظرية التسلسلات الهرمية لمصفوفات Gelfand–Dikii واختزالات Drinfeld–Sokolov المعممة. في هذا السياق، يتم التعامل مع مؤثرات Lax شبه التفاضلية للمصفوفات، ويتم استعادة التسلسل الهرمي القياسي لـ KdV كحالة${\displaystyle p=1}$[ ^{23 ] [ 24 ]​}

يُعدّ التسلسل الهرمي لـ KdV اختزالاً للتسلسل الهرمي لـ KP . كما يظهر أيضاً في نظرية المؤثرات التفاضلية العادية التبادلية، وفي تحويل التشتت العكسي ، وفي المناهج الجبرية الهندسية للأنظمة التكاملية. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 16 ]}

تفسر المناهج القائمة على نظرية التويستور التسلسل الهرمي لـ KdV على أنه اختزال تناظري لنظرية يانغ-ميلز المضادة للازدواجية الذاتية ؛ في عمل ماسون وسبارلينغ، ينشأ التسلسل الهرمي لـ KdV وشرودنغر غير الخطي من التسلسل الهرمي لبوغومولني بعد فرض تناظر إضافي، ويتم تفسير تحويل التشتت العكسي على أنه تحقيق إحداثي لتوافق التويستور . ^{[ 25 ]}

تبدأ النظرية الحديثة باكتشاف أن معادلة كورتيغ-دي فريس تقبل تمثيل لاكس، الذي يفسر وجود عدد لا نهائي من الكميات المحفوظة وثوابتها الطيفية. ^{[ 3 ]} وقد طُوِّرت نظرية الطيف الدوري وبناء الفجوة المحدودة في أعمال لاكس، ونوفيكوف، ودوبروفين، وماتفييف، وكريتشيفر في سبعينيات القرن العشرين. ^{[ 5 ] [ 8 ] [ 16 ]}

• زوج متساهل
• التسلسل الهرمي بين جيلفاند وديكي
• التسلسل الهرمي لـ KP
• التكامل ذو الفجوة المحدودة
• تحويل التشتت العكسي

• التسلسل الهرمي لمعادلة KdV في ويكي المعادلات التفاضلية الجزئية التشتتية.