رقم التقاطع

في الرياضيات ، وخاصة في الهندسة الجبرية ، يُعمم عدد التقاطع المفهوم البديهي لحساب عدد مرات تقاطع منحنيين ليشمل أبعادًا أعلى، ومنحنيات متعددة (أكثر من اثنين)، مع مراعاة التماس بشكل صحيح . ويلزم تعريف عدد التقاطع لصياغة نتائج مثل نظرية بيزو .

يكون عدد نقاط التقاطع واضحًا في بعض الحالات، مثل تقاطع المحورين السيني والصادي في مستوى، والذي يكون واحدًا. تكمن الصعوبة في حساب نقاط التقاطع عند نقاط التماس، وكذلك عند التقاطعات التي لا تقتصر على نقاط، بل لها أبعاد أعلى. على سبيل المثال، إذا كان مستوى ما يلامس سطحًا على طول خط، فإن عدد نقاط التقاطع على طول هذا الخط يجب أن يكون اثنين على الأقل. تُناقش هذه المسائل بشكل منهجي في نظرية التقاطع .

ليكن X سطح ريمان . عندئذٍ، يكون عدد تقاطع منحنيين مغلقين على X ذا تعريف بسيط بدلالة التكامل. لكل منحنى مغلق c على X (أي دالة ملساء)${\displaystyle c:S^{1}\to X}$يمكننا ربط شكل تفاضلي${\displaystyle \eta _{c}}$ذات الدعم المدمج، ثنائية بوانكاريه لـ c ، مع الخاصية التي يمكن من خلالها حساب التكاملات على طول c بواسطة التكاملات على X :

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$لكل تفاضل مغلق من النوع (1)${\displaystyle \alpha }$على X ،

أين${\displaystyle \wedge }$هو حاصل الضرب الخارجي للتفاضلات، و${\displaystyle *}$هو نجم هودج . عندئذٍ، يُعرَّف عدد تقاطع منحنيين مغلقين، a و b ، على X على النحو التالي:

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

ال${\displaystyle \eta _{c}}$لها تعريف بديهي كما يلي. هي نوع من دالة ديراك دلتا على طول المنحنى c ، يتم تحقيقها بأخذ تفاضل دالة خطوة الوحدة التي تتناقص من 1 إلى 0 عبر c . بشكل أكثر رسمية، نبدأ بتعريف دالة f_{_c} لمنحنى مغلق بسيط c على X ، وذلك بوضع$أوميغا$ليكن شريطًا صغيرًا حول النقطة ج على شكل حلقة. سمِّ الجزء الأيسر والجزء الأيمن من${\displaystyle \Omega \setminus c}$مثل${\displaystyle \Omega ^{+}}$و${\displaystyle \Omega ^{-}}$ثم خذ شريطًا فرعيًا أصغر حول النقطة ج ،${\displaystyle \Omega _{0}}$، مع أجزاء يمين ويسار${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$و${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$ثم عرّف f _c كما يلي

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

ثم يُوسَّع التعريف ليشمل المنحنيات المغلقة العشوائية. كل منحنى مغلق c على X يكون متماثلاً مع${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$بالنسبة لبعض المنحنيات المغلقة البسيطة c _i ، أي

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$لكل تفاضل${\displaystyle \omega }$.

عرّف${\displaystyle \eta _{c}}$بواسطة

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

يتم التعريف البنائي المعتاد في حالة المتنوعات الجبرية على مراحل. التعريف الوارد أدناه خاص بعدد القواسم على متنوع غير شاذ X.

1. عدد التقاطع الوحيد الذي يمكن حسابه مباشرةً من التعريف هو تقاطع الأسطح الفائقة (الأصناف الفرعية من X ذات البعد المشترك واحد) الموجودة في موضع عام عند x . على وجه التحديد، لنفترض أن لدينا صنفًا غير شاذ X ، و n سطحًا فائقًا Z1 ، _... ، Zn لها معادلات محلية f1 _، ...، _fn بالقرب من _x لكثيرات الحدود fi ( t1 _، ...، _tn ) _، بحيث تتحقق الشروط التالية:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$لكل i . (أي أن x يقع في تقاطع الأسطح الفائقة.)
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$(أي أن القواسم في وضع عام.)
• ال${\displaystyle f_{i}}$تكون غير منفردة عند x .

ثم يكون عدد التقاطع عند النقطة x (ويسمى تعدد التقاطع عند x ) هو

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$،

أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$هي الحلقة المحلية لـ X عند x ، والبعد هو البعد كفضاء متجهي k . ويمكن حسابها على أنها التوطين${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$هو المثال الأقصى لكثيرات الحدود التي تتلاشى عند x ، و U هي مجموعة أفينية مفتوحة تحتوي على x ولا تحتوي على أي من نقاط التفرد لـ f _i .

2. يتم تعريف عدد تقاطع الأسطح الفائقة في الوضع العام على أنه مجموع أعداد التقاطع عند كل نقطة تقاطع.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. توسيع التعريف ليشمل القواسم الفعالة عن طريق الخطية، أي

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$و${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$.

4. قم بتوسيع التعريف ليشمل القواسم العشوائية في الوضع العام، مع ملاحظة أن لكل قاسم تعبيرًا فريدًا على النحو التالي: D = P – N لبعض القواسم الفعالة P و N. لذا، ليكن D _i = P _i – N _i ، واستخدم قواعد من الشكل التالي:

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

لتحويل التقاطع.

5. يتم بعد ذلك تعريف عدد التقاطع للقواسم العشوائية باستخدام " نظرية تشاو المتحركة " التي تضمن أنه يمكننا إيجاد قواسم متكافئة خطيًا في وضع عام، والتي يمكننا بعد ذلك تقاطعها.

لاحظ أن تعريف رقم التقاطع لا يعتمد على الترتيب الذي تظهر به القواسم في حساب هذا الرقم.

ليكن V و W مجموعتين فرعيتين من مجموعة إسقاطية غير شاذة X بحيث يكون بُعد V + بُعد W = بُعد X. نتوقع أن يكون تقاطع V ∩ W مجموعة منتهية من النقاط. إذا حاولنا عدّها، فقد تنشأ مشكلتان. أولاً، حتى لو كان البُعد المتوقع لـ V ∩ W يساوي صفرًا، فقد يكون للتقاطع الفعلي بُعد كبير: على سبيل المثال، عدد التقاطع الذاتي لخط إسقاطي في مستوى إسقاطي . المشكلة الثانية المحتملة هي أنه حتى لو كان التقاطع صفري البُعد، فقد يكون غير مستعرض، على سبيل المثال، إذا كان V منحنى مستويًا و W أحد خطوطه المماسية .

تتطلب المسألة الأولى استخدام آليات نظرية التقاطع ، التي نوقشت بالتفصيل سابقًا، والتي تستبدل V و W بمتنوعات فرعية أكثر ملاءمة باستخدام مبرهنة النقل . من ناحية أخرى، يمكن حل المسألة الثانية مباشرةً، دون نقل V أو W. في عام 1965، وصف جان بيير سير كيفية إيجاد تعددية كل نقطة تقاطع باستخدام أساليب الجبر التبادلي والجبر التماثلي . ^{[ 1 ]} كان لهذا الربط بين المفهوم الهندسي للتقاطع والمفهوم التماثلي لجداء الموتر المشتق تأثير كبير، وأدى على وجه الخصوص إلى العديد من التخمينات التماثلية في الجبر التبادلي .

تنص صيغة تور لسير على ما يلي: ليكن X صنفًا منتظمًا ، و V و W صنفين فرعيين ذوي بُعد مُكمِّل بحيث يكون V ∩ W صفري البُعد. لأي نقطة x ∈ V ∩ W ، ليكن A الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$بالنسبة لـ x . تتوافق حزم البنية V و W عند x مع المثاليّات I و J ⊆ A. عندئذٍ، تكون تعددية V ∩ W عند النقطة x هي

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

حيث يُمثل الطول طول وحدة نمطية على حلقة محلية، وTor هو دالة Tor . عندما يُمكن نقل V و W إلى وضع عرضي، تُعطي هذه الصيغة الهومولوجية الإجابة المتوقعة. على سبيل المثال، إذا تقاطع V و W عرضيًا عند x ، فإن التعددية تساوي 1. إذا كان V مماسًا عند النقطة x لقطع مكافئ W في مستوى عند النقطة x ، فإن التعددية عند x تساوي 2.

إذا تم قطع كل من V و W محليًا بواسطة متتابعات منتظمة ، على سبيل المثال إذا كانت غير شاذة ، فإن جميع الـ Tor الأعلى في الصيغة أعلاه تتلاشى، وبالتالي تكون التعددية موجبة. وتُعدّ الإيجابية في الحالة العشوائية إحدى فرضيات سير حول التعددية .

يمكن تعميم التعريف بشكل كبير، على سبيل المثال إلى التقاطعات على طول الأنواع الفرعية بدلاً من مجرد نقاط، أو إلى أنواع كاملة عشوائية.

في الطوبولوجيا الجبرية ، يظهر عدد التقاطع على أنه ثنائي بوانكاريه للجداء الكأسي . تحديدًا، إذا تقاطع مشعبان، X و Y ، بشكل عرضي في مشعب M ، فإن فئة التماثل لهذا التقاطع هي ثنائي بوانكاريه للجداء الكأسي.${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$من ثنائيات بوانكاريه لـ X و Y.

هناك نهج لرقم التقاطع، قدمه سنابر في عامي 1959-1960 وطوره لاحقًا كارتييه وكليمان، والذي يعرف رقم التقاطع بأنه خاصية أويلر .

ليكن X مخططًا فوق مخطط S ، و Pic( X ) مجموعة بيكارد لـ X و G مجموعة غروتينديك لفئة الحزم المتماسكة على X التي يكون دعمها مناسبًا فوق مخطط أرتيني فرعي من S.

لكل L في Pic( X )، عرّف التشاكل الداخلي c1 ₍ L ) لـ G (المسمى فئة تشيرن الأولى لـ L ) كما يلي :

${\displaystyle c_{1}(L)F=FL^{-1}\otimes F.}$

هي جمعية على G لأن عملية الضرب الموتري مع حزمة خطية دقيقة. لدينا أيضًا:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$؛ بخاصة،${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$و${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$التنقل.
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$(هذا أمر غير تافه وينتج عن حجة dévissage .)

رقم التقاطع

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

يتم تعريف حزم الخطوط L _{i 's على النحو التالي:}

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

حيث χ ترمز إلى خاصية أويلر. أو بدلاً من ذلك، يمكن بالاستقراء ما يلي:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

في كل مرة يتم فيها تثبيت قيمة F ،${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$هي دالة متناظرة في L _i 's.

إذا كان _Li = O X ₍ Di ) لبعض قواسم كارتييه _Di ، _فسنكتب${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$لرقم التقاطع.

يترك${\displaystyle f:X\to Y}$ليكن تشاكلاً بين مخططات S ،${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$حزم الخطوط على X و F في G مع${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$. ثم

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$[ ^{2 ]​}

توجد دالة فريدة مخصصة لكل ثلاثية${\displaystyle (P,Q,p)}$يتكون من زوج من المنحنيات الإسقاطية،${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$، في${\displaystyle K[x,y]}$ونقطة${\displaystyle p\in K^{2}}$عدد${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$يُطلق عليه اسم تعدد التقاطعات لـ${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$في${\displaystyle p}$والتي تحقق الخصائص التالية:

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$إذا وفقط إذا${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$يوجد عامل مشترك يساوي صفرًا عند${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$إذا وفقط إذا كان أحد${\displaystyle P(p)}$أو${\displaystyle Q(p)}$غير صفري (أي النقطة)${\displaystyle p}$(ليس في نقطة تقاطع المنحنيين)
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$أين${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$لأي${\displaystyle R\in K[x,y]}$

على الرغم من أن هذه الخصائص تميز تعدد التقاطع بشكل كامل، إلا أنه يتم تحقيقه عملياً بعدة طرق مختلفة.

يتمثل أحد تجليات تعدد التقاطع في بُعد فضاء خارج قسمة معين لحلقة متسلسلة القوى .${\displaystyle K[[x,y]]}$بإجراء تغيير في المتغيرات إذا لزم الأمر، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle p=(0,0)}$. يترك${\displaystyle P(x,y)}$و${\displaystyle Q(x,y)}$لنفترض أن كثيرات الحدود تُعرّف المنحنيات الجبرية التي تهمنا. إذا كانت المعادلات الأصلية معطاة في شكل متجانس، فيمكن الحصول عليها عن طريق وضع${\displaystyle z=1}$. يترك${\displaystyle I=(P,Q)}$يدل على المثل الأعلى لـ${\displaystyle K[[x,y]]}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$تعددية التقاطع هي بُعد${\displaystyle K[[x,y]]/I}$كفضاء متجهي على${\displaystyle K}$.

ويتحقق إدراك آخر لتعددية التقاطع من خلال محصلة كثيرتي الحدود${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$في الإحداثيات حيث${\displaystyle p=(0,0)}$لا توجد تقاطعات أخرى بين المنحنيات و${\displaystyle y=0}$ودرجة​​${\displaystyle P}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$يساوي الدرجة الكلية لـ${\displaystyle P}$،${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$يمكن تعريفها بأنها أعلى قوة لـ${\displaystyle y}$الذي يقسم محصلة${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$(مع${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$تُعتبر كثيرات حدود على${\displaystyle K[x]}$).

يمكن أيضًا تعريف تعدد التقاطعات بأنه عدد التقاطعات المتميزة الموجودة إذا تم تغيير المنحنيات بشكل طفيف. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$عرّف المنحنيات التي تتقاطع مرة واحدة فقط في إغلاق مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ثم بالنسبة لمجموعة كثيفة من${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$،${\displaystyle P-\epsilon }$و${\displaystyle Q-\delta }$تكون هذه الخطوط ناعمة وتتقاطع بشكل عرضي (أي لها خطوط مماسية مختلفة) عند عدد معين بالضبط.${\displaystyle n}$النقاط في${\displaystyle U}$نقول إذن أن${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$.

من أكثر أعداد التقاطع إثارةً للاهتمام حسابًا أعداد التقاطع الذاتي . وهذا يعني أنه عند نقل قاسم إلى قاسم مكافئ آخر في موضع عام بالنسبة للأول، يتقاطع هذان القاسمان. وبهذه الطريقة، يمكن أن تصبح أعداد التقاطع الذاتي محددة بدقة، بل وحتى سالبة.

إن رقم التقاطع مدفوع جزئياً بالرغبة في تعريف التقاطع بما يفي بنظرية بيزو .

يظهر عدد التقاطع في دراسة النقاط الثابتة ، والتي يمكن تعريفها بذكاء على أنها تقاطعات رسوم بيانية للدوال ذات أقطار . يؤدي حساب أعداد التقاطع عند النقاط الثابتة إلى عدّ النقاط الثابتة بتعددها ، ويؤدي إلى نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة بصيغة كمية.

• ويليام فولتون (1974). المنحنيات الجبرية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. دبليو إيه بنجامين. الصفحات 74-83 . ISBN  0-8053-3082-8.
• روبن هارتشورن (1977). الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  52. ISBN 0-387-90244-9.الملحق أ.
• ويليام فولتون (1998). نظرية التقاطع (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 9780387985497.
• المنحنيات الجبرية: مدخل إلى الهندسة الجبرية ، بقلم ويليام فولتون بالاشتراك مع ريتشارد وايس. نيويورك: بنجامين، 1969. طبعة مُعاد طباعتها: ريدوود سيتي، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: أديسون-ويسلي، أدفانسد بوك كلاسيكس، 1989. ISBN 0-201-51010-3النص الكامل متاح عبر الإنترنت .
• هيرشل م. فاركاس؛ إيروين كرا (1980). أسطح ريمان . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  71. الصفحات 40-41 ، 55-56 . ISBN  0-387-90465-4.
• كلايمان، ستيفن ل. (2005)، "مخطط بيكارد: الملحق ب."، الهندسة الجبرية الأساسية ، سلسلة دراسات الرياضيات، المجلد  123، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، arXiv : math/0504020 ، Bibcode : 2005math......4020K ، MR 2223410 
• كولار ، يانوس (1996)، المنحنيات العقلانية على الأصناف الجبرية ، برلين، هايدلبرغ: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 ، ISBN 978-3-642-08219-1MR 1440180​