المؤثر التفاضلي الزائف

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي، يُعدّ المؤثر التفاضلي الزائف امتدادًا لمفهوم المؤثر التفاضلي . وتُستخدم المؤثرات التفاضلية الزائفة على نطاق واسع في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ونظرية الحقول الكمومية ، على سبيل المثال في النماذج الرياضية التي تتضمن معادلات تفاضلية زائفة فائقة القياس في فضاء غير أرخميدسي .

تاريخ

بدأت دراسة المؤثرات التفاضلية الزائفة في منتصف الستينيات من القرن العشرين مع أعمال كوهن ، ونيرنبرغ ، وهورماندر ، وأونتربيرغر، وبوكوبزا. [ 1 ]

لعبوا دورًا مؤثرًا في البرهان الثاني لنظرية مؤشر أتياس-سينجر عبر نظرية K. وقد شكر أتياس وسينجر هورماندر على مساعدته في فهم نظرية المؤثرات التفاضلية الزائفة. [ 2 ]

تحفيز

المؤثرات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة

لنفترض وجود مؤثر تفاضلي خطي بمعاملات ثابتة ،

P(د):=∑αأαدα{\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}

والتي تعمل على الدوال السلسةu{\displaystyle u}مع دعم مضغوط في R n . يمكن كتابة هذا المؤثر كتركيب لتحويل فورييه ، وضرب بسيط بدالة متعددة الحدود (تسمى الرمز ).

P(ξ)=∑αأαξα،{\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}

وتحويل فورييه العكسي، بالشكل التالي:

هنا،α=(α1،...،αن){\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}هو فهرس متعدد ،أα{\displaystyle a_{\alpha }}هي أعداد مركبة، و

دα=(-أنا∂1)α1⋯(-أنا∂ن)αن{\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}

هي مشتقة جزئية متكررة ، حيث ∂ j تعني التفاضل بالنسبة للمتغير j . نُعرّف الثوابت-أنا{\displaystyle -i}لتسهيل حساب تحويلات فورييه.

اشتقاق الصيغة ( 1 )

التحويل الفورييه لدالة سلسة u ، ذات دعم مضغوط في R n ، هو

u^(ξ):=∫هـ-أناyξu(y)دy{\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi}u(y)\,dy}

وتعطي صيغة فورييه العكسية

u(x)=1(2π)ن∫هـأناxξu^(ξ)دξ=1(2π)ن∬هـأنا(x-y)ξu(y)دyدξ{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(xy)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }

بتطبيق P ( D ) على هذا التمثيل لـ u واستخدام

P(دx)هـأنا(x-y)ξ=هـأنا(x-y)ξP(ξ){\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(xy)\xi }=e^{i(xy)\xi }\,P(\xi )}

نحصل على الصيغة ( 1 ).

تمثيل حلول المعادلات التفاضلية الجزئية

لحل المعادلة التفاضلية الجزئية

P(د)u=و{\displaystyle P(D)\,u=f}

نطبق (رسميًا) تحويل فورييه على كلا الجانبين ونحصل على المعادلة الجبرية

P(ξ)u^(ξ)=و^(ξ).{\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}

إذا كان الرمز P ( ξ ) لا يساوي الصفر أبدًا عندما ξ ∈ R n ، فإنه من الممكن القسمة على P ( ξ ):  

u^(ξ)=1P(ξ)و^(ξ){\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}

باستخدام صيغة فورييه العكسية، يكون الحل هو

u(x)=1(2π)ن∫هـأناxξ1P(ξ)و^(ξ)دξ.{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}

يفترض هنا ما يلي:

  1. P ( D ) هو مؤثر تفاضلي خطي ذو معاملات ثابتة ،
  2. رمزها P ( ξ ) لا يساوي الصفر أبدًا،
  3. لكل من u و ƒ تحويل فورييه محدد جيدًا.

يمكن تخفيف الفرضية الأخيرة باستخدام نظرية التوزيعات . ويمكن تخفيف الفرضيتين الأوليين على النحو التالي.

في الصيغة الأخيرة، اكتب تحويل فورييه لـ ƒ للحصول على

u(x)=1(2π)ن∬هـأنا(x-y)ξ1P(ξ)و(y)دyدξ.{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(xy)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}

وهذا يشبه الصيغة ( 1 )، باستثناء أن 1/ P ( ξ ) ليست دالة متعددة الحدود، بل دالة من نوع أكثر عمومية.

تعريف المؤثرات التفاضلية الزائفة

هنا ننظر إلى المؤثرات التفاضلية الزائفة على أنها تعميم للمؤثرات التفاضلية. ونوسع الصيغة (1) على النحو التالي: المؤثر التفاضلي الزائف P ( x , D ) على Rⁿ هو مؤثر تكون قيمته على الدالة u(x) دالة لـ x .

أينu^(ξ){\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}يمثل تحويل فورييه للدالة u ، وينتمي الرمز P ( x , ξ ) في الدالة التكاملية إلى فئة رموز معينة . على سبيل المثال، إذا كانت P ( x , ξ ) دالة قابلة للتفاضل بلا حدود على Rⁿ × Rⁿ ولها الخاصية التالية :  

|∂ξα∂xβP(x،ξ)|≤جα،β(1+|ξ|)م-|α|{\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}

لكل x و ξ ∈ R n ، ولكل المؤشرات المتعددة α و β ، وبعض الثوابت C α و β ، وعدد حقيقي m ، فإن P ينتمي إلى فئة الرموز S1،0م{\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}من هورماندر . يُطلق على المؤثر المقابل P ( x , D ) اسم مؤثر تفاضلي زائف من الرتبة m وينتمي إلى الفئة Ψ1،0م.{\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}.}

ملكيات

تُعدّ المؤثرات التفاضلية الخطية من الرتبة m ذات المعاملات الملساء والمحدودة مؤثرات تفاضلية زائفة من الرتبة m . ويُعتبر تركيب المؤثرين التفاضليين الزائفين P و Q ، PQ ، مؤثرًا تفاضليًا زائفًا أيضًا، ويمكن حساب رمز PQ باستخدام رمزي P و Q. كما يُعتبر كلٌّ من المؤثر المرافق والمُنقول لمؤثر تفاضلي زائف مؤثرًا تفاضليًا زائفًا. 

إذا كان المؤثر التفاضلي من الرتبة m إهليلجيًا (بشكل منتظم) (من الرتبة m ) وقابلًا للعكس، فإن معكوسه يكون مؤثرًا تفاضليًا زائفًا من الرتبة -m ، ويمكن حساب رمزه. هذا يعني أنه يمكن حل المعادلات التفاضلية الإهليلجية الخطية بشكل صريح أو ضمني باستخدام نظرية المؤثرات التفاضلية الزائفة.

تُعتبر المؤثرات التفاضلية محلية، بمعنى أنه يكفي معرفة قيمة الدالة في جوار نقطة معينة لتحديد تأثير المؤثر. أما المؤثرات التفاضلية الزائفة فهي شبه محلية ، أي أنها عند تطبيقها على توزيع ما، لا تُحدث تفرداً عند النقاط التي كان التوزيع فيها أملساً أصلاً.

كما يمكن التعبير عن المؤثر التفاضلي بدلالة D  = − id/d x بالشكل التالي: 

ص(x،د){\displaystyle p(x,D)\,}

بالنسبة لكثير الحدود p في D (والذي يُسمى الرمز )، فإن للمؤثر التفاضلي الزائف رمزًا في فئة أعم من الدوال. غالبًا ما يمكن اختزال مسألة تحليل المؤثرات التفاضلية الزائفة إلى سلسلة من المسائل الجبرية التي تتضمن رموزها، وهذا هو جوهر التحليل الميكرولوكالي .

نواة المؤثر التفاضلي الزائف

يمكن تمثيل المؤثرات التفاضلية الزائفة بواسطة النوى . وتعتمد حالة التفرد للنواة على القطر على درجة المؤثر المقابل. في الواقع، إذا حقق الرمز المتباينات التفاضلية المذكورة أعلاه مع m ≤ 0، فإنه يمكن إثبات أن النواة هي نواة تكاملية متفردة .

انظر أيضاً

الحواشي

مراجع

للمزيد من القراءة

  • نيكولاس ليرنر، المقاييس على فضاء الطور والمؤثرات التفاضلية الزائفة غير المترافقة ذاتيًا . المؤثرات التفاضلية الزائفة. النظرية والتطبيقات، 3. دار نشر بيركهاوزر، بازل، 2010.
  • مايكل إي. تايلور ، المؤثرات التفاضلية الزائفة، مطبعة جامعة برينستون، 1981. ISBN 0-691-08282-0
  • إم إيه شوبين، المؤثرات التفاضلية الزائفة والنظرية الطيفية، سبرينغر-فيرلاغ 2001. ISBN 3-540-41195-X
  • فرانسوا تريف ، مقدمة في المؤثرات التفاضلية الزائفة ومؤثرات فورييه التكاملية، (سلسلة الجامعة في الرياضيات)، دار بلينوم للنشر، 1981. ISBN 0-306-40404-4
  • إف جي فريدلاندر وإم جوشي، مقدمة في نظرية التوزيعات، مطبعة جامعة كامبريدج 1999. ISBN 0-521-64971-4
  • هورماندر، لارس (1987). تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية III: المؤثرات التفاضلية الزائفة . سبرينغر. ISBN 3-540-49937-7.
  • أندريه أونتربيرجر، عوامل وتطبيقات التفاضل الزائف: مقدمة . سلسلة ملاحظات المحاضرات، 46. جامعة آرهوس، معهد ماتيماتيسك، آرهوس، 1976.