دالة تاو (الأنظمة القابلة للتكامل)

A KP ( كادومتسيف-بيتفياشفيلي )${\displaystyle \tau }$-وظيفة${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$ هي دالة لمجموعة لانهائية${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$من المتغيرات (تسمى متغيرات تدفق KP ) التي تحقق معادلة البقايا الرسمية الثنائية الخطية

${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}\left(e^{\sum _{i=1}^{\infty }(\delta t_{i})z^{i}}\tau ({\bf {t}}-[z^{-1}])\tau ({\bf {s}}+[z^{-1}])\right)dz\equiv 0,}$

1

بشكل مماثل في${\displaystyle \delta t_{j}}$المتغيرات، حيث${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}}$هو ${\displaystyle z^{-1}}$المعامل في متسلسلة لوران الرسمية الناتجة عن توسيع جميع العوامل كمتسلسلة لوران في${\displaystyle z}$، و

$${\displaystyle {\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).}$$

كما هو موضح أدناه في القسم §  دالة بيكر-أخيزر الرسمية وهرمية KP ، كل من هذا القبيل${\displaystyle \tau }$تحدد الدالة مجموعة من الحلول لمعادلات التسلسل الهرمي لـ KP.

لو${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$هو KP${\displaystyle \tau }$الدالة التي تحقق معادلة هيروتا المتبقية ( 1 )، ونحدد متغيرات التدفق الثلاثة الأولى على النحو التالي:

${\displaystyle t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,}$

ويترتب على ذلك أن الدالة

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)}$

يرضي${\displaystyle 2}$(مكاني)${\displaystyle +1}$معادلة تفاضلية جزئية غير خطية ذات أبعاد زمنية

${\displaystyle 3u_{yy}=\left(4u_{t}-6uu_{x}-u_{xxx}\right)_{x},}$

2

تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي (KP) . وتلعب هذه المعادلة دورًا بارزًا في فيزياء البلازما وفي أمواج المحيطات الضحلة.

بأخذ المزيد من المشتقات اللوغاريتمية لـ${\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$يُعطي ذلك سلسلة لانهائية من الدوال التي تُحقق أنظمة أخرى من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية المستقلة، كل منها يتضمن مشتقات جزئية من رتبة محدودة بالنسبة لعدد محدود من معلمات تدفق KP${\displaystyle {\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )}$. تُعرف هذه مجتمعة باسم التسلسل الهرمي لـ KP .

إذا قمنا بتعريف دالة بيكر-أخيزر (الرسمية)${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )}$ باستخدام صيغة ساتو ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}}$

وقم بتوسيعها كسلسلة رسمية بدلالة قوى المتغير${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),}$

وهذا يحقق سلسلة لانهائية من معادلات التطور المتوافقة

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}\psi ,\quad i,j,=1,2,\dots ,}$

3

أين${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$هو مؤثر تفاضلي عادي خطي من الدرجة${\displaystyle i}$ في المتغير${\displaystyle x:=t_{1}}$، بمعاملات هي دوال لمتغيرات التدفق ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$، كما هو موضح أدناه

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هو المؤثر التفاضلي الزائف الرسمي

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}}$

مع${\displaystyle \partial$ :={\frac {\partial }{\partial x}}} ,

${\displaystyle {\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

هو عامل الموجة و${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$ يشير إلى الإسقاط على جزء من${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$تحتوي على قوى غير سالبة بحتة من${\displaystyle \partial }$أي الجزء الخاص بالمؤثر التفاضلي من${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$.

المؤثر التفاضلي الزائف${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يُحقق النظام اللانهائي لمعادلات التشوه متساوي الطيف

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t_{i}}}=[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {L}}],\quad i,=1,2,\dots }$

4

وشروط التوافق لكل من النظامين ( 3 ) و( 4 ) هي

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {D}}_{i}}{\partial t_{j}}}-{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{j}}{\partial t_{i}}}+[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {D}}_{j}]=0,\quad i,j,=1,2,\dots }$

5

هذا نظام لانهائي متوافق من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، يُعرف باسم التسلسل الهرمي KP (كادومتسيف-بيتفياشفيلي) ، للدوال${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$، بالنسبة للمجموعة${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$من المتغيرات المستقلة، يحتوي كل منها على عدد محدود فقط من${\displaystyle u_{j}}$، والمشتقات فقط بالنسبة للمتغيرات المستقلة الثلاثة${\displaystyle (x,t_{i},t_{j})}$. الحالة الأولى غير التافهة من هذه هي معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي ( 2 ).

وبالتالي، كل مؤشر أداء رئيسي${\displaystyle \tau }$توفر الدالة حلاً، على الأقل بالمعنى الرسمي، لهذا النظام اللانهائي من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية.

لنفترض نظام المعادلات التفاضلية الجزئية المصفوفية من الرتبة الأولى ذات التحديد الزائد

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,\quad }$

6

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial \alpha _{i}}+{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,}$

7

أين${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$هي مجموعة من${\displaystyle n}$${\displaystyle r\times r}$المصفوفات عديمة الأثر، ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$مجموعة من${\displaystyle n}$المعايير المعقدة،${\displaystyle z}$متغير مركب، و${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$هو قابل للعكس${\displaystyle r\times r}$دالة ذات قيم مصفوفية لـ${\displaystyle z}$و${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$هذه هي الشروط اللازمة والكافية لتمثيل المجموعة الأساسية باستخدام المونودرومي .${\displaystyle \pi _{1}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$كرة ريمان المثقوبة عند النقاط${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$المقابل لمؤثر المشتقة التغايرية النسبية

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

أن يكون مستقلاً عن المعلمات${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$أي أن التغيرات في هذه المعلمات تُحدث تشوهًا متساوي المونودرومي . شروط التوافق لهذا النظام هي معادلات شليزنجر ^{[ 12 ].}

${\displaystyle {\partial N_{i} \over \partial \alpha _{j}}={[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}\quad {\text{for }}i\neq j,\quad {\partial N_{i} \over \partial \alpha _{i}}=-\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}.}$

8

تعريف${\displaystyle n}$الوظائف

${\displaystyle H_{i}:={\frac {1}{2}}\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{{\rm {Tr}}(N_{i}N_{j}) \over \alpha _{i}-\alpha _{j}},\quad i=1,\dots ,n,}$

9

تشير معادلات شليزنجر ( 8 ) إلى أن الشكل التفاضلي

${\displaystyle \omega$ :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}}

الفضاء الخاص بالمعاملات مغلق:

${\displaystyle d\omega =0}$

وبالتالي، فهي دقيقة محليًا. لذلك، على الأقل محليًا، توجد دالة ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ من المعاملات، المحددة ضمن ثابت ضربي، بحيث

${\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

الوظيفة${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$يُطلق عليه اسم أحادي النودروميك${\displaystyle \tau }$- الدالة المرتبطة بالحل الأساسي${\displaystyle \Psi }$من النظام ( 6 )، ( 7 ).

تعريف أقواس لي بواسون على فضاء${\displaystyle n}$-tuples${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ل${\displaystyle r\times r}$المصفوفات:

${\displaystyle \{(N_{i})_{ab},(N_{j})_{c,d}\}=\delta _{ij}\left((N_{i})_{ad}\delta _{bc}-(N_{i})_{cb}\delta _{ad}\right)}$

${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\quad 1\leq a,b,c,d\leq r,}$

ومشاهدة${\displaystyle n}$الوظائف${\displaystyle \{H_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$وبتعريفها في ( 9 ) كدوال هاميلتونية على فضاء بواسون هذا، يمكن التعبير عن معادلات شليزنجر ( 8 ) في شكل هاميلتوني كما هو ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f(N_{1},\dots ,N_{n})}{\partial \alpha _{i}}}=\{f,H_{i}\},\quad 1\leq i\leq n}$

لأي دالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f(N_{1},\dots ,N_{n})}$.

أبسط حالة غير تافهة لمعادلات شليزنجر هي عندما${\displaystyle r=2}$و${\displaystyle n=3}$بتطبيق تحويل موبيوس على المتغير${\displaystyle z}$يمكن اختيار اثنين من الأقطاب المحدودة ليكونوا عند${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$والمتغير الثالث يُعتبر المتغير المستقل. تحديد المجموع${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}N_{i}}$من المصفوفات الظاهرة في ( 6 )، وهو ثابت لمعادلات شليزنجر، يساوي ثابتًا، ويقسم على مُثبِّته تحت${\displaystyle Gl(2)}$بالاقتران، نحصل على نظام مكافئ للحالة الأكثر عمومية${\displaystyle P_{VI}}$من بين معادلات بانليفيه المتسامية الست ، والتي تُعرف لها العديد من الفئات التفصيلية للحلول الصريحة . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

بالنسبة للأنظمة غير الفوشية، ذات الأقطاب ذات الرتبة الأعلى، تتضمن بيانات المونودرومية المعممة مصفوفات ستوكس ومصفوفات الاتصال ، وهناك معلمات تشوه متساوية المونودرومية أخرى مرتبطة بالتقارب المحلي، ولكن المونودرومية${\displaystyle \tau }$يمكن تعريف الدوال بطريقة مماثلة، باستخدام التفاضلات على فضاء المعاملات الموسع. ^{[ 12 ]} وبالمثل، توجد بنية قوس بواسون على فضاء الدوال النسبية ذات القيم المصفوفية للمعامل الطيفي.${\displaystyle z}$والهاميلتونيانات الطيفية الثابتة المقابلة التي تولد ديناميكيات التشوه المتساوية المونودرومية. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

بأخذ جميع نقاط التقاء الأقطاب الممكنة الظاهرة في ( 6 ) لـ${\displaystyle r=2}$و${\displaystyle n=3}$القضية، بما في ذلك تلك الموجودة في${\displaystyle z=\infty }$وبإجراء الاختزالات المقابلة، نحصل على جميع الحالات الأخرى.${\displaystyle P_{I}\cdots P_{V}}$ من الدوال المتسامية لبانليفيه ، والتي تُعرف لها أيضاً العديد من الحلول الخاصة . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

كما هو موضح في المعادلة ( 9 )، كل KP${\displaystyle \tau }$يمكن تمثيل الدالة (على الأقل شكليًا) كتركيبة خطية من دوال شور ، حيث تكون المعاملات${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$تحقق مجموعة العلاقات الثنائية الخطية لـ Plucker المقابلة لعنصر${\displaystyle w}$لمتشعب غراسمان اللانهائي (أو المحدود). في الواقع، تتكون أبسط فئة من دوال تاو (متعددة الحدود) من دوال شور.${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$أنفسهم، والتي تتوافق مع العنصر الخاص من متعدد الشعب غراسمان الذي تكون صورته تحت خريطة بلوكر هي${\displaystyle |\lambda >}$.

إذا اخترنا${\displaystyle 3N}$الثوابت المركبة ${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$ مع${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$كلها متميزة،${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$، وتحديد الوظائف

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,}$

نصل إلى صيغة محدد فرونسكي

${\displaystyle \tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}},}$

وهذا يعطي العام${\displaystyle N}$-سوليتون${\displaystyle \tau }$- دالة. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 19 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن سطح ريمان مضغوط من الجنس${\displaystyle g}$وتحديد أساس التماثل الكنسي${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ ل${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$مع أرقام التقاطع

${\displaystyle a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.}$

يترك${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}}$كن أساسًا للمساحة${\displaystyle H^{1}(X)}$من التفاضلات الهولومورفية التي تستوفي شروط التطبيع القياسية

${\displaystyle \oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},}$

أين${\displaystyle B}$هي مصفوفة ريمان للفترات.${\displaystyle B}$ينتمي إلى النصف العلوي من مساحة سيجل

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.}$

ريمان​${\displaystyle \theta }$الوظيفة قيد التشغيل${\displaystyle \mathbf {C} ^{g}}$المقابل لمصفوفة الفترة${\displaystyle B}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.}$

اختر نقطة${\displaystyle p_{\infty }\in X}$، معلمة محلية${\displaystyle \zeta }$في حي من${\displaystyle p_{\infty }}$مع${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$وقاسم موجب من الدرجة${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.}$

لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle k\in \mathbf {N} ^{+}}$يترك${\displaystyle \Omega _{k}}$ليكن التفاضل الميرومورفي الفريد من النوع الثاني الذي يتميز بالشروط التالية:

• التفرد الوحيد لـ${\displaystyle \Omega _{k}}$هو قطب النظام${\displaystyle k+1}$في${\displaystyle p=p_{\infty }}$مع بقايا متلاشية.
• توسع${\displaystyle \Omega _{k}}$حول${\displaystyle p=p_{\infty }}$يكون

  ${\displaystyle \Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta }$.

• ${\displaystyle \Omega _{k}}$يتم تطبيعها بحيث تختفي${\displaystyle a}$دورات:

  ${\displaystyle \oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.}$

يرمز بـ${\displaystyle \mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}}$متجه${\displaystyle b}$دورات${\displaystyle \Omega _{k}}$:

${\displaystyle (\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.}$

دل على صورة${\displaystyle {\mathcal {D}}}$تحت خريطة أبيل${\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}}$

${\displaystyle \mathbf {E}$ := {\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g}،\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}}

بنقطة أساس عشوائية${\displaystyle p_{0}}$.

ثم فيما يلي KP${\displaystyle \tau }$-function: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right)}$.

يترك${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$كن مقياس ليبيغ على${\displaystyle N^{2}}$الفضاء ذو ​​الأبعاد${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$ل${\displaystyle N\times N}$المصفوفات الهرميتية المعقدة. ليكن${\displaystyle \rho (M)}$لتكن دالة كثافة قابلة للتكامل وثابتة تحت الاقتران

${\displaystyle \rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).}$

حدد مجموعة من مقاييس التشوه

${\displaystyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)}$

للصغار${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )}$ودع

${\displaystyle \tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).}$

لتكن دالة التقسيم لهذا النموذج المصفوفي العشوائي . ^{[ 21 ] [ 5 ]} إذن${\displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )}$يحقق معادلة هيروتا الثنائية الخطية ( 1 )، وبالتالي فهو${\displaystyle \tau }$-وظيفة التسلسل الهرمي لـ KP. ^{[ 22 ]}

يترك${\displaystyle \{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$لتكن متتالية (مزدوجة) لانهائية من الأعداد المركبة. لأي تجزئة عددية صحيحة${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$حدد معامل منتج المحتوى

${\displaystyle r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$،

حيث يكون المنتج شاملاً لجميع الأزواج${\displaystyle (i,j)}$من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تتوافق مع مربعات مخطط يونغ للتقسيم${\displaystyle \lambda }$، تُعتبر مواضع عناصر المصفوفة المقابلة ${\displaystyle \ell (\lambda )\times \lambda _{1}}$المصفوفة. ثم، لكل زوج من المتتاليات اللانهائية${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$و${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$من المتغيرات المعقدة، التي تُنظر إليها على أنها مجاميع قوى (معيارية)${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$ من التسلسل اللانهائي للمتغيرات المساعدة

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$و${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots )}$،

مُعرَّف بواسطة:

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j}}$،

الوظيفة

${\displaystyle \tau ^{r}(\mathbf {t} ,\mathbf {s} ):=\sum _{\lambda }r_{\lambda }s_{\lambda }(\mathbf {t} )s_{\lambda }(\mathbf {s} )}$

11

هو KP مزدوج${\displaystyle \tau }$-الوظيفة، كلاهما في${\displaystyle \mathbf {t} }$و${\displaystyle \mathbf {s} }$المتغيرات، والمعروفة باسم${\displaystyle \tau }$- دالة من النوع الهندسي الفائق . ^{[ 23 ]}

على وجه الخصوص، اختيار

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }}$

بالنسبة لبعض المعاملات الصغيرة${\displaystyle \beta }$، مع الإشارة إلى معامل منتج المحتوى المقابل كـ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$ والضبط

${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$،

والنتيجة${\displaystyle \tau }$يمكن توسيع الدالة بشكل مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle \tau ^{r^{\beta }}(\mathbf {t} ,\mathbf {t} _{0})=\sum _{\lambda }\sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\beta ^{d}}{d!}}H_{d}(\lambda )p_{\lambda }(\mathbf {t} ),}$

12

أين${\displaystyle \{H_{d}(\lambda )\}}$هي أعداد هورويتز البسيطة ، وهي ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$مضروبًا في عدد الطرق التي يمكن بها لعنصر ما ${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$من المجموعة المتناظرة${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$في${\displaystyle n=|\lambda |}$العناصر، بأطوال دورات تساوي أجزاء التقسيم${\displaystyle \lambda }$، ويمكن تحليلها كحاصل ضرب${\displaystyle d}$${\displaystyle 2}$دورات

${\displaystyle k_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d})}$،

و

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),\ {\text{with}}\ p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

هي دالة متناظرة لمجموع القوى. وبالتالي، تُظهر المعادلة ( 12 ) أن دالة KP فوق الهندسية (الرسمية)${\displaystyle \tau }$الدالة ( 11 ) المقابلة لمعاملات ناتج المحتوى ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$هي دالة مولدة، بالمعنى التوافقي، لأعداد هورويتز البسيطة. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}