صيغة حيود كيرشوف

صيغة حيود كيرشوف ^{[1] [2]} (وتسمى أيضًا صيغة حيود فرينل-كيرشوف ) تقرب شدة الضوء وطوره في الحيود البصري : حقول الضوء في المناطق الحدودية للظلال. يمكن استخدام التقريب لنمذجة انتشار الضوء في مجموعة واسعة من التكوينات، إما تحليليًا أو باستخدام النمذجة العددية . إنه يعطي تعبيرًا عن اضطراب الموجة عندما تكون الموجة الكروية أحادية اللون هي الموجة الواردة لموقف قيد الدراسة. يتم اشتقاق هذه الصيغة من خلال تطبيق نظرية كيرشوف التكاملية ، والتي تستخدم هوية جرين الثانية لاستنباط حل معادلة الموجة القياسية المتجانسة ، على موجة كروية ببعض التقريبات.

يتم اشتقاق مبدأ هويجنز-فرينل من خلال صيغة حيود فرينل-كيرشوف.

تستخدم نظرية كيرشوف التكاملية ، والتي يشار إليها أحيانًا باسم نظرية فرينل-كيرشوف التكاملية، ^[3] هوية جرين الثانية لاستنتاج حل معادلة الموجة القياسية المتجانسة في موضع مكاني تعسفي P من حيث حل معادلة الموجة ومشتقها من الدرجة الأولى في جميع النقاط على سطح مغلق تعسفي كحدود لبعض الحجم بما في ذلك P.${\displaystyle S}$

الحل الذي توفره نظرية التكامل لمصدر أحادي اللون هو حيث هو الجزء المكاني من حل معادلة الموجة القياسية المتجانسة (أي كحل لمعادلة الموجة القياسية المتجانسة)، k هو رقم الموجة ، و s هي المسافة من P إلى عنصر سطح تكاملي (صغير للغاية)، ويشير إلى التمايز على طول متجه الوحدة العمودي لعنصر السطح التكاملي (أي المشتق العمودي )، أي، . لاحظ أن العمودي السطحي أو اتجاه هو نحو داخل الحجم المغلق في هذا التكامل؛ إذا تم استخدام العمودي الأكثر شيوعًا الموجه للخارج ، فسيكون للتكامل إشارة معاكسة. ولاحظ أيضًا أنه في نظرية التكامل الموضحة هنا، و P هي كميات متجهة بينما المصطلحات الأخرى هي كميات قياسية . $${\displaystyle U({\textbf {P}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S}\left[U{\frac {\partial }{\partial {\textbf {n}}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial {\textbf {n}}}\right]dS,}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

بالنسبة للحالات أدناه، يتم إجراء الافتراضات الأساسية التالية.

• المسافة بين مصدر نقطة للموجات ومنطقة التكامل، والمسافة بين المنطقة التكاملية ونقطة المراقبة P ، وأبعاد الفتحة S أكبر بكثير من طول موجة الموجة .${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle U}$وتكون متقطعة عند حدود الفتحة، وتسمى شروط حدود كيرشوف . وقد يكون هذا مرتبطًا بافتراض آخر مفاده أن الموجات على فتحة (أو منطقة مفتوحة) هي نفسها الموجات التي قد تكون موجودة إذا لم يكن هناك عائق للموجات.${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}$

لنفترض وجود مصدر نقطي أحادي اللون عند P ₀ ، والذي يضيء فتحة في شاشة. تقل شدة الموجة المنبعثة من مصدر نقطي مع عكس مربع المسافة المقطوعة، وبالتالي تقل السعة مع عكس المسافة. تُعطى السعة المركبة للاضطراب على مسافة بواسطة${\displaystyle r}$

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ حيث يمثل حجم الاضطراب عند مصدر النقطة. ${\displaystyle أ}$

يمكن إيجاد الاضطراب عند الموضع المكاني P من خلال تطبيق نظرية كيرشوف التكاملية على السطح المغلق الذي يتكون من تقاطع كرة نصف قطرها R مع الشاشة. يتم إجراء التكامل على المناطق A ₁ و A ₂ و A ₃ ، مما يعطي $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

لحل المعادلة، نفترض أن قيمتي و في منطقة الفتحة A ₁ هي نفسها عندما لا تكون الشاشة موجودة، لذا في الموضع Q ، حيث هو طول الخط المستقيم P ₀ Q ، و هي الزاوية بين نسخة ممتدة بشكل مستقيم من P ₀ Q والعمودي (الداخلي) للفتحة. لاحظ أن so هو عدد حقيقي موجب على A ₁ . ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$$${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle (n,r)}$${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos(n,r)}$

عند Q ، لدينا أيضًا حيث هو طول الخط المستقيم PQ ، و هي الزاوية بين نسخة ممتدة بشكل مستقيم من PQ والعمودي (الداخلي) للفتحة. لاحظ أن so هو عدد حقيقي سالب على A ₁ . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle (n,s)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos(n,s)}$

وقد تم التوصل إلى افتراضين آخرين.

• في المشتقات الطبيعية أعلاه، نفترض أن المصطلحين و الموجودين بين القوسين المربعين يمكن إهمالهما مقارنة بالرقم الموجي ، المتوسط ​​و أكبر بكثير من الطول الموجي .${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda }$
• يفترض كيرشوف أن قيم و على المناطق المعتمة المحددة بـ A ₂ تساوي صفرًا. وهذا يعني أن و غير متصلتين عند حافة الفتحة A ₁ . هذه ليست الحالة، وهذا أحد التقريبات المستخدمة في اشتقاق صيغة حيود كيرشوف. ^{[4] [5]} يُشار إلى هذه الافتراضات أحيانًا باسم شروط حدود كيرشوف .${\displaystyle U}$${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$

ومن المتوقع أن تكون مساهمة نصف الكرة A ₃ في التكامل صفرًا، ويمكن تبرير ذلك بأحد الأسباب التالية.

1. افترض أن المصدر يبدأ في الإشعاع في وقت معين، ثم اجعل R كبيرًا بما يكفي، بحيث عندما يتم النظر في الاضطراب عند P ، لن تصل أي مساهمات من A _{3 إلى هناك.} ^[1] لم تعد هذه الموجة أحادية اللون ، حيث يجب أن توجد موجة أحادية اللون في جميع الأوقات، لكن هذا الافتراض ليس ضروريًا، وقد تم استنباط حجة أكثر رسمية لتجنب استخدامه. ^[6]
2. من المتوقع أن تتطور الموجة الصادرة من الفتحة A ₁ نحو موجة كروية أثناء انتشارها (يمكن العثور على أمثلة لموجات الماء على هذا في العديد من الصور التي تُظهر موجة ماء تمر عبر فتحة ضيقة نسبيًا). لذا، إذا كان R كبيرًا بما يكفي، فإن التكامل على A ₃ يصبح حيث وهما المسافة من مركز الفتحة A ₁ إلى عنصر سطح تكاملي والزاوية الصلبة التفاضلية في نظام الإحداثيات الكروية على التوالي.$${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$${\displaystyle r'}$${\displaystyle d\أوميغا }$

ونتيجة لذلك، أخيرًا، يصبح التكامل أعلاه، الذي يمثل السعة المركبة عند P ،$${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

هذه هي صيغة حيود كيرشوف أو فرينل-كيرشوف .

يمكن اشتقاق مبدأ هويجنز-فرينل من خلال التكامل على سطح مغلق مختلف (حدود بعض الحجم الذي يحتوي على نقطة مراقبة P ). يتم استبدال المنطقة A ₁ أعلاه بجزء من واجهة الموجة (المنبعثة من P ₀ ) عند r ₀ ، وهي الأقرب إلى الفتحة، وجزء من المخروط ذو الرأس عند P ₀ ، والذي يُسمى A ₄ في الرسم التخطيطي الأيمن. إذا تم وضع واجهة الموجة بحيث تكون واجهة الموجة قريبة جدًا من حواف الفتحة، فيمكن إهمال المساهمة من A _{4 (المفترضة هنا). في} A ₁ الجديد هذا ، يكون العمودي الداخلي (نحو الحجم المحاط بالسطح المتكامل المغلق، وبالتالي نحو الجانب الأيمن في الرسم التخطيطي) على A ₁ على طول الاتجاه الشعاعي من P ₀ ، أي الاتجاه العمودي على واجهة الموجة. ونتيجة لذلك، فإن الزاوية والزاوية مرتبطة بالزاوية (الزاوية كما هو محدد في مبدأ هويجنز-فرينل ) مثل ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n,r)=0}$${\displaystyle (n,s)}$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

يتم إعطاء السعة المعقدة لجبهة الموجة عند r _{0 بواسطة}$${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

وبالتالي، تصبح صيغة الانعراج حيث يتم إجراء التكامل على جزء من مقدمة الموجة عند r ₀ وهو الأقرب إلى الفتحة في الرسم التخطيطي. يؤدي هذا التكامل إلى مبدأ هويجنز-فرينل (مع عامل الميل ). $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$

في اشتقاق هذا التكامل، بدلاً من الهندسة الموضحة في الرسم التخطيطي الأيمن، يمكن استخدام كرات مزدوجة مركزها P ₀ بنصف قطر الكرة الداخلية r _{0 ونصف قطر الكرة الخارجية اللانهائي.} ^[7] في هذه الهندسة، تقع نقطة المراقبة P في الحجم المحاط بالكرتين، لذا يتم تطبيق صيغة حيود فرينل-كيرشوف على الكرتين. (الخط العمودي على هذه الأسطح المتكاملة هو، مرة أخرى، نحو الحجم المحاط في صيغة الحيود أعلاه.) في تطبيق الصيغة، يكون التكامل على الكرة الخارجية صفرًا لسبب مماثل للتكامل على نصف الكرة مثل الصفر أعلاه.

افترض أن الفتحة مضاءة بموجة مصدر ممتدة. ^[8] يتم تحديد السعة المركبة عند الفتحة بواسطة U ₀ ( r ).

يُفترض، كما في السابق، أن قيم و في المنطقة A ₁ هي نفسها عندما لا تكون الشاشة موجودة، وأن قيم و في A ₂ تساوي صفرًا (شروط حدود كيرشوف) وأن مساهمة A ₃ في التكامل تساوي صفرًا أيضًا. يُفترض أيضًا أن 1/ s مهملة مقارنة بـ k . لدينا إذن ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$$${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

هذا هو الشكل الأكثر عمومية لصيغة حيود كيرشوف. لحل هذه المعادلة لمصدر ممتد، يلزم تكامل إضافي لجمع المساهمات التي قدمتها النقاط الفردية في المصدر. ومع ذلك، إذا افترضنا أن الضوء من المصدر عند كل نقطة في الفتحة له اتجاه محدد جيدًا، وهو الحال إذا كانت المسافة بين المصدر والفتحة أكبر بكثير من الطول الموجي، فيمكننا كتابة حيث a ( r ) هو مقدار الاضطراب عند النقطة r في الفتحة. لدينا إذن وبالتالي $${\displaystyle U_{0}(r)\تقريبًا a(r)e^{ikr},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)\cos(n,r)}$$$${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{iks}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

على الرغم من التقريبات المختلفة التي تم إجراؤها للوصول إلى الصيغة، إلا أنها كافية لوصف غالبية المشكلات في البصريات الآلية. ويرجع هذا بشكل أساسي إلى أن طول موجة الضوء أصغر كثيرًا من أبعاد أي عقبات تواجهها. الحلول التحليلية غير ممكنة لمعظم التكوينات، ولكن معادلة حيود فرينل ومعادلة حيود فراونهوفر ، وهما تقريبات لصيغة كيرشوف للحقل القريب والحقل البعيد ، يمكن تطبيقها على مجموعة واسعة جدًا من الأنظمة البصرية.

أحد الافتراضات المهمة التي تم وضعها للوصول إلى صيغة حيود كيرشوف هو أن r و s أكبر بكثير من λ. يمكن إجراء تقريب آخر، والذي يبسط المعادلة بشكل كبير: هذا هو أن المسافات P ₀ Q و QP أكبر بكثير من أبعاد الفتحة. هذا يسمح للمرء بإجراء تقريبين آخرين:

• يتم استبدال cos( n, r ) − cos( n, s ) بـ 2cos β، حيث β هي الزاوية بين P ₀ P والعمودي على الفتحة. يتم استبدال العامل 1/ rs بـ 1/ r ' s ' ، حيث r ' و s ' هما المسافة من P ₀ و P إلى الأصل، والذي يقع في الفتحة. تصبح السعة المركبة بعد ذلك:$${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int _{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$
• افترض أن الفتحة تقع في المستوى xy ، وأن إحداثيات P ₀ و P و Q (نقطة عامة في الفتحة) هي ( x ₀ و y ₀ و z ₀ ) و( x و y و z ) و( x ' و y ' و0) على التوالي. لدينا بعد ذلك:

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2},}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

يمكننا التعبير عن r و s على النحو التالي: $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r'^{2}}}\right]^{1/2},}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {2(xx'+yy')}{s'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$$

يمكن توسيعها كسلسلة قوى : $${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2(x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}$$ $${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right].}$$

يمكن الآن التعبير عن السعة المركبة عند P على النحو التالي حيث تتضمن f ( x ' , y ' ) جميع الحدود في التعبيرات أعلاه لـ s و r باستثناء الحد الأول في كل تعبير ويمكن كتابتها في النموذج حيث تكون c _i ثوابت. $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta }{\lambda }}{\frac {ae^{ik(r'+s')}}{r's'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$$$${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$$

إذا كان من الممكن إهمال جميع الحدود في f ( x ' , y ' ) باستثناء الحدود في x ' و y ' ، فلدينا معادلة حيود فراونهوفر . إذا كانت جيب التمام الاتجاهي لـ P ₀ Q و PQ هما $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

تكون معادلة حيود فراونهوفر حينئذ حيث C ثابت. ويمكن أيضًا كتابة ذلك في الصيغة حيث k ₀ و k هما متجها الموجة للموجات التي تنتقل من P ₀ إلى الفتحة ومن الفتحة إلى P على التوالي، و r ' هي نقطة في الفتحة. $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$$${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

إذا تم استبدال مصدر النقطة بمصدر ممتد تكون سعته المعقدة عند الفتحة معطاة بواسطة U ₀ ( r' )، فإن معادلة حيود فراونهوفر تكون: حيث a ₀ ( r' ) هي، كما في السابق، مقدار الاضطراب عند الفتحة. $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

بالإضافة إلى التقريبات التي تم إجراؤها في استنباط معادلة كيرشوف، فمن المفترض أن

• r و s أكبر بكثير من حجم الفتحة،
• يمكن إهمال الحدود من الدرجة الثانية والأعلى في التعبير f ( x ' , y ' ).

عندما لا يمكن إهمال الحدود التربيعية ولكن يمكن إهمال جميع الحدود ذات الدرجة الأعلى، تصبح المعادلة معادلة حيود فرينل . يتم استخدام تقريبات معادلة كيرشوف، والافتراضات الإضافية هي:

• r و s أكبر بكثير من حجم الفتحة،
• يمكن إهمال الحدود من الدرجة الثالثة والأعلى في التعبير f ( x ' , y ' ).

• بيكر، بي بي؛ كوبسون، إي تي (1939، 1950). النظرية الرياضية لمبدأ هويجنز . أكسفورد.
• ووان، جراهام (2000). دليل كامبريدج لصيغ الفيزياء . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 9780521575072.
• ج. جودمان (2005). مقدمة في بصريات فورييه (الطبعة الثالثة). دار روبرتس وشركاه للنشر. رقم ISBN 978-0-9747077-2-3.
• جريفثس، ديفيد جيه. (2012). مقدمة في الديناميكا الكهربائية. بيرسون للتعليم، المحدودة. رقم ISBN 978-0-321-85656-2.
• باند، يهودا ب. (2006). الضوء والمادة: الكهرومغناطيسية، والبصريات، والتحليل الطيفي، والليزر. جون وايلي وأولاده . رقم ISBN 978-0-471-89931-0.
• كينيون، إيان (2008). الضوء الرائع: مقدمة حديثة للبصريات الكلاسيكية والكمية . دار نشر جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-856646-5.
• ليرنر، ريتا ج .؛ جورج ل.، تريج (1991). موسوعة الفيزياء . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• سيبيل ب.، باركر (1993). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء. ماكجرو هيل رايرسون، المحدودة. رقم ISBN 978-0-07-051400-3.