حيود فراونهوفر

يستند اشتقاق شرط فراونهوفر هنا إلى الهندسة الموضحة في المربع الأيمن. ^{[ 8 ]} يمكن التعبير عن مسار الموجة المنعكسة r2 بدلالة _مسار موجة منعكسة آخر r1 والمسافة _b بين نقطتي الانعراج باستخدام قانون جيب التمام ؛

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

يمكن توسيع ذلك عن طريق حساب متسلسلة تايلور للتعبير حتى الدرجة الثانية بالنسبة إلى${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$، $${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

فرق الطور بين الموجات المنتشرة على طول المسارين r ₂ و r ₁ هو، حيث يمثل العدد الموجي حيث λ هو الطول الموجي للضوء، $${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

لو${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$لذا${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$إذن، يكون فرق الطور هو${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta }$يُستنتج من هذا التعبير هندسيًا أن المسارين r2 و r1 متوازيان تقريبًا. وبما أنه يمكن أن يكون هناك مستوى حيود - مستوى رصد، فإن مسار الموجة المحيدة الذي تكون زاويته مع خط مستقيم موازٍ للمحور _{البصري قريبة} من الصفر، يمكن تبسيط شرط التقريب هذا أكثر على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$حيث L هي المسافة بين مستويين على طول المحور البصري. ونظرًا لأن الموجة الساقطة على مستوى حيود هي في الواقع موجة مستوية إذا${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$حيث L هي المسافة بين مستوى الحيود ومصدر الموجة النقطية، يتحقق شرط فراونهوفر.${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$حيث L هي المسافة الأصغر من بين المسافتين، إحداهما بين مستوى الحيود ومستوى الملاحظة والأخرى بين مستوى الحيود ومصدر الموجة النقطية.

في المجال البعيد، تكون مسارات انتشار الموجات من كل نقطة على الفتحة إلى نقطة الرصد متوازية تقريبًا، وتقوم عدسة محدبة (عدسة تركيز) بتركيز الأشعة المتوازية باتجاه العدسة إلى نقطة على المستوى البؤري (يعتمد موضع نقطة التركيز على المستوى البؤري على زاوية الأشعة المتوازية بالنسبة للمحور البصري). لذا، إذا وُضعت عدسة محدبة ذات بُعد بؤري طويل بما يكفي (بحيث يمكن تجاهل الاختلافات بين اتجاهات المجال الكهربائي للموجات عند البؤرة) بعد الفتحة، فإن العدسة تُشكّل عمليًا نمط حيود فراونهوفر الخاص بالفتحة على مستواها البؤري عندما تلتقي الأشعة المتوازية عند البؤرة. ^{[ 9 ]}

يبلغ عرض الشق W. يظهر نمط حيود فراونهوفر في الصورة مع رسم بياني لشدة الضوء مقابل الزاوية θ . ^{[ 10 ]} يبلغ النمط أقصى شدة له عند θ = 0 ، وسلسلة من القمم ذات شدة متناقصة. يقع معظم الضوء المحيود بين أول نقطتي دنيا. تُعطى الزاوية α المحصورة بين هاتين النقطتين الدنيا بالعلاقة التالية: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$$

وبالتالي، كلما صغرت الفتحة، زادت الزاوية α التي تشكلها نطاقات الحيود. ويُعطى حجم النطاق المركزي عند مسافة z بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}}$$

على سبيل المثال، عندما يتم إضاءة شق بعرض 0.5  مم بضوء طول موجته 0.6  ميكرومتر، ويتم رؤيته على مسافة 1000  مم، فإن عرض الشريط المركزي في نمط الحيود هو 2.4  مم.

تمتد الأهداب إلى ما لا نهاية في اتجاه المحور y لأن الشق والإضاءة يمتدان أيضًا إلى ما لا نهاية.

إذا كانت W < λ ، فإن شدة الضوء المنعكس لا تنخفض إلى الصفر، وإذا${\displaystyle D\ll \lambda }$، الموجة المنحرفة أسطوانية الشكل.

تحليل شبه كمي لحيود الشق الأحادي

يمكننا إيجاد الزاوية التي تُحقق عندها أدنى قيمة في الضوء المنحرف بالاستدلال التالي. لنفترض أن الضوء ينحرف بزاوية θ حيث المسافة CD تساوي طول موجة الضوء الساقط. عرض الشق هو المسافة AC . يكون مُركِّب الموجة المنبعث من النقطة A، والذي ينتشر في اتجاه θ ، في طور معاكس للموجة المنبعثة من النقطة B في منتصف الشق، بحيث يكون المحصلة الكلية للمساهمة عند الزاوية θ من هاتين الموجتين صفرًا. وينطبق الأمر نفسه على النقاط أسفل A و B مباشرةً ، وهكذا. لذلك، فإن سعة الموجة الكلية المنتشرة في اتجاه θ تساوي صفرًا. لدينا:

$${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

إذن، تكون الزاوية المحصورة بين أول نقطة صغرى على جانبي المركز كما هو موضح أعلاه:

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

لا توجد حجة بسيطة كهذه تمكننا من إيجاد القيم القصوى لنمط الحيود.

حيود الشق الأحادي باستخدام مبدأ هيغنز

يمكننا اشتقاق صيغة للمجال البعيد لمصفوفة متصلة من مصادر نقطية ذات سعة منتظمة وطور متماثل. لنفترض أن المصفوفة ذات الطول a موازية للمحور y ومركزها عند نقطة الأصل كما هو موضح في الشكل على اليمين. عندئذٍ يكون المجال التفاضلي كما يلي: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

أين${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$. لكن${\displaystyle r_{1}=ry\sin \theta }$والتكامل من${\displaystyle -a/2}$ل${\displaystyle a/2}$،

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$ أين${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$.

وبدمجها نحصل على $${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

تأجير${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$حيث يكون طول المصفوفة بالراديان${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$ثم، ^{[ 12 ]}$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

يُظهر الشكل على اليمين (أو أعلاه، في صيغة الجهاز اللوحي) شكل نمط الحيود الناتج عن فتحة مستطيلة. ^{[ 13 ]} توجد قمة مركزية شبه مستطيلة، مع سلسلة من الأهداب الأفقية والرأسية. ترتبط أبعاد الشريط المركزي بأبعاد الشق بنفس العلاقة المتبعة في الشق الأحادي، بحيث يتوافق البعد الأكبر في صورة الحيود مع البعد الأصغر في الشق. كما أن تباعد الأهداب يتناسب عكسيًا مع بُعد الشق.

إذا لم يُضئ شعاع الإضاءة كامل الطول الرأسي للشق، فإن تباعد الأهداب الرأسية يتحدد بأبعاد شعاع الإضاءة. يُظهر الفحص الدقيق لنمط حيود الشق المزدوج أدناه وجود أهداب حيود أفقية دقيقة للغاية أعلى وأسفل البقعة الرئيسية، بالإضافة إلى الأهداب الأفقية الأكثر وضوحًا.

The diffraction pattern given by a circular aperture is shown in the figure on the right.^[14] This is known as the Airy diffraction pattern. It can be seen that most of the light is in the central disk. The angle subtended by this disk, known as the Airy disk, is

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$$ where W is the diameter of the aperture.

The Airy disk can be an important parameter in limiting the ability of an imaging system to resolve closely located objects.

The diffraction pattern obtained given by an aperture with a Gaussian profile, for example, a photographic slide whose transmissivity has a Gaussian variation is also a Gaussian function. The form of the function is plotted on the right (above, for a tablet), and it can be seen that, unlike the diffraction patterns produced by rectangular or circular apertures, it has no secondary rings.^[15] This technique can be used in a process called apodization—the aperture is covered by a Gaussian filter, giving a diffraction pattern with no secondary rings.

The output profile of a single mode laser beam may have a Gaussian intensity profile and the diffraction equation can be used to show that it maintains that profile however far away it propagates from the source.^[16]

In the double-slit experiment, the two slits are illuminated by a single light beam. If the width of the slits is small enough (less than the wavelength of the light), the slits diffract the light into cylindrical waves. These two cylindrical wavefronts are superimposed, and the amplitude, and therefore the intensity, at any point in the combined wavefronts depends on both the magnitude and the phase of the two wavefronts.^[17] These fringes are often known as Young's fringes.

The angular spacing of the fringes is given by $${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

The spacing of the fringes at a distance z from the slits is given by^[18]$${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$ where d is the separation of the slits.

The fringes in the picture were obtained using the yellow light from a sodium light (wavelength = 589 nm), with slits separated by 0.25 mm, and projected directly onto the image plane of a digital camera.

يمكن ملاحظة أهداب التداخل ذات الشق المزدوج عن طريق قطع شقين في قطعة من الورق المقوى، وإضاءتها بمؤشر ليزر، ومراقبة الضوء المنحرف على مسافة  متر واحد. إذا كانت المسافة بين الشقين 0.5  ملم، وكان الطول الموجي لليزر 600  نانومتر، فإن المسافة بين الأهداب التي تُرى على مسافة  متر واحد ستكون 1.2  ملم.

شرح شبه كمي لأهداب الشق المزدوج

يتم تحديد الفرق في الطور بين الموجتين من خلال الفرق في المسافة التي قطعتها الموجتان.

إذا كانت مسافة المشاهدة كبيرة مقارنةً بالمسافة بين الشقين ( المجال البعيد )، فيمكن إيجاد فرق الطور باستخدام الهندسة الموضحة في الشكل. ويُعطى فرق المسار بين موجتين تنتقلان بزاوية θ بالعلاقة التالية:$${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

عندما تكون الموجتان متوافقتين في الطور، أي عندما يكون فرق المسار بينهما مساوياً لعدد صحيح من الأطوال الموجية، تكون السعة الكلية، وبالتالي الشدة الكلية، في أقصى قيمة لها. أما عندما تكونان متعاكستين في الطور، أي عندما يكون فرق المسار بينهما مساوياً لنصف طول موجي، أو طول موجي ونصف، وهكذا، فإن الموجتين تلغيان بعضهما، وتكون الشدة الكلية صفراً. تُعرف هذه الظاهرة بالتداخل .

تظهر قمم أهداب التداخل عند زوايا $${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$ حيث λ هو الطول الموجي للضوء. تُعطى المسافة الزاوية بين الأهداب بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

عندما تكون المسافة بين الشقوق ومستوى الرؤية هي z ، فإن تباعد الأهداب يساوي zθ وهو نفسه كما هو مذكور أعلاه: $${\displaystyle w=z\lambda /d.}$$

تم تعريف الشبكة في كتاب بورن وولف على أنها "أي ترتيب يفرض على الموجة الساقطة تغيرًا دوريًا في السعة أو الطور، أو كليهما".

تقوم شبكة محززة تفصل عناصرها مسافة S بتحريك شعاع ضوئي ساقط بشكل عمودي إلى مجموعة من الأشعة، بزوايا θ _n معطاة بواسطة: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

يُعرف هذا باسم معادلة المحزز . كلما كانت المسافة بين المحززات أدق، زاد الفصل الزاوي للأشعة المنحرفة.

إذا سقط الضوء بزاوية θ ₀ ، فإن معادلة المحزز هي: $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

تحدد البنية التفصيلية للنمط المتكرر شكل الحزم المنحرفة الفردية، بالإضافة إلى شدتها النسبية، بينما تحدد المسافة بين الشبكات دائمًا زوايا الحزم المنحرفة.

تُظهر الصورة على اليمين شعاع ليزر مُنحرفًا بواسطة محزز حيود إلى شعاعين: الأول ذو معامل انكسار n = 0، والثاني ذو معامل انكسار ±1. تبلغ زوايا الشعاع الأول حوالي 20 درجة؛ وبافتراض أن طول موجة شعاع الليزر 600  نانومتر، يُمكننا استنتاج أن المسافة بين محززات الحيود تبلغ حوالي 1.8  ميكرومتر.

Semi-quantitative explanation

A simple grating consists of a series of slits in a screen. If the light travelling at an angle θ from each slit has a path difference of one wavelength with respect to the adjacent slit, all these waves will add together, so that the maximum intensity of the diffracted light is obtained when:

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

This is the same relationship that is given above.