المشتق الاتجاهي

الموسوعة الحرة

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، يقيس المشتق الاتجاهي المعدل اللحظي لتغير دالة ما على طول متجه محدد يمر بنقطة معينة. إذا ضُرب المتجه بعدد قياسي، فإن المشتق الاتجاهي المقابل يُضرب بنفس العدد القياسي.

تستخدم بعض النصوص التمهيدية عبارة "المشتقة الاتجاهية في اتجاه v " للدلالة على معدل تغير الدالة لكل وحدة مسافة في ذلك الاتجاه. ووفقًا لهذا الاصطلاح، يتم أولًا تطبيع المتجه غير الصفري v إلى متجه الوحدة.v^=v/‖v‖{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}، حيث يُشار إلى المتجه المعياري برمز القبعة (العلامة المنقوطة):^{\displaystyle \mathbf {\widehat {}} }.

يمكن التعبير عن المشتقة الاتجاهية لدالة قياسية f بالنسبة لمتجه v بأي مما يلي: ∇vو(x)=وv′(x)=دvو(x)=دو(x)(v)=∂vو(x)=∂و(x)∂v=v⋅∇و(x)=v⋅∂و(x)∂x.\begin{aligned}\nabla_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x})&=f'_{\mathbf{v}}(\mathbf{x})\\&=D_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})\\&=Df(\mathbf{x})(\mathbf{v})\\&=\partial_{\mathbf{v}}f(\mathbf{x})\\&=\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}}\\&=\mathbf{v} \cdot{\nablaf(\mathbf{x})}\\&=\mathbf{v} \cdot{\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v} ...partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}}}\\&=\mathbf{v} \cdot{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{v}}}\\&=\mathbf{v} \cdot{\partial f(\mathbf{x} {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.\\\end{aligned}}}

وبالتالي، فهو يعمم مفهوم المشتقة الجزئية ، حيث يُؤخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية ، مع ثبات جميع الإحداثيات الأخرى. في التحليل الوظيفي ، يُعرف المفهوم المماثل للدوال بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية بمشتقة جاتو .

تعريف

مخطط كفافي لـو(x،y)=x2+y2{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}، موضحًا متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدةu{\displaystyle \mathbf {u} }مُقاسًا بالمشتق الاتجاهي في اتجاهu{\displaystyle \mathbf {u} }باللون البرتقالي. متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل زيادة للدالة.

المشتق الاتجاهي لدالة قياسيةو(x)=و(x1،x2،...،xن){\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} على طول متجه v=(v1،...،vن){\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})} هي الوظيفة∇vو{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}محدد بالحد [ 1 ]∇vو(x)=ليمح→0و(x+حv)-و(x)ح=ددتو(x+تv)|ت=0.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}

يُعدّ هذا التعريف صالحًا في نطاق واسع من السياقات، على سبيل المثال، عند تعريف معيار المتجه. في الأبعاد المحدودة، لا يعتمد على اختيار المعيار، لأن جميع المعايير متكافئة. ويمتد نطاق تطبيقه ليشمل الدوال على فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة التي لا تحتوي على مقياس، والمتشعبات القابلة للتفاضل ، كما هو الحال في النسبية العامة .

للدوال القابلة للتفاضل

إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل عند x ، فإن المشتقة الاتجاهية موجودة على طول أي متجه v عند x ، ويكون لدينا

∇vو(x)=∇و(x)⋅v{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }

حيث∇{\displaystyle \nabla }يشير الجانب الأيمن إلى التدرج و⋅{\displaystyle \cdot }هو حاصل الضرب النقطي . [ 2 ]

يمكن اشتقاق ذلك باستخدام خاصية أن جميع المشتقات الاتجاهية عند نقطة ما تُشكّل مستوىً مماسًا واحدًا يُمكن تعريفه باستخدام المشتقات الجزئية. يُمكن استخدام ذلك لإيجاد صيغة لمتجه التدرج وصيغة بديلة للمشتقة الاتجاهية، والتي يُمكن إعادة كتابتها كما هو موضح أعلاه للتسهيل.

ويترتب على ذلك أيضاً تحديد مسارح(ت)=x+تv{\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {x} +t\mathbf {v} }وباستخدام تعريف المشتقة كحد على طول هذا المسار للحصول على ∇vو(x)-∇و(x)⋅v=ليمت→0و(x+تv)-و(x)ت-∇و(x)⋅v=ليمت→0و(x+تv)-و(x)-ت∇و(x)⋅vت=0،// )}{t}}-\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} \\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )-t\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} {t}}\\&=0,\end{محاذاة}}} ومن ثم∇و(x)⋅v=∇vو(x){\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}.

باستخدام اتجاه المتجه فقط

ستكون الزاوية α بين المماس A والمستوى الأفقي في أقصى حد لها إذا كان مستوى القطع يحتوي على اتجاه التدرج A.

في الفضاء الإقليدي ، يُعرّف بعض المؤلفين [ 3 ] [ 4 ] المشتقة الاتجاهية بأنها بالنسبة لمتجه غير صفري اختياري v بعد التطبيع ، وبالتالي فهي مستقلة عن مقداره وتعتمد فقط على اتجاهه. [ 5 ]

يُعرّف هذا التعريف معدل تغير الدالة f لكل وحدة مسافة تُقطع في الاتجاه المحدد بواسطة v . في هذه الحالة، يكون لدينا ∇v^و(x)=ليمح→0و(x+حv)-و(x)ح‖v‖،{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h\|v\|}},} أو في حالة كون الدالة f قابلة للتفاضل عند x ، ∇v^و(x)=∇و(x)⋅v^.{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\hat {\mathbf {v} }}.}

ملكيات

تنطبق العديد من الخصائص المألوفة للمشتقة العادية على المشتقة الاتجاهية. وتشمل هذه الخصائص، لأي دالتين f و g معرفتين في جوار النقطة p وقابلتين للتفاضل عندها :

  1. قاعدة الجمع :∇v(و+ز)=∇vو+∇vز.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}
  2. قاعدة العامل الثابت : لأي ثابت c ،∇v(جو)=ج∇vو.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}
  3. قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنتز ):∇v(وز)=ز∇vو+و∇vز.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}
  4. قاعدة السلسلة : إذا كانت الدالة g قابلة للتفاضل عند النقطة p وكانت الدالة h قابلة للتفاضل عند g ( p )، فإن∇v(ح∘ز)(ص)=ح′(ز(ص))∇vز(ص).{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}

في الهندسة التفاضلية

ليكن M متعدد شعب قابل للتفاضل و p نقطة من M. لنفترض أن f دالة معرفة في جوار p ، وقابلة للتفاضل عند p . إذا كان v متجهًا مماسًا لـ M عند p ، فإن المشتقة الاتجاهية لـ f على طول v ، والتي يُرمز لها بـ df ( v ) (انظر المشتقة الخارجية )،∇vو(ص){\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}(انظر المشتق المتغير )،لvو(ص){\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}(انظر مشتق لي )، أوvص(و){\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}(انظر فضاء المماس §  التعريف عبر الاشتقاقات )، يمكن تعريفه كما يلي. ليكن γ  : [−1, 1] → M منحنى قابلاً للتفاضل حيث γ (0) = p و γ ′(0) = v . عندئذٍ يُعرَّف المشتق الاتجاهي كما يلي: ∇vو(ص)=ددτو∘γ(τ)|τ=0.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.} يمكن إثبات هذا التعريف بشكل مستقل عن اختيار γ ، بشرط أن يتم اختيار γ بالطريقة المحددة بحيث يكون γ (0) = p و γ ′(0) = v .

مشتق الكذب

مشتق لي لحقل متجهدبليوμ(x){\displaystyle W^{\mu }(x)}على طول حقل متجهVμ(x){\displaystyle V^{\mu }(x)}يُعطى بواسطة الفرق بين مشتقين اتجاهيين (مع انعدام الالتواء): لVدبليوμ=(V⋅∇)دبليوμ-(دبليو⋅∇)Vμ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.} على وجه الخصوص، بالنسبة للحقل القياسيϕ(x){\displaystyle \phi (x)}، يختزل مشتق لي إلى المشتق الاتجاهي القياسي: لVϕ=(V⋅∇)ϕ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}

موتر ريمان

تُستخدم المشتقات الاتجاهية غالبًا في الاشتقاقات التمهيدية لموتر انحناء ريمان . لنفترض مستطيلًا منحنيًا بمتجه متناهي الصغردلتا{\displaystyle \delta }على طول أحد الحواف ودلتا′{\displaystyle \delta '}على الجانب الآخر. نقوم بتحريك متجه مصاحب.S{\displaystyle S}على امتداددلتا{\displaystyle \delta }ثمدلتا′{\displaystyle \delta '}ثم اطرح الترجمة على طولدلتا′{\displaystyle \delta '}وثمدلتا{\displaystyle \delta }بدلاً من بناء المشتقة الاتجاهية باستخدام المشتقات الجزئية، نستخدم المشتقة المتغيرة . عامل الإزاحة لـدلتا{\displaystyle \delta }وبالتالي 1+∑νدلتاνدν=1+دلتا⋅د،{\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,} ولـدلتا′{\displaystyle \delta '}، 1+∑μدلتا′μدμ=1+دلتا′⋅د.{\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.} الفرق بين المسارين هو (1+دلتا′⋅د)(1+دلتا⋅د)Sρ-(1+دلتا⋅د)(1+دلتا′⋅د)Sρ=∑μ،νدلتا′μدلتاν[دμ،دν]Sρ.{\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.} يمكن القول [ 6 ] أن عدم تبادلية المشتقات المتغيرة يقيس انحناء المتشعب: [دμ،دν]Sρ=±∑σRσρμνSσ،{\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },} أينR{\displaystyle R}هو موتر انحناء ريمان وتعتمد الإشارة على اصطلاح الإشارة الخاص بالمؤلف.

في نظرية الزمر

الترجمات

في جبر بوانكاريه ، يمكننا تعريف عامل إزاحة متناهي الصغر P على النحو التالي: P=أنا∇.{\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .} ( يضمن i أن P هو عامل ذاتي الترافق ) بالنسبة للإزاحة المحدودة λ ، فإن تمثيل فضاء هيلبرت الوحدوي للانتقالات هو [ 7 ]يو(λ)=خبرة⁡(-أناλ⋅P).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).} باستخدام التعريف أعلاه لمؤثر الإزاحة المتناهي الصغر، نرى أن مؤثر الإزاحة المحدود هو مشتق اتجاهي مرفوع إلى أس: يو(λ)=خبرة⁡(λ⋅∇).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} هذا عامل إزاحة بمعنى أنه يعمل على الدوال متعددة المتغيرات f ( x ) كما يلي: يو(λ)و(x)=خبرة⁡(λ⋅∇)و(x)=و(x+λ).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}

إثبات المعادلة الأخيرة

في حساب التفاضل والتكامل القياسي لمتغير واحد، يتم تعريف مشتقة الدالة الملساء f ( x ) بواسطة (لقيم ε الصغيرة ) دودx=و(x+ε)-و(x)ε.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.} يمكن إعادة ترتيب هذا لإيجاد f ( x + ε ): و(x+ε)=و(x)+εدودx=(1+εددx)و(x).{\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).} ويترتب على ذلك أن[1+ε(د/دx)]{\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}هو عامل إزاحة. ويمكن تعميم ذلك فورًا [ 8 ] ليشمل الدوال متعددة المتغيرات f ( x ). و(x+ε)=(1+ε⋅∇)و(x).{\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).} هناε⋅∇{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }هي المشتقة الاتجاهية على طول الإزاحة المتناهية الصغر ε . لقد وجدنا الصيغة المتناهية الصغر لمؤثر الإزاحة: يو(ε)=1+ε⋅∇.{\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .} من الواضح أن قانون ضرب الزمر [ 9 ] U ( g ) U ( f ) = U ( gf ) يأخذ الشكل التالي: يو(أ)يو(ب)=يو(أ+ب).{\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).} لنفترض أننا نأخذ الإزاحة المحدودة λ ونقسمها إلى N جزءًا (حيث N → ∞ مضمنة في كل مكان)، بحيث يكون λ / N = ε . بعبارة أخرى، λ=شمالε.{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.} ثم بتطبيق U ( ε ) N مرة، يمكننا إنشاء U ( λ ): [يو(ε)]شمال=يو(شمالε)=يو(λ).{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).} يمكننا الآن استخدام التعبير أعلاه لـ U( ε ): [يو(ε)]شمال=[1+ε⋅∇]شمال=[1+λ⋅∇شمال]شمال.{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.} باستخدام الهوية [ 10 ]خبرة⁡(x)=[1+xشمال]شمال،{\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},} لدينا يو(λ)=خبرة⁡(λ⋅∇).{\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).} وبما أن U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε )، فإننا نحصل على [يو(ε)]شمالو(x)=و(x+شمالε)=و(x+λ)=يو(λ)و(x)=خبرة⁡(λ⋅∇)و(x)،{\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),} QED

كملاحظة فنية، لا يمكن تطبيق هذا الإجراء إلا لأن زمرة الإزاحة تُشكّل زمرةً جزئيةً أبيليةً ( جبر كارتان الجزئي ) في جبر بوانكاريه. وبالتحديد، لا ينبغي التسليم بقانون ضرب الزمر U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ). كما نلاحظ أن بوانكاريه زمرة لي متصلة ، وهي زمرة تحويلات T ( ξ ) تُوصف بمجموعة متصلة من المعاملات الحقيقية.ξأ{\displaystyle \xi ^{a}}يأخذ قانون ضرب المجموعات الشكل التالي: تي(ξ¯)تي(ξ)=تي(و(ξ¯،ξ)).{\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).} أخذξأ=0{\displaystyle \xi ^{a}=0}باعتبارها إحداثيات الهوية، يجب أن يكون لدينا وأ(ξ،0)=وأ(0،ξ)=ξأ.{\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.} تُمثَّل المؤثرات الفعلية على فضاء هيلبرت بمؤثرات وحدوية U ( T ( ξ )). في الترميز أعلاه، حذفنا T ؛ ونكتب الآن U ( λ ) على شكل U ( P ( λ )). بالنسبة لجوار صغير حول المحايد، يكون تمثيل متسلسلة القوىيو(تي(ξ))=1+أنا∑أξأتأ+12∑ب،جξبξجتبج+⋯{\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots } جيد جدًا. لنفترض أن U(T(ξ)) تشكل تمثيلًا غير إسقاطي، أي يو(تي(ξ¯))يو(تي(ξ))=يو(تي(و(ξ¯،ξ))).{\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).} توسيع الدالة f مرفوعة للأس الثاني هو وأ(ξ¯،ξ)=ξأ+ξ¯أ+∑ب،جوأبجξ¯بξج.{\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.} بعد توسيع معادلة ضرب التمثيل ومساواة المعاملات، نحصل على الشرط غير التافه تبج=-تبتج-أنا∑أوأبجتأ.{\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.} منذتأب{\displaystyle t_{ab}}بما أن النظام متناظر في مؤشراته بحكم التعريف، فلدينا مبدل جبر لي القياسي : [تب،تج]=أنا∑أ(-وأبج+وأجب)تأ=أنا∑أجأبجتأ،{\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},} حيث C هو ثابت البنية . مولدات عمليات الإزاحة هي عوامل مشتقة جزئية، والتي تتبادل: [∂∂xب،∂∂xج]=0.{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.} هذا يعني أن ثوابت البنية تتلاشى، وبالتالي فإن المعاملات التربيعية في مفكوك f تتلاشى أيضًا. وهذا يعني أن f دالة جمعية ببساطة. وأبيليةأ(ξ¯،ξ)=ξأ+ξ¯أ،{\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},} وبالتالي بالنسبة للمجموعات الأبيلية، يو(تي(ξ¯))يو(تي(ξ))=يو(تي(ξ¯+ξ)).{\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).} QED

التناوب

يحتوي عامل الدوران أيضًا على مشتق اتجاهي. عامل الدوران لزاوية θ ، أي بمقدار θ = | θ | حول محور موازٍ لـθ^=θ/θ{\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }يكون يو(R(θ))=خبرة⁡(-أناθ⋅ل).{\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).} هنا L هو عامل المتجه الذي يولد SO(3) : ل=(0000010-10)أنا+(00-1000100)ج+(010-100000)ك.{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .} يمكن إثبات هندسياً أن الدوران اليميني المتناهي الصغر يغير متجه الموضع x بمقدار x→x-دلتاθ×x.{\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .} لذا نتوقع في ظل دوران متناهي الصغر ما يلي: يو(R(دلتاθ))و(x)=و(x-دلتاθ×x)=و(x)-(دلتاθ×x)⋅∇و.{\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.} ويترتب على ذلك أن يو(R(دلتاθ))=1-(دلتاθ×x)⋅∇.{\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .} باتباع نفس إجراء الأس كما هو مذكور أعلاه، نصل إلى عامل الدوران في أساس الموضع، وهو مشتق اتجاهي مرفوع للأس: [ 11 ]يو(R(θ))=خبرة⁡(-(θ×x)⋅∇).{\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}

المشتق الطبيعي

المشتقة العمودية هي مشتقة اتجاهية تُؤخذ في الاتجاه العمودي (أي المتعامد ) على سطح ما في الفضاء، أو بشكل أعم على طول حقل متجه عمودي متعامد على سطح فائق ما . انظر على سبيل المثال شرط نيومان الحدودي . إذا رُمز للاتجاه العمودي بـن{\displaystyle \mathbf {n} }عندئذٍ، يُشار أحيانًا إلى المشتقة الطبيعية للدالة f بالرمز التالي:∂و∂ن{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}وبصيغ أخرى، ∂و∂ن=∇و(x)⋅ن=∇نو(x)=∂و∂x⋅ن=دو(x)[ن].{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}

في ميكانيكا الأوساط المتصلة للمواد الصلبة

تتطلب العديد من النتائج المهمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة حساب مشتقات المتجهات بالنسبة للمتجهات، ومشتقات الموترات بالنسبة للمتجهات والموترات. [ 12 ] يوفر المشتق الاتجاهي طريقة منهجية لإيجاد هذه المشتقات.

ترد أدناه تعريفات المشتقات الاتجاهية لمختلف الحالات. ويُفترض أن الدوال سلسة بدرجة كافية تسمح بحساب المشتقات.

مشتقات الدوال العددية للمتجهات

لتكن f (v) دالة حقيقية القيمة للمتجه v. عندئذٍ، مشتقة f (v) بالنسبة إلى v (أو عند v) هي المتجه المعرف من خلال ضربه الداخلي مع أي متجه u.

∂و∂v⋅u=دو(v)[u]=[ددα و(v+α u)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}

لجميع المتجهات u. ينتج عن الضرب القياسي أعلاه كمية قياسية، وإذا كان u متجه وحدة، فإنه يعطي المشتقة الاتجاهية لـ f عند v، في اتجاه u.

ملكيات:

  1. لوو(v)=و1(v)+و2(v){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}ثم∂و∂v⋅u=(∂و1∂v+∂و2∂v)⋅u{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
  2. لوو(v)=و1(v) و2(v){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}ثم∂و∂v⋅u=(∂و1∂v⋅u) و2(v)+و1(v) (∂و2∂v⋅u){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
  3. لوو(v)=و1(و2(v)){\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}ثم∂و∂v⋅u=∂و1∂و2 ∂و2∂v⋅u{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }

مشتقات الدوال المتجهة ذات القيم المتجهة للمتجهات

لتكن f(v) دالة متجهة للمتجه v. عندئذٍ، تكون مشتقة f(v) بالنسبة إلى v (أو عند v) هي موتر من الرتبة الثانية مُعرَّف من خلال ضربه الداخلي مع أي متجه u.

∂و∂v⋅u=دو(v)[u]=[ددα و(v+α u)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}

لجميع المتجهات u. ينتج عن الضرب النقطي أعلاه متجه، وإذا كان u متجه وحدة، فإنه يعطي المشتقة الاتجاهية لـ f عند v، في الاتجاه u.

ملكيات:

  1. لوو(v)=و1(v)+و2(v){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}ثم∂و∂v⋅u=(∂و1∂v+∂و2∂v)⋅u{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
  2. لوو(v)=و1(v)×و2(v){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}ثم∂و∂v⋅u=(∂و1∂v⋅u)×و2(v)+و1(v)×(∂و2∂v⋅u){\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
  3. لوو(v)=و1(و2(v)){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}ثم∂و∂v⋅u=∂و1∂و2⋅(∂و2∂v⋅u){\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}

مشتقات الدوال العددية لموترات الرتبة الثانية

يتركو(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}لتكن دالة حقيقية القيمة لموتر من الرتبة الثانيةS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}ثم مشتقةو(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}بالنسبة إلىS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}(أو فيS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}) في الاتجاهتي{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}الموتر من الرتبة الثانية المعرّف على النحو التالي ∂و∂S:تي=دو(S)[تي]=[ددα و(S+α تي)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}} لجميع الموترات من الرتبة الثانيةتي{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}.

ملكيات:

  1. لوو(S)=و1(S)+و2(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}ثم∂و∂S:تي=(∂و1∂S+∂و2∂S):تي{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
  2. لوو(S)=و1(S) و2(S){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}ثم∂و∂S:تي=(∂و1∂S:تي) و2(S)+و1(S) (∂و2∂S:تي){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  3. لوو(S)=و1(و2(S)){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}ثم∂و∂S:تي=∂و1∂و2 (∂و2∂S:تي){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}

مشتقات الدوال ذات القيم الموترية للموترات من الرتبة الثانية

يتركF(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}لتكن دالة من الدرجة الثانية ذات قيم موترية لموتر من الدرجة الثانيةS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}ثم مشتقةF(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}بالنسبة إلىS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}(أو فيS{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}) في الاتجاهتي{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}الموتر من الرتبة الرابعة المعرّف على النحو التالي ∂F∂S:تي=دF(S)[تي]=[ددα F(S+α تي)]α=0{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}} لجميع الموترات من الرتبة الثانيةتي{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}.

ملكيات:

  1. لوF(S)=F1(S)+F2(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}ثم∂F∂S:تي=(∂F1∂S+∂F2∂S):تي{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
  2. لوF(S)=F1(S)⋅F2(S){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}ثم∂F∂S:تي=(∂F1∂S:تي)⋅F2(S)+F1(S)⋅(∂F2∂S:تي){\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  3. لوF(S)=F1(F2(S)){\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}ثم∂F∂S:تي=∂F1∂F2:(∂F2∂S:تي){\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
  4. لوو(S)=و1(F2(S)){\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}ثم∂و∂S:تي=∂و1∂F2:(∂F2∂S:تي){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ر. فريدي؛ م. ر. شبيغل (2010). حساب التفاضل والتكامل المتقدم (  الطبعة الثالثة). سلسلة شوم للمخططات. ISBN 978-0-07-162366-7.
  2. ↑ إذا كان حاصل الضرب النقطي غير معرف، فإن التدرج يكون غير معرف أيضًا؛ ومع ذلك، بالنسبة للدالة f القابلة للتفاضل ، فإن المشتق الاتجاهي لا يزال معرفًا، وتوجد علاقة مماثلة مع المشتق الخارجي.
  3. ↑ توماس، جورج ب. الابن؛ وفيني، روس ل. (1979) حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ، شركة أديسون ويسلي للنشر، الطبعة الخامسة، ص 593.
  4. ↑ ستيوارت، جيمس (2015). "14.6 المشتقات الاتجاهية ومتجه التدرج". حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة الثامنة). سينجايج ليرنينج. ISBN  978-1-285-74062-1.
  5. ↑ يفترض هذا عادةً وجود فضاء إقليدي - على سبيل المثال، لا تحتوي دالة لعدة متغيرات عادةً على تعريف لمقدار المتجه، وبالتالي لمتجه الوحدة.
  6. ↑ زي، أ. (2013). جاذبية أينشتاين باختصار . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 341. ISBN  9780691145587.
  7. ↑ واينبرغ، ستيفن (1999). نظرية الحقول الكمومية (طبعة مُعاد طباعتها مع تصحيحات) . كامبريدج [ua]: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  9780521550017.
  8. ↑ زي، أ. (2013). جاذبية أينشتاين باختصار . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691145587.
  9. ↑ كاهيل، كيفن كاهيل (2013). الرياضيات الفيزيائية (طبعة مُعاد طباعتها). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-1107005211.
  10. ↑ لارسون، رون؛ إدواردز، بروس هـ. (2010). حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ( الطبعة التاسعة). بلمونت: بروكس/كول. ISBN  9780547209982.
  11. ↑ شانكار، ر. (1994). مبادئ ميكانيكا الكم ( الطبعة الثانية). نيويورك: كلوير أكاديميك / بلينوم. ص 318. ISBN   9780306447907.
  12. ↑ JE Marsden و TJR Hughes، 2000، الأسس الرياضية للمرونة ، دوفر.

مراجع

  • هيلدبراند، إف بي (1976). حساب التفاضل والتكامل المتقدم للتطبيقات . برنتيس هول. رقم ISBN 0-13-011189-9.
  • ك. ف. رايلي؛ م. ب. هوبسون؛ س. ج. بينس (2010). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86153-3.
  • شابيرو، أ. (1990). "حول مفاهيم التفاضل الاتجاهي". مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية . 66 (3): 477-487 . doi : 10.1007/BF00940933 . S2CID 120253580 . 

شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالمشتقات الاتجاهية على ويكيميديا ​​كومنز