رمز كرونكر

في نظرية الأعداد ، يُكتب رمز كرونكر على النحو التالي:${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$أو${\displaystyle (a|n)}$، هو تعميم لرمز جاكوبي ليشمل جميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$. تم تقديمه بواسطة ليوبولد كرونيكر ( 1885 ، الصفحة 770) . 

يترك${\displaystyle n}$ليكن عددًا صحيحًا غير صفري، مع تحليله إلى عوامل أولية

${\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

أين${\displaystyle u}$هي وحدة (أي،${\displaystyle u=\pm 1}$), و${\displaystyle p_{i}}$هي أعداد أولية . ليكن${\displaystyle a}$ليكن عددًا صحيحًا. رمز كرونكر${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

للفردي​${\displaystyle p_{i}}$الرقم${\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$هو ببساطة رمز ليجندر المعتاد . وهذا يترك الحالة عندما${\displaystyle p_{i}=2}$نُعرّف${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}$بواسطة

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

وبما أنها توسع رمز جاكوبي، فإن الكمية${\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}$هو ببساطة${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle u=1}$. متى${\displaystyle u=-1}$، ونحن نحددها من خلال

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}$

وأخيراً، وضعنا

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

تكفي هذه التوسعات لتعريف رمز كرونكر لجميع القيم الصحيحة${\displaystyle a,n}$.

يُعرّف بعض المؤلفين رمز كرونكر لقيم أكثر تقييدًا فقط؛ على سبيل المثال،${\displaystyle a}$متطابق مع${\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}$و${\displaystyle n>0}$.

فيما يلي جدول بقيم رمز كرونكر${\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}$حيث 1 ≤ n ، k ≤ 30.

يشترك رمز كرونكر في العديد من الخصائص الأساسية لرمز جاكوبي، وذلك في ظل قيود معينة:

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}$لو${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$، خلاف ذلك${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$إلا إذا${\displaystyle n=-1}$، أحد${\displaystyle a,b}$أحدهما يساوي صفرًا والآخر سالبًا.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$إلا إذا${\displaystyle a=-1}$، أحد${\displaystyle m,n}$أحدهما يساوي صفرًا والآخر له جزء فردي ( التعريف أدناه ) متطابق مع${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$.
• ل${\displaystyle n>0}$لدينا${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$حينما${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$وإذا كان ذلك بالإضافة إلى${\displaystyle a,b}$إذا كانت لهما نفس الإشارة، فإن الأمر نفسه ينطبق على${\displaystyle n<0}$.
• ل${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$،${\displaystyle a\neq 0}$لدينا${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$حينما${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$

من ناحية أخرى، لا يرتبط رمز كرونكر بالبقايا التربيعية بنفس ارتباط رمز جاكوبي. على وجه الخصوص، رمز كرونكر${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$ل${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$يمكن أن تأخذ قيمًا بشكل مستقل عما إذا كان${\displaystyle a}$هو باقي تربيعي أو باقي غير متبقٍ modulo${\displaystyle n}$.

لو${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$و${\displaystyle a\neq 0}$الخريطة${\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$هي خاصية ديريشليه حقيقية للمعامل${\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$وعلى العكس من ذلك، يمكن كتابة كل حرف ديريشليه حقيقي بهذا الشكل باستخدام${\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}$(ل${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}$إنه${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}$).

على وجه الخصوص، حروف ديريشليه الحقيقية الأولية${\displaystyle \chi }$وهي في تناظر واحد لواحد مع الحقول التربيعية${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$، أين${\displaystyle m}$هو عدد صحيح غير صفري خالٍ من المربعات (يمكننا تضمين الحالة${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }$لتمثيل الخاصية الرئيسية، على الرغم من أنها ليست حقلاً تربيعياً). الخاصية${\displaystyle \chi }$يمكن استعادته من الميدان كرمز أرتين${\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}$أي، بالنسبة لعدد أولي موجب${\displaystyle p}$، قيمة${\displaystyle \chi (p)}$يعتمد ذلك على سلوك النموذج المثالي${\displaystyle (p)}$في حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle O_{F}}$:

${\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}}$

ثم${\displaystyle \chi (n)}$يساوي رمز كرونكر${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$، أين

${\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

هو التمييز بين${\displaystyle F}$قائد الأوركسترا${\displaystyle \chi }$يكون${\displaystyle |D|}$.

وبالمثل، إذا${\displaystyle n>0}$الخريطة${\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$هي خاصية ديريشليه حقيقية للمعامل${\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$لكن لا يمكن تمثيل جميع الشخصيات الحقيقية بهذه الطريقة، على سبيل المثال الشخصية${\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}$لا يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$لأي${\displaystyle n}$وبحسب قانون التبادل التربيعي، لدينا${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}$شخصية${\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}$يمكن تمثيلها على النحو التالي${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$إذا وفقط إذا كان الجزء الفردي${\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}$وفي هذه الحالة يمكننا أن نأخذ${\displaystyle n=|a|}$.

• رمز هيلبرت

• كرونيكر، إل. (1885)، “Zur Theorie der elliptischen Funktionen” ، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 761– 784
• مونتغمري، هيو إل ؛ فوغان، روبرت سي. (2007). نظرية الأعداد الضربية. الجزء الأول: النظرية الكلاسيكية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  97. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 . 

تتضمن هذه المقالة مواد من رمز كرونكر على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .