التبادل التربيعي

لنفترض متعددة الحدود${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$وقيمها لـ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$يتم إعطاء التحليلات الأولية لهذه القيم على النحو التالي:

ن	⁠${\displaystyle f(n)}$⁠			ن	⁠${\displaystyle f(n)}$⁠			ن	⁠${\displaystyle f(n)}$⁠
1	-4	-2 2		16	251	251		31	956	2 2 ⋅ 239
2	-1	-1		17	284	2 2 ⋅ 71		32	1019	1019
3	4	2 2		18	319	11 ⋅ 29		33	1084	2 2 ⋅ 271
4	11	11		19	356	2 2 ⋅ 89		34	1151	1151
5	20	2 2 ⋅ 5		20	395	5 ⋅ 79		35	1220	2 2 ⋅ 5 ⋅ 61
6	31	31		21	436	2 2 ⋅ 109		36	1291	1291
7	44	2 2 ⋅ 11		22	479	479		37	1364	2 2 ⋅ 11 ⋅ 31
8	59	59		23	524	2 2 ⋅ 131		38	1439	1439
9	76	2 2 ⋅ 19		24	571	571		39	1516	2 2 ⋅ 379
10	95	5 ⋅ 19		25	620	2 2 ⋅ 5 ⋅ 31		40	1595	5 ⋅ 11 ⋅ 29
11	116	2 2 ⋅ 29		26	671	11 ⋅ 61		41	1676	2 2 ⋅ 419
12	139	139		27	724	2 2 ⋅ 181		42	1759	1759
13	164	2 2 ⋅ 41		28	779	19 ⋅ 41		43	1844	2 2 ⋅ 461
14	191	191		29	836	2 2 ⋅ 11 ⋅ 19		44	1931	1931
15	220	2 2 ⋅ 5 ⋅ 11		30	895	5 ⋅ 179		45	2020	2 2 ⋅ 5 ⋅ 101

العوامل الرئيسية${\displaystyle p}$الفاصل${\displaystyle f(n)}$نكون${\displaystyle p=2,5}$وكل عدد أولي يكون رقمه الأخير هو${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle 9}$لا توجد أعداد أولية تنتهي بـ${\displaystyle 3}$أو${\displaystyle 7}$لن تظهر أبداً. الآن،${\displaystyle p}$يُعد عاملاً رئيسياً في بعض${\displaystyle n^{2}-5}$حينما${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\pmod {p}}}$أي كلما${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\pmod {p}},}$أي عندما يكون 5 هو باقي تربيعي modulo${\displaystyle p}$يحدث هذا من أجل${\displaystyle p=2,5}$وتلك الأعداد الأولية مع${\displaystyle p\equiv 1,4{\pmod {5}},}$والأرقام الأخيرة${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$و${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$هي بالضبط البقايا التربيعية modulo${\displaystyle 5}$لذلك، باستثناء${\displaystyle p=2,5}$لدينا ذلك${\displaystyle 5}$هو الباقي التربيعي modulo${\displaystyle p}$إذا${\displaystyle p}$هو الباقي التربيعي modulo${\displaystyle 5}$.

يُعطي قانون التبادل التربيعي توصيفًا مشابهًا للقواسم الأولية لـ${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$لأي عدد أولي q ، مما يؤدي إلى توصيف لأي عدد صحيح${\displaystyle q}$.

ليكن p عددًا أوليًا فرديًا. يكون العدد بتردد p باقيًا تربيعيًا إذا كان متطابقًا مع مربع (mod p )؛ وإلا فهو ليس باقيًا تربيعيًا. (يمكن حذف كلمة "تربيعي" إذا كان ذلك واضحًا من السياق). هنا نستثني الصفر كحالة خاصة. ونتيجةً لكون المجموعة الضربية لحقل منتهٍ من الرتبة p دورية من الرتبة p-1 ، فإن العبارات التالية صحيحة:

• يوجد عدد متساوٍ من البقايا التربيعية وغير البقايا؛ و
• إن حاصل ضرب اثنين من البقايا التربيعية هو بقية، وحاصل ضرب بقية وباقي غير متبقي هو باقي غير متبقي، وحاصل ضرب اثنين من البقايا غير المتبقية هو بقية.

توضيحًا للأمر، لا تنطبق هذه العبارات إذا لم يكن المعامل أوليًا. على سبيل المثال، لا يوجد سوى ثلاثة بواقي تربيعية (1 و4 و9) في المجموعة الضربية بتردد 15. علاوة على ذلك، على الرغم من أن 7 و8 ليسا بواقي تربيعية، فإن حاصل ضربهما 7 × 8 = 11 هو أيضًا ليس بواقي تربيعية، على عكس حالة العدد الأولي.

تظهر البقايا التربيعية كمدخلات في الجدول التالي، مفهرسة برقم الصف كمعيار ورقم العمود كجذر:

هذا الجدول كامل للأعداد الأولية الفردية الأقل من 50. للتحقق مما إذا كان العدد m باقيًا تربيعيًا modulo أحد هذه الأعداد الأولية p ، أوجد a ≡ m (mod p ) و 0 ≤ a < p . إذا كان a في الصف p ، فإن m هو باقي (mod p )؛ وإذا لم يكن a في الصف p من الجدول، فإن m ليس باقيًا (mod p ).

ينص قانون التبادل التربيعي على أن بعض الأنماط الموجودة في الجدول صحيحة بشكل عام.

هناك طريقة أخرى لتنظيم البيانات وهي تحديد الأعداد الأولية التي تمثل بواقي تربيعية بترددات مختلفة، كما هو موضح في الجدول التالي. تكون القيمة في الصف p والعمود q هي R إذا كان q بواقيًا تربيعيًا (mod p )؛ أما إذا لم يكن بواقيًا، فتكون القيمة N.

إذا كان الصف أو العمود أو كلاهما ≡ 1 (mod 4) فإن الإدخال يكون أزرق أو أخضر؛ إذا كان كل من الصف والعمود ≡ 3 (mod 4) فإنه يكون أصفر أو برتقالي.

المدخلات الزرقاء والخضراء متناظرة حول القطر: المدخل الخاص بالصف p ، العمود q هو R (على التوالي N ) إذا وفقط إذا كان المدخل في الصف q ، العمود p ، هو R (على التوالي N ).

أما الأصفر والبرتقالي، من ناحية أخرى، فهما متناظران عكسيًا: المدخل للصف p ، العمود q هو R (على التوالي N ) إذا وفقط إذا كان المدخل في الصف q ، العمود p ، هو N (على التوالي R ).

ينص قانون المعاملة بالمثل على أن هذه الأنماط تنطبق على جميع قيم p و q .

ترتيب الصفوف والأعمدة بتردد 4 يجعل النمط أكثر وضوحًا.

من البديهي أن العدد 1 هو باقي قسمة تربيعية لجميع الأعداد الأولية. يصبح السؤال أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة للعدد -1. بفحص الجدول، نجد -1 في الصفوف 5، 13، 17، 29، 37، و41، ولكنه غير موجود في الصفوف 3، 7، 11، 19، 23، 31، 43، أو 47. جميع الأعداد الأولية في المجموعة الأولى متطابقة مع 1 بتردد 4، بينما المجموعة الأخيرة متطابقة مع 3 بتردد 4.

الملحق الأول لقانون التبادل التربيعي. التطابق${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$تكون المسألة قابلة للحل إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$يتطابق مع 1 بتردد 4.

بفحص الجدول، نجد العدد 2 في الصفوف 7، 17، 23، 31، 41، و47، ولكنه غير موجود في الصفوف 3، 5، 11، 13، 19، 29، 37، أو 43. الأعداد الأولية الأولى جميعها ≡ ±1 (mod 8)، والأعداد الأولية الأخيرة جميعها ≡ ±3 (mod 8). وهذا يؤدي إلى

الملحق الثاني لقانون التبادل التربيعي. التطابق${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\pmod {p}}}$تكون المسألة قابلة للحل إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$متطابق مع ±1 بتردد 8.

-2 موجود في الصفوف 3، 11، 17، 19، 41، 43، ولكنه غير موجود في الصفوف 5، 7، 13، 23، 29، 31، 37، أو 47. القيم الأولى هي ≡ 1 أو ≡ 3 (mod 8)، والقيم الأخيرة هي ≡ 5، 7 (mod 8).

يوجد الرقم 3 في الصفوف 11 و13 و23 و37 و47، ولكنه غير موجود في الصفوف 5 و7 و17 و19 و29 و31 و41 و43. القيم الأولى ≡ ±1 (mod 12) والقيم الأخيرة جميعها ≡ ±5 (mod 12).

-3 موجود في الصفوف 7 و13 و19 و31 و37 و43 ولكنه غير موجود في الصفوف 5 و11 و17 و23 و29 و41 و47. القيم الأولى ≡ 1 (mod 3) والقيم الأخيرة ≡ 2 (mod 3).

بما أن الباقي الوحيد (mod 3) هو 1، فإننا نرى أن −3 هو باقي تربيعي modulo كل عدد أولي وهو باقي modulo 3.

يوجد الرقم 5 في الصفوف 11 و19 و29 و31 و41 ولكنه غير موجود في الصفوف 3 و7 و13 و17 و23 و37 و43 و47. القيم الأولى ≡ ±1 (mod 5) والقيم الأخيرة ≡ ±2 (mod 5).

بما أن البقايا الوحيدة (mod 5) هي ±1، فإننا نرى أن 5 هو باقي تربيعي modulo كل عدد أولي وهو باقي modulo 5.

العدد -5 موجود في الصفوف 3، 7، 23، 29، 41، 43، و47 ولكنه غير موجود في الصفوف 11، 13، 17، 19، 31، أو 37. الصفوف الأولى هي ≡ 1، 3، 7، 9 (mod 20) والصفوف الأخيرة هي ≡ 11، 13، 17، 19 (mod 20).

تبقى الملاحظات المتعلقة بالعددين -3 و5 صحيحة: -7 هو باقي قسمة على p إذا وفقط إذا كان p باقي قسمة على 7، و-11 هو باقي قسمة على p إذا وفقط إذا كان p باقي قسمة على 11، و13 هو باقي قسمة (mod p ) إذا وفقط إذا كان p باقي قسمة على 13، وهكذا. أما القواعد التي تبدو أكثر تعقيدًا للخصائص التربيعية للعددين 3 و-5، والتي تعتمد على التطابقات modulo 12 و20 على التوالي، فهي ببساطة نفس قواعد -3 و5 مع الأخذ في الاعتبار الملحق الأول.

مثال: لكي يكون -5 باقيًا (mod p )، يجب أن يكون كل من 5 و-1 باقيين (mod p )، أو يجب ألا يكونا باقيين: أي، p ≡ ±1 (mod 5) و p ≡ 1 (mod 4)، أو p ≡ ±2 (mod 5) و p ≡ 3 (mod 4). باستخدام نظرية الباقي الصينية، فإن هذه الحالات تُكافئ p ≡ 1، 9 (mod 20)، أو p ≡ 3، 7 (mod 20).

إن تعميم القواعد الخاصة بـ -3 و 5 هو بيان جاوس للتبادلية التربيعية.

قيمة رمز ليجندر لـ${\displaystyle -1}$(المستخدم في البرهان أعلاه) يتبع مباشرة من معيار أويلر :

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$

وفقًا لمعيار أويلر، لكن كلا جانبي هذا التطابق عبارة عن أعداد من الشكل${\displaystyle \pm 1}$لذلك يجب أن يكونوا متساوين.

سواء${\displaystyle 2}$يمكن استنتاج أن الباقي هو معادلة تربيعية إذا عرفنا عدد حلول المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$مع${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$والتي يمكن حلها بالطرق القياسية. أي أن جميع حلولها حيث${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$يمكن تجميعها في مجموعات ثمانية على شكل${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$وما تبقى هو أربعة حلول على الشكل${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$وربما أربعة حلول إضافية حيث${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$و${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$والتي توجد تحديداً إذا${\displaystyle 2}$هو باقي تربيعي. أي،${\displaystyle 2}$تكون المعادلة باقية تربيعية إذا كان عدد حلول هذه المعادلة قابلاً للقسمة على${\displaystyle 8}$ويمكن حل هذه المعادلة بنفس الطريقة المتبعة في حلها على الأعداد النسبية: استبدل${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$حيث نطالب بأن${\displaystyle a\neq 0}$(مع استبعاد الحلين)${\displaystyle (1,\pm 1)}$ثم تتحول المعادلة الأصلية إلى

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

هنا${\displaystyle t}$يمكن أن تأخذ أي قيمة لا تجعل المقام صفرًا - والتي توجد لها${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$الاحتمالات (أي${\displaystyle 2}$لو${\displaystyle -1}$هو بقايا،${\displaystyle 0}$وإلا) - ولا يجعل ذلك${\displaystyle a}$صفر، مما يستبعد خياراً آخر،${\displaystyle t=-1}$وبالتالي هناك

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

إمكانيات لـ${\displaystyle t}$وبالتالي، بالإضافة إلى الحلين المستبعدين، يكون هناك إجمالاً${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$حلول المعادلة الأصلية. لذلك،${\displaystyle 2}$هو باقي القسمة${\displaystyle p}$إذا وفقط إذا${\displaystyle 8}$يقسم${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$هذه إعادة صياغة للحالة المذكورة أعلاه.

أثبت فيرما ^{[ 5 ]} (أو ادعى أنه أثبت) ^{[ 6 ]} عددًا من النظريات حول التعبير عن عدد أولي بصيغة تربيعية :

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ أو }}\quad p\equiv 1{\pmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ أو }}\quad p\equiv 1,3{\pmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ أو }}\quad p\equiv 1{\pmod {3}}\\\end{aligned}}}$

لم يذكر قانون التبادل التربيعي، على الرغم من أن الحالات −1 و ±2 و ±3 هي استنتاجات سهلة من هذه وغيرها من نظرياته.

وادعى أيضًا أنه يملك برهانًا على أنه إذا كان العدد الأولي p ينتهي بـ 7 (في النظام العشري) والعدد الأولي q ينتهي بـ 3، وكان p ≡ q ≡ 3 (mod 4)، فإن

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

افترض أويلر، وأثبت لاغرانج، أن ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\pmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\pmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

كان إثبات هذه التصريحات وغيرها من تصريحات فيرما أحد الأمور التي قادت علماء الرياضيات إلى نظرية التبادل.

وبحسب التدوين الحديث، ذكر أويلر ^{[ 8 ]} أنه بالنسبة للأعداد الأولية الفردية المختلفة p و q :

1. إذا كان q ≡ 1 (mod 4) فإن q هو باقي تربيعي (mod p ) إذا وفقط إذا كان هناك عدد صحيح b بحيث يكون p ≡ b ² (mod q ).
2. إذا كان q ≡ 3 (mod 4) فإن q هو باقي تربيعي (mod p ) إذا وفقط إذا كان هناك عدد صحيح b فردي وغير قابل للقسمة على q بحيث يكون p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

هذا يعادل التبادل التربيعي.

لم يستطع إثبات ذلك، لكنه أثبت الملحق الثاني. ^{[ 9 ]}

أثبت فيرما أنه إذا كان p عددًا أوليًا و a عددًا صحيحًا،

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.}$

وبالتالي، إذا لم يقسم p العدد a ، باستخدام الحقيقة غير الواضحة (انظر على سبيل المثال Ireland وRosen أدناه) أن البواقي modulo p تشكل حقلاً ، وبالتالي فإن المجموعة الضربية على وجه الخصوص دورية، ومن ثم يمكن أن يكون هناك حلان على الأكثر للمعادلة التربيعية:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

ليجيندر ^{[ 10 ]} يرمز a و A إلى الأعداد الأولية الموجبة ≡ 1 (mod 4) و b و B إلى الأعداد الأولية الموجبة ≡ 3 (mod 4)، ويضع جدولًا من ثماني نظريات مكافئة معًا للتبادل التربيعي:

نظرية	متى	ويترتب على ذلك أن
أنا	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\pmod {a}}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\pmod {b}}}$
٢	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\pmod {b}}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\pmod {a}}}$
3	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv 1{\pmod {A}}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\pmod {a}}}$
رابعاً	${\displaystyle a^{\frac {A-1}{2}}\equiv -1{\pmod {A}}}$	${\displaystyle A^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\pmod {a}}}$
V	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\pmod {b}}}$	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\pmod {a}}}$
السادس	${\displaystyle b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\pmod {a}}}$	${\displaystyle a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\pmod {b}}}$
السابع	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv 1{\pmod {B}}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\pmod {b}}}$
الثامن	${\displaystyle b^{\frac {B-1}{2}}\equiv -1{\pmod {B}}}$	${\displaystyle B^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\pmod {b}}}$

ويقول إن ذلك يعود إلى تعبيرات الشكل

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

سيتكرر هذا الأمر كثيراً لدرجة أنه سيختصرها على النحو التالي:

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\pmod {c}}=\pm 1.}$

يُعرف هذا الآن باسم رمز ليجندر ، ويُستخدم تعريف مكافئ له ^{[ 11 ] [ 12 ]} اليوم: لكل عدد صحيح a ولكل عدد أولي فردي p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

يُثبت غاوس أولًا ^{[ 14 ]} القوانين التكميلية. ثم يضع ^{[ 15 ]} أساس الاستقراء بإثبات النظرية لـ ±3 و ±5. ويلاحظ ^{[ 16 ]} أنه من الأسهل صياغة النظرية لـ −3 و +5 مقارنةً بـ +3 أو −5، فيُصيغ ^{[ 17 ]} النظرية العامة بالشكل التالي:

إذا كان p عددًا أوليًا على الصورة 4n +  1  ، فإن p هو باقي تربيعي (أو ليس باقيًا) لكل عدد أولي، والذي، مع إشارة موجبة، يكون باقيًا (أو ليس باقيًا) لـ p. أما إذا كان p على الصورة 4n + 3، فإن −p هو باقي تربيعي (أو ليس باقيًا) لكل عدد أولي، والذي، مع إشارة موجبة، يكون باقيًا (أو ليس باقيًا) لـ p . في الجملة التالية ، أطلق عليه اسم "النظرية الأساسية" (لم يستخدم جاوس أبدًا مصطلح "التبادلية").

بإدخال الترميز a R b (على التوالي a N b ) ليعني أن a هو باقي تربيعي (على التوالي ليس باقيًا) (mod b )، والسماح لـ a ، a ′ ، إلخ. بتمثيل أعداد أولية موجبة ≡ 1 (mod 4) و b ، b ′ ، إلخ. أعداد أولية موجبة ≡ 3 (mod 4)، فإنه يقسمها إلى نفس الحالات الثمانية التي قسمها ليجندر:

في المقال التالي، يعمم هذا ليشمل ما يُعتبر أساسًا قواعد رمز جاكوبي (المذكور أدناه) . لنفترض أن A و A ′ وما إلى ذلك تمثل أي أعداد موجبة (أولية أو مركبة) ≡ 1 (mod 4)، وأن B و B ′ وما إلى ذلك تمثل أعدادًا موجبة ≡ 3 (mod 4):

تتخذ جميع هذه الحالات الشكل التالي: "إذا كان العدد الأولي باقيًا (mod عدد مركب)، فإن العدد المركب يكون باقيًا أو ليس باقيًا (mod العدد الأولي)، وذلك اعتمادًا على التطابقات (mod 4)". وهو يثبت أن هذه النتائج تتبع من الحالات من 1 إلى 8.

كان غاوس بحاجة إلى، وتمكن من إثبات، ^{[ 18 ]} لمة مشابهة لتلك التي احتاج إليها ليجندر:

مبرهنة جاوس. إذا كان p عددًا أوليًا مطابقًا لـ 1 بتردد 8، فإنه يوجد عدد أولي فردي q بحيث:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

يستخدم برهان التبادلية التربيعية الاستقراء الكامل .

نسخة غاوس برموز ليجندر.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

يمكن الجمع بين هذه العناصر:

صيغة غاوس المدمجة برموز ليجندر. ليكن

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

بعبارة أخرى:

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\pmod {4}}.}$

ثم:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

وقد اشتق عدد من البراهين على النظرية، وخاصة تلك القائمة على مجاميع جاوس ^{[ 19 ]} أو تقسيم الأعداد الأولية في حقول الأعداد الجبرية ، ^{[ 20 ] [ 21 ]} هذه الصيغة.

إن العبارات الواردة في هذا القسم تعادل التبادل التربيعي: إذا تم افتراض نسخة أويلر، على سبيل المثال، يمكن استنتاج نسخة ليجندر-جاوس منها، والعكس صحيح.

صياغة أويلر للتبادلية التربيعية. ^{[ 22 ]} إذا${\displaystyle p\equiv \pm q{\pmod {4a}}}$ثم${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

يمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية جاوس .

التبادل التربيعي (غاوس؛ البرهان الرابع). ^{[ 23 ]} ليكن a ، b ، c ، ... أعدادًا أولية فردية موجبة غير متساوية، حاصل ضربها n ، وليكن m عدد الأعداد الأولية منها التي تساوي 3 (mod 4)؛ تحقق مما إذا كان n / a باقيًا لـ a ، وما إذا كان n / b باقيًا لـ b ، .... سيكون عدد الأعداد غير الباقية زوجيًا عندما يكون m ≡ 0، 1 (mod 4)، وسيكون فرديًا إذا كان m ≡ 2، 3 (mod 4).

يتألف برهان غاوس الرابع من إثبات هذه النظرية (بمقارنة صيغتين لقيمة مجاميع غاوس) ثم حصرها في عددين أوليين. ثم يعطي مثالاً: ليكن a = 3، b = 5، c = 7، و d = 11. ثلاثة من هذه الأعداد، 3 و7 و11، تساوي 3 (mod 4)، وبالتالي m تساوي 3 (mod 4). 5×7×11 ∈  3  ؛  3×7×11  ∈ 5  ؛  3×5×11  ∈  7؛  و  3×5×7  ∈  11، لذا يوجد عدد فردي من الأعداد غير المتبقية.

صياغة أيزنشتاين للتبادلية التربيعية. ^{[ 24 ]} افترض

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\pmod {4}},\quad q\equiv q'{\pmod {4}}.}$

ثم

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

صياغة مورديل للتبادلية التربيعية. ^{[ 25 ]} ليكن a و b و c أعدادًا صحيحة. لكل عدد أولي p يقسم abc إذا كان التطابق

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

إذا كان للمسألة حل غير تافه، فإن لها حلاً أيضاً:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {4abc}}.}$

صياغة دالة زيتا

كما ذُكر في المقال المتعلق بدوال زيتا ديديكيند ، فإن التبادلية التربيعية تُكافئ كون دالة زيتا لحقل تربيعي ناتج ضرب دالة زيتا لريمان ودالة L معينة من نوع ديريشليه

رمز جاكوبي هو تعميم لرمز ليجندر؛ والفرق الرئيسي هو أن العدد السفلي يجب أن يكون موجبًا وفرديًا، ولكنه ليس بالضرورة أوليًا. إذا كان أوليًا، يتطابق الرمزان. ويخضع لنفس قواعد التعامل التي يخضع لها رمز ليجندر. على وجه الخصوص

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\pmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\pmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\pmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\pmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

وإذا كان كلا العددين موجبين وفرديين (يسمى هذا أحيانًا "قانون جاكوبي للمعاملة بالمثل"): ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

مع ذلك، إذا كان رمز جاكوبي يساوي 1 وكان المقام ليس عددًا أوليًا، فلا يترتب على ذلك بالضرورة أن يكون البسط هو باقي تربيعي للمقام. يمكن التعبير عن حالات جاوس من 9 إلى 14 المذكورة أعلاه بدلالة رموز جاكوبي.

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

وبما أن p عدد أولي، فإن الجانب الأيسر هو رمز ليجندر، ونحن نعلم ما إذا كان M هو باقي القسمة على p أم لا.

الصيغ المذكورة في القسم السابق صحيحة لرموز جاكوبي طالما أن هذه الرموز مُعرَّفة. يمكن كتابة صيغة أويلر على النحو التالي:

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

مثال.

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2 هو باقي قسمة على الأعداد الأولية 7 و 23 و 31:

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\pmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\pmod {31}}.}$

لكن 2 ليس باقيًا تربيعيًا بتردد 5، لذا لا يمكن أن يكون واحدًا بتردد 15. وهذا مرتبط بالمشكلة التي واجهها ليجاندر: إذا${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$إذن فإن a هو عدد غير متبقٍ بتردد كل عدد أولي في المتتابعة الحسابية m + 4 a ، m + 8 a ، ...، إذا كان هناك أي أعداد أولية في هذه المتتابعة، ولكن لم يتم إثبات ذلك إلا بعد عقود من ليجاندر. ^{[ 27 ]}