عدد صحيح خالٍ من المربعات

في الرياضيات ، العدد الصحيح الخالي من المربعات هو عدد صحيح لا يقبل القسمة على أي عدد مربع باستثناء 1. أي أن تحليله إلى عوامله الأولية يحتوي على عامل واحد فقط لكل عدد أولي يظهر فيه. على سبيل المثال، 10 = 2 × 5 هو عدد صحيح خالٍ من المربعات، بينما 18 = 2 × 3 × 3 ليس كذلك، لأن 18 يقبل القسمة على 9 = ^3/2 . أصغر الأعداد الموجبة الخالية من المربعات هي

1، 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 13، 14، 15، 17، 19، 21، 22، 23، 26، 29، 30، 31، 33، 34، 35، 37، 38، 39، ... (التسلسل A005117 في OEIS )

التحليل إلى عوامل بدون مربعات

كل عدد صحيح موجب $n$ يمكن تحليلها بطريقة فريدة كـ $n=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i},$ حيث $q_{i}$ الأعداد التي تختلف عن 1 هي أعداد صحيحة خالية من المربعات وتكون أولية فيما بينها . وهذا ما يسمى بالتحليل الخالي من المربعات للعدد $n$ .

لإنشاء تحليل خالٍ من المربعات، دع $n=\prod _{j=1}^{h}p_{j}^{e_{j}}$ ليكن التحليل إلى العوامل الأولية لـ $n$ ، حيث $p_{j}$ إذا كانت أعدادًا أولية مختلفة ، فإن عوامل التحليل الخالي من المربعات تُعرَّف على النحو التالي: $q_{i}=\prod _{j:e_{j}=i}p_{j}.$

يكون العدد الصحيح خالياً من المربعات إذا وفقط إذا $q_{i}=1$ للجميع $i>1$ العدد الصحيح الأكبر من واحد هو $k$ القوة n لعدد صحيح آخر إذا وفقط إذا $k$ هو قاسم لكل شيء $i$ بحيث $q_{i}\neq 1.$

يُحدّ من استخدام تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية دون وجود مربعات، صعوبة حسابه التي تُضاهي صعوبة حساب تحليلها إلى عواملها الأولية. وبشكل أدق، فإن كل خوارزمية معروفة لحساب تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية تحسب أيضًا تحليلها إلى عواملها الأولية. وهذا فرقٌ ملحوظ عن حالة كثيرات الحدود التي يمكن تعريفها بنفس التعريفات، ولكن في هذه الحالة، لا يُعدّ تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية أسهل حسابًا من التحليل الكامل فحسب، بل هو أيضًا الخطوة الأولى في جميع خوارزميات التحليل القياسية.

العوامل الخالية من المربعات للأعداد الصحيحة

الجزء الخالي من المربعات من $n$ هو ناتج جميع القواسم الأولية لـ $n$ الذي أسه في تحليل $n$ فردي. كل عدد صحيح موجب $n$ يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كحاصل ضرب أكبر مربع ممكن في عدد صحيح خالٍ من المربعات. $n=m^{2}k,$ أين $k$ هو الجزء الخالي من المربعات من $n$ و $m$ هو أكبر قاسم لـ $n$ بحيث $m^{2}$ هو قاسم لـ $n$ .

كل عدد صحيح موجب $n$ يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كحاصل ضرب عدد قوي (أي عدد صحيح يقبل القسمة على مربع كل عامل أولي) وعدد صحيح خالٍ من المربعات $s$ . هذا $s$ هو ناتج الأعداد الأولية التي تقسم $n$ فقط مرفوعة للأس الأول، والعدد القوي هو $n/s.$

الجذر العددي لعدد صحيح $n$ هو أكبر عامل خالٍ من المربعات، أي حاصل ضرب جميع القواسم الأولية لـ $n$ ، وهو ما يساوي $\textstyle \prod _{i=1}^{k}q_{i}$ وفقًا لرموز القسم السابق. قد يكون جذر العدد الصحيح أصغر من الجزء الخالي من المربعات؛ ويكون العدد الصحيح خاليًا من المربعات إذا وفقط إذا كان مساويًا لجذره.

باختصار، هناك ثلاثة عوامل خالية من المربعات ترتبط بشكل طبيعي بكل عدد صحيح: العامل المذكور أعلاه $s,$ الجزء الخالي من المربعات، وأكبر عامل خالٍ من المربعات. كل منهما عامل للذي يليه. ويمكن استنتاج كليهما بسهولة من التحليل إلى العوامل الأولية أو التحليل إلى العوامل الخالية من المربعات: إذا $n=\prod _{i=1}^{h}p_{i}^{e_{i}}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}^{i}$ هما التحليل إلى العوامل الأولية والتحليل الخالي من المربعات لـ $n$ ، أين $p_{1},\ldots ,p_{h}$ إذا كانت أعدادًا أولية مختلفة، فإن الجزء الخالي من المربعات هو $\prod _{e_{i}=1}p_{i}=q_{1},$ العامل الخالي من المربعات الذي يكون ناتج قسمته مربعًا هو $\prod _{e_{i}{\text{ odd}}}p_{i}=\prod _{i{\text{ odd}}}q_{i},$ وأكبر عامل خالٍ من المربعات هو $\prod _{i=1}^{h}p_{i}=\prod _{i=1}^{k}q_{i}.$

على سبيل المثال، إذا $n=75600=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7,$ يمتلك المرء $q_{1}=7,\;q_{2}=5,\;q_{3}=3,\;q_{4}=2.$ الجزء الخالي من المربعات هو $7$ ، والعامل الخالي من المربعات الذي يجعل ناتج القسمة مربعًا هو $3 \cdot 7 = 21$ ، وأكبر عامل خالٍ من المربعات هو $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ .

لا توجد خوارزمية معروفة لحساب أي من هذه العوامل الخالية من المربعات أسرع من حساب التحليل الكامل إلى العوامل الأولية. على وجه الخصوص، لا توجد خوارزمية معروفة ذات زمن متعدد الحدود لحساب الجزء الخالي من المربعات لعدد صحيح، أو حتى لتحديد ما إذا كان العدد الصحيح خاليًا من المربعات. ^{[ 1 ]} في المقابل، توجد خوارزميات ذات زمن متعدد الحدود لاختبار أولية الأعداد . ^{[ 2 ]}

توصيفات مكافئة

عدد صحيح موجب $n$ يكون خالياً من المربعات إذا وفقط إذا كان في التحليل إلى العوامل الأولية لـ $n$ لا يوجد عامل أولي ذو أس أكبر من واحد. وبعبارة أخرى، لكل عامل أولي $p$ ل $n$ رئيس الوزراء $p$ لا يقسم بالتساوي $n/p$ . أيضًا $n$ تكون خالية من المربعات إذا وفقط إذا كان في كل تحليل $n=ab$ العوامل $a$ و $b$ الأعداد الأولية فيما بينها . ومن النتائج المباشرة لهذا التعريف أن جميع الأعداد الأولية خالية من المربعات.

عدد صحيح موجب $n$ تكون المجموعة خالية من المربعات إذا وفقط إذا كانت جميع الزمر الأبيلية من الرتبة $n$ تكون متماثلة ، وهذا صحيح فقط إذا كانت أي مجموعة من هذه المجموعات دورية . وينتج هذا عن تصنيف المجموعات الأبيلية المولدة نهائياً .

عدد صحيح $n$ تكون حلقة العوامل خالية من المربعات إذا وفقط إذا $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (انظر الحساب النمطي ) هو حاصل ضرب الحقول . وينتج هذا من نظرية الباقي الصينية وحقيقة أن الحلقة من الشكل $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ يُعتبر حقلاً إذا وفقط إذا $k$ هو عدد أولي.

لكل عدد صحيح موجب $n$ ، مجموعة جميع القواسم الموجبة لـ $n$ تصبح مجموعة مرتبة جزئيًا إذا استخدمنا قابلية القسمة كعلاقة ترتيب. هذه المجموعة المرتبة جزئيًا هي دائمًا شبكة توزيعية . وهي جبر بولياني إذا وفقط إذا $n$ خالٍ من المربعات.

عدد صحيح موجب $n$ تكون خالية من المربعات إذا وفقط إذا $\mu (n)\neq 0$ ، أين $\mu$ يرمز إلى دالة موبيوس .

سلسلة ديريشلي

القيمة المطلقة لدالة موبيوس هي دالة المؤشر للأعداد الصحيحة الخالية من المربعات ، أي أن $| μ (n) |$ تساوي 1 إذا كان $n$ عددًا صحيحًا خاليًا من المربعات، و0 إذا لم يكن كذلك. متسلسلة ديريشليه لهذه الدالة هي

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}},

حيث $ζ (s)$ هي دالة زيتا لريمان . وهذا ينتج عن جداء أويلر.

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}),

حيث يتم أخذ نواتج الضرب على الأعداد الأولية.

توزيع

لنفترض أن Q ( x ) يمثل عدد الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات بين 1 و x ( OEIS : A013928 ، مع إزاحة الدليل بمقدار 1). بالنسبة لقيم n الكبيرة ، فإن 3/4 من الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من n لا تقبل القسمة على 4، و8/9 من هذه الأعداد لا تقبل القسمة على 9، وهكذا. ولأن هذه النسب تحقق خاصية الضرب (وهذا ما ينتج عن نظرية الباقي الصينية )، نحصل على التقريب التالي:

\begin{aligned}Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}\\&=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}={\frac {6x}{\pi ^{2}}}.\end{aligned}}}

يمكن جعل هذه الحجة دقيقة للحصول على التقدير (باستخدام ترميز Big O ).

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right).

مخطط البرهان: يعطي التوصيف أعلاه

{\displaystyle Q(x)=\sum _{n\leq x}\sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=\sum _{d\leq x}\mu (d)\sum _{n\leq x,d^{2}\mid n}1=\sum _{d\leq x}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor

بملاحظة أن الحد الأخير يساوي صفرًا لـ $d>{\sqrt {x}}$ وبناءً على ذلك

Q(x)=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor

1

\begin{aligned}{\phantom {Q(x)}}&=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {x\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}1\right)=x\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O({\sqrt {x}})\\&=x\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>{\sqrt {x}}}{\frac {1}{d^{2}}}+{\sqrt {x}}\right)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O({\sqrt {x}}).\end{aligned}}}

من خلال استغلال أكبر منطقة خالية من الأصفار معروفة لدالة زيتا لريمان، قام أرنولد والفيز بتحسين التقريب إلى ^{[ 3 ].}

Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right),

لبعض الثوابت الموجبة $c$ .

بموجب فرضية ريمان ، يمكن اختزال حد الخطأ إلى ^{[ 4 ]}

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).

في عام 2015 تم تقليل حد الخطأ بشكل أكبر (بافتراض فرضية ريمان أيضًا) إلى ^{[ 5 ]}

Q(x)={\frac {6}{\pi ^{2}}}x+O\left(x^{11/35+\varepsilon }\right).

وبالتالي فإن الكثافة التقاربية/ الطبيعية للأعداد الخالية من المربعات هي

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.6079

لذلك فإن أكثر من 3/5 من الأعداد الصحيحة خالية من المربعات.

وبالمثل، إذا كان Q ( x , n ) يشير إلى عدد الأعداد الصحيحة الخالية من n (على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة الخالية من 3 هي أعداد صحيحة خالية من المكعبات) بين 1 و x ، فيمكن للمرء أن يوضح ^{[ 6 ]}

Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).

بما أن مضاعفات العدد 4 يجب أن يكون لها عامل مربع 4 = 2² ^، فلا يمكن أن تكون أربعة أعداد صحيحة متتالية خالية من المربعات. من جهة أخرى، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة n التي تكون عندها الأعداد 4n + 1، 4n + 2، 4n + 3 خالية من المربعات. وإلا، بملاحظة أن العدد 4n ، وواحد على الأقل من الأعداد 4n + 1، 4n + 2، 4n + 3 من بين أربعة أعداد، يمكن أن يكون غير خالي من المربعات لقيمة n كبيرة بما فيه الكفاية ، فإن نصف جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، مطروحًا منها عدد محدود، يجب أن تكون غير خالية من المربعات، وبالتالي

Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C

بالنسبة لثابت ما C ،

خلافًا للتقدير التقاربي المذكور أعلاه لـ $Q(x)$ .

توجد متواليات من الأعداد الصحيحة غير المربعة المتتالية ذات أطوال عشوائية. في الواقع، لكل مجموعة $(p1, ..., pl)$ من الأعداد الأولية المختلفة، $تضمن$ نظرية الباقي الصينية وجود عدد $n$ يحقق التطابق المتزامن $.$

n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}}\qquad (i=1,2,\ldots ,l).

كل $n + i$ يقبل القسمة على $p 2 i$ . ^{[ 7 ]} من ناحية أخرى، التقدير المذكور أعلاه $Q(x)=6x/\pi ^{2}+O\left({\sqrt {x}}\right)$ وهذا يعني أنه، بالنسبة لثابت ما c ، يوجد دائمًا عدد صحيح خالٍ من المربعات بين x و $x+c{\sqrt {x}}$ بالنسبة لقيم x الموجبة . علاوة على ذلك، تسمح لنا حجة بسيطة باستبدال $x+c{\sqrt {x}}$ بواسطة $x+cx^{1/5}\log x.$ ^{[ 8 ]} تسمحفرضيةabc $x+x^{o(1)}$ [ ⁹^]

حساب $Q (x)$

The squarefree integers $\leq x$ can be identified and counted in $Õ (x)$ time by using a modified Sieve of Eratosthenes. If only $Q (x)$ is desired, and not a list of the numbers that it counts, then (1) can be used to compute $Q (x)$ in $Õ (\sqrt x)$ time. The largest known value of $Q (x)$ , for $x = 10 36$ , was computed by Jakub Pawlewicz in 2011 using an algorithm that achieves $Õ (x 2/5)$ time,^[10] and an algorithm taking $Õ (x 1/3)$ time has been outlined but not implemented.^[11]^:§5.5

Table of Q(x), ⁠6/π²⁠x, and R(x)

The table shows how $Q(x)$ and ${\frac {6}{\pi ^{2}}}x$ (with the latter rounded to one decimal place) compare at powers of 10.

$R(x)=Q(x)-{\frac {6}{\pi ^{2}}}x$ , also denoted as $\Delta (x)$ .

$x$	$Q(x)$	${\frac {6}{\pi ^{2}}}x$	$R(x)$
10	7	6.1	0.9
10²	61	60.8	0.2
10³	608	607.9	0.1
10⁴	6,083	6,079.3	3.7
10⁵	60,794	60,792.7	1.3
10⁶	607,926	607,927.1	−1.3
10⁷	6,079,291	6,079,271.0	20.0
10⁸	60,792,694	60,792,710.2	−16.2
10⁹	607,927,124	607,927,101.9	22.1
10¹⁰	6,079,270,942	6,079,271,018.5	−76.5
10¹¹	60,792,710,280	60,792,710,185.4	94.6
10¹²	607,927,102,274	607,927,101,854.0	420.0
10¹³	6,079,271,018,294	6,079,271,018,540.3	−246.3
10¹⁴	60,792,710,185,947	60,792,710,185,402.7	544.3
10¹⁵	607,927,101,854,103	607,927,101,854,027.0	76.0

$R(x)$ changes its sign infinitely often as $x$ tends to infinity.^[12]

The absolute value of $R(x)$ is astonishingly small compared with $x$ .

Encoding as binary numbers

If we represent a square-free number as the infinite product

{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(p_{n+1})^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ و }}p_{n}{\text{ هو العدد الأولي رقم }}n{\text{

then we may take those $a_{n}$ and use them as bits in a binary number with the encoding

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}.

العدد 42 الخالي من المربعات له تحليل إلى عوامله الأولية 2 × 3 × 7 ، أو كحاصل ضرب لانهائي 2 ¹ × 3 ¹ × 5 ⁰ × 7 ¹ × 11 ⁰ × 13 ⁰ ... وبالتالي، يمكن ترميز العدد 42 بالتسلسل الثنائي ...001011أو بالنظام العشري 11. (يتم عكس ترتيب الأرقام الثنائية عن ترتيبها في حاصل الضرب اللانهائي).

بما أن التحليل إلى العوامل الأولية لكل عدد فريد، فإن كل ترميز ثنائي للأعداد الصحيحة الخالية من المربعات فريد أيضاً.

والعكس صحيح أيضاً. بما أن لكل عدد صحيح موجب تمثيلاً ثنائياً فريداً، فمن الممكن عكس هذا الترميز بحيث يمكن فك ترميزه إلى عدد صحيح فريد خالٍ من المربعات.

مرة أخرى، على سبيل المثال، إذا بدأنا بالعدد 42، هذه المرة كعدد صحيح موجب، فسنحصل على تمثيله الثنائي 101010. وهذا يُفكّ إلى 2 ⁰ · 3 ¹ · 5 ⁰ · 7 ¹ · 11 ⁰ · 13 ¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

وبالتالي فإن الترميز الثنائي للأعداد الخالية من المربعات يصف تقابلاً بين الأعداد الصحيحة غير السالبة ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الخالية من المربعات.

(انظر التسلسلات A019565 و A048672 و A064273 في OEIS .)

حدسية إردوش الخالية من المربعات

معامل ذي الحدين المركزي

{2n \choose n}

لا تكون مجموعة الأعداد الصحيحة خالية من المربعات أبدًا عندما يكون n > 4. وقد تم إثبات ذلك في عام 1985 لجميع الأعداد الصحيحة الكبيرة بما فيه الكفاية بواسطة أندراس ساركوزي ، ^{[ 13 ]} ولجميع الأعداد الصحيحة > 4 في عام 1996 بواسطة أوليفييه راماري وأندرو جرانفيل . ^{[ 14 ]}

قلب مربع

لنُطلق على العدد الصحيح الموجب الذي لا يحتوي على قواسم من الرتبة t اسم "العدد الخالي من t " . وعلى وجه الخصوص، فإن الأعداد الصحيحة الخالية من 2 هي الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات.

الدالة الضربية $\mathrm {core} _{t}(n)$ يحوّل كل عدد صحيح موجب n إلى ناتج قسمة n على أكبر قاسم له من الرتبة t . أي،

\mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e{\bmod {t}}}.

العدد الصحيح $\mathrm {core} _{t}(n)$ هي خالية من t ، وكل عدد صحيح خالٍ من t يتم تعيينه إلى نفسه بواسطة الدالة $\mathrm {core} _{t}.$

دالة توليد ديريشليه للمتتالية $\left(\mathrm {core} _{t}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ يكون

\sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}

.

انظر أيضًا OEIS : A007913 ( t =2)، OEIS : A050985 ( t =3) و OEIS : A053165 ( t =4).

ملحوظات

↑ أدلمان، ليونارد م.؛ ماكيرلي، كيفن س. (1994). "مسائل مفتوحة في تعقيد نظرية الأعداد، الجزء الثاني". في: أدلمان، ليونارد م.؛ هوانغ، مينغ-ديه أ. (محرران). نظرية الأعداد الخوارزمية، الندوة الدولية الأولى، ANTS-I، إيثاكا، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 6-9 مايو 1994، وقائع . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 877. سبرينغر. الصفحات 291-322 . doi : 10.1007/3-540-58691-1_70 . ISBN 978-3-540-58691-3.
^ أغراوال، مانيندرا. كيال، نيراج؛ ساكسينا ، نيتين (1 سبتمبر 2004). "PRIMEs موجودة في P" (PDF) . حوليات الرياضيات . 160 (2): 781-793 . دوى : 10.4007 / Annals.2004.160.781 . ISSN 0003-486X . السيد 2123939 . زبل 1071.11070 .
^ والفيسز أ. (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie . برلين: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften .
↑ جيا، تشاو هوا. “توزيع الأرقام الخالية من المربعات”، العلوم في الصين السلسلة أ: الرياضيات 36 :2 (1993)، الصفحات من 154 إلى 169. مستشهد به في Pappalardi 2003، دراسة استقصائية عن k -freeness ؛ انظر أيضًا Kaneenika Sinha، “ متوسط أوامر بعض الوظائف الحسابية أرشفة 14 فبراير 2012 في آلة Wayback . ”، مجلة جمعية رامانوجان الرياضية 21 : 3 (2006)، الصفحات من 267 إلى 277.
↑ ليو، هـ. كيو. (2016). "حول توزيع الأعداد الخالية من المربعات" . مجلة نظرية الأعداد . 159 : 202-222 . doi : 10.1016/j.jnt.2015.07.013 .
^ لينفوت، EH ؛ إيفلين، CJA (1929). ""حول مشكلة في النظرية المضافة للأعداد" . " الرياضيات Zeitschrift . 30 : 443– 448. دوى : 10.1007 / BF01187781 . S2CID 120604049 .
↑ بارنت، د.ب. (1984). تمارين في نظرية الأعداد . كتب مسائل في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4757-5194-9 . ISBN 978-1-4757-5194-9.
↑ فيلاسيتا، مايكل؛ تريفونوف، أوغنيان (1992). "حول الفجوات بين الأعداد الخالية من المربعات. الجزء الثاني". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . السلسلة الثانية. 45 (2): 215-221 . doi : 10.1112/jlms/s2-45.2.215 . MR 1171549 .
↑ جرانفيل، أندرو (1998). "ABC يسمح لنا بحساب المربعات الخالية من العناصر". مجلة البحوث الرياضية الدولية . 1998 (19): 991-1009 . doi : 10.1155/S1073792898000592 .{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )
↑ باولويتش، جاكوب (2011). "عد الأعداد الخالية من المربعات". arXiv : 1107.4890 [ math.NT ].
^ هيرش، عميد. كيسلر، ايدو. ميندلوفيتش، أوري (2024). "الحوسبة $π$ $($ $N$ $)$ : نهج أولي في الزمن $Õ$ $($ $\sqrt$ $N$ $)$ " . الرياضيات الحسابية . أرخايف : 2212.09857 . دوى : 10.1090/مكوم/4039 . ISSN 0025-5718 .
↑ مينورو، تاناكا (1979). "تجارب تتعلق بتوزيع الأعداد الخالية من المربعات" . وقائع الأكاديمية اليابانية، السلسلة أ، العلوم الرياضية . 55 (3). doi : 10.3792/pjaa.55.101 . S2CID 121862978 .
↑ ساركوزي، أ. (1985). "حول قواسم معاملات ذات الحدين. الجزء الأول" . مجلة نظرية الأعداد . 20 (1): 70-80 . doi : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 . MR 0777971 .
↑ راماري، أوليفييه؛ جرانفيل، أندرو (1996). "حدود صريحة على المجاميع الأسية وندرة معاملات ذات الحدين الخالية من المربعات". ماتيماتيكا . 43 (1): 73-107 . doi : 10.1112/S0025579300011608 .

مراجع

شابيرو، هارولد ن. (1983). مقدمة في نظرية الأعداد . مطبعة جامعة أكسفورد، منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46669-9.
جرانفيل، أندرو؛ راماري، أوليفييه (1996). "حدود صريحة على المجاميع الأسية وندرة معاملات ذات الحدين الخالية من المربعات". مجلة الرياضيات . 43 : 73-107 . CiteSeerX 10.1.1.55.8 . doi : 10.1112/S0025579300011608 . MR 1401709. Zbl 0868.11009 .
جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد ( الطبعة الثالثة). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
"OEIS Wiki" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2021 .

[1] أدلمان، ليونارد م.؛ ماكيرلي، كيفن س. (1994). "مسائل مفتوحة في تعقيد نظرية الأعداد، الجزء الثاني". في: أدلمان، ليونارد م.؛ هوانغ، مينغ-ديه أ. (محرران). نظرية الأعداد الخوارزمية، الندوة الدولية الأولى، ANTS-I، إيثاكا، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 6-9 مايو 1994، وقائع . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 877. سبرينغر. الصفحات 291-322 . doi : 10.1007/3-540-58691-1_70 . ISBN 978-3-540-58691-3.

[2] أغراوال، مانيندرا. كيال، نيراج؛ ساكسينا ، نيتين (1 سبتمبر 2004). "PRIMEs موجودة في P" (PDF) . حوليات الرياضيات . 160 (2): 781-793 . دوى : 10.4007 / Annals.2004.160.781 . ISSN 0003-486X . السيد 2123939 . زبل 1071.11070 .

[3] والفيسز أ. (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie . برلين: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften .

[4] جيا، تشاو هوا. “توزيع الأرقام الخالية من المربعات”، العلوم في الصين السلسلة أ: الرياضيات 36 :2 (1993)، الصفحات من 154 إلى 169. مستشهد به في Pappalardi 2003، دراسة استقصائية عن k -freeness ؛ انظر أيضًا Kaneenika Sinha، “ متوسط أوامر بعض الوظائف الحسابية أرشفة 14 فبراير 2012 في آلة Wayback . ”، مجلة جمعية رامانوجان الرياضية 21 : 3 (2006)، الصفحات من 267 إلى 277.

[5] ليو، هـ. كيو. (2016). "حول توزيع الأعداد الخالية من المربعات" . مجلة نظرية الأعداد . 159 : 202-222 . doi : 10.1016/j.jnt.2015.07.013 .

[6] لينفوت، EH ؛ إيفلين، CJA (1929). ""حول مشكلة في النظرية المضافة للأعداد" . " الرياضيات Zeitschrift . 30 : 443– 448. دوى : 10.1007 / BF01187781 . S2CID 120604049 .

[7] بارنت، د.ب. (1984). تمارين في نظرية الأعداد . كتب مسائل في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4757-5194-9 . ISBN 978-1-4757-5194-9.

[8] فيلاسيتا، مايكل؛ تريفونوف، أوغنيان (1992). "حول الفجوات بين الأعداد الخالية من المربعات. الجزء الثاني". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . السلسلة الثانية. 45 (2): 215-221 . doi : 10.1112/jlms/s2-45.2.215 . MR 1171549 .

[9] جرانفيل، أندرو (1998). "ABC يسمح لنا بحساب المربعات الخالية من العناصر". مجلة البحوث الرياضية الدولية . 1998 (19): 991-1009 . doi : 10.1155/S1073792898000592 .{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI ( link )

[10] باولويتش، جاكوب (2011). "عد الأعداد الخالية من المربعات". arXiv : 1107.4890 [ math.NT ].

[HirschKesslerMendlovic2024-11] هيرش، عميد. كيسلر، ايدو. ميندلوفيتش، أوري (2024). "الحوسبة $π$ $($ $N$ $)$ : نهج أولي في الزمن $Õ$ $($ $\sqrt$ $N$ $)$ " . الرياضيات الحسابية . أرخايف : 2212.09857 . دوى : 10.1090/مكوم/4039 . ISSN 0025-5718 .

[12] مينورو، تاناكا (1979). "تجارب تتعلق بتوزيع الأعداد الخالية من المربعات" . وقائع الأكاديمية اليابانية، السلسلة أ، العلوم الرياضية . 55 (3). doi : 10.3792/pjaa.55.101 . S2CID 121862978 .

[13] ساركوزي، أ. (1985). "حول قواسم معاملات ذات الحدين. الجزء الأول" . مجلة نظرية الأعداد . 20 (1): 70-80 . doi : 10.1016/0022-314X(85)90017-4 . MR 0777971 .

[14] راماري، أوليفييه؛ جرانفيل، أندرو (1996). "حدود صريحة على المجاميع الأسية وندرة معاملات ذات الحدين الخالية من المربعات". ماتيماتيكا . 43 (1): 73-107 . doi : 10.1112/S0025579300011608 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

9

[10]

[11]

[12]

[ 13 ]

[ 14 ]