حلقة من الأعداد الصحيحة

في الرياضيات ، حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري${\displaystyle K}$(يُطلق عليه أحيانًا حلقة الأرقام المقابلة لحقل الأرقام)${\displaystyle K}$) ^{[ 1 ]} هي حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية الموجودة في${\displaystyle K}$[ ^{2 ]} العدد الصحيح الجبري هو ^جذر لكثير الحدود أحادي المعامل ذي المعاملات الصحيحة :${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$[ ^{3 ] غالبًا ما} يُرمز إلى هذه الحلقة بـ${\displaystyle O_{K}}$أو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$بما أن أي عدد صحيح ينتمي إلى${\displaystyle K}$وهو عنصر أساسي من${\displaystyle K}$الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي دائمًا حلقة فرعية من${\displaystyle O_{K}}$.

حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$هي أبسط حلقة ممكنة من الأعداد الصحيحة. ^{[ أ ]} أي،${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$أين${\displaystyle \mathbb {Q} }$هو حقل الأعداد النسبية . ^{[ 4 ]} وبالفعل، في نظرية الأعداد الجبرية، عناصر${\displaystyle \mathbb {Z} }$ولهذا السبب، غالباً ما يطلق عليها اسم "الأعداد الصحيحة النسبية".

المثال الأبسط التالي هو حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية.${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$وهي مجموعة الأعداد المركبة التي يكون جزءها الحقيقي وجزءها التخيلي أعدادًا صحيحة. وهي حلقة الأعداد الصحيحة في حقل الأعداد.${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$الأعداد النسبية الغاوسية ، وهي أعداد مركبة يكون جزءها الحقيقي وجزءها التخيلي أعدادًا نسبية. ومثل الأعداد الصحيحة النسبية،${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$هو مجال إقليدي .

حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري هي الرتبة القصوى الوحيدة في الحقل. وهي دائماً مجال ديديكيند . ^{[ 5 ]}

حلقة الأعداد الصحيحة O _K هي حلقة مولدة منتهية${\displaystyle \mathbb {Z} }$- وحدة . في الواقع، إنها مجانية${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة، وبالتالي لها أساس متكامل ، أي أساس b ₁ ، ...، b _n ∈ O _K من${\displaystyle \mathbb {Q} }$- فضاء متجهي K بحيث يمكن تمثيل كل عنصر x في O _{K بشكل فريد على النحو التالي}  

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

مع${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$[ ^{6 ]} رتبة n من O _K كـ^​​ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module يساوي درجة K على ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

في حلقة الأعداد الصحيحة، لكل عنصر تحليل إلى عناصر غير قابلة للاختزال ، ولكن ليس بالضرورة أن تتمتع الحلقة بخاصية التحليل الفريد : على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$، العنصر 6 له تحليلان مختلفان بشكل أساسي إلى عوامل غير قابلة للاختزال: ^{[ 5 ] [ 10 ]}

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

إن حلقة الأعداد الصحيحة هي دائمًا مجال ديديكيند ، وبالتالي فإن لها تحليلًا فريدًا للمثاليات إلى مثاليات أولية . ^{[ 11 ]}

تُعتبر وحدات حلقة الأعداد الصحيحة O _K زمرة أبيلية مولدة نهائيًا وفقًا لنظرية ديريشليه للوحدات . تتكون الزمرة الجزئية الالتوائية من جذور الوحدة في K. تُسمى مجموعة المولدات الخالية من الالتواء مجموعة الوحدات الأساسية . ^{[ 12 ]}

يُعرَّف حلقة الأعداد الصحيحة لحقل محلي غير أرخميدي F بأنها مجموعة جميع عناصر F التي قيمتها المطلقة ≤ 1 ؛ وهي حلقة بسبب متباينة المثلث القوية. ^{[ 13 ]} إذا كان F إكمالًا لحقل أعداد جبري، فإن حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به هي إكمال حلقة الأعداد الصحيحة لهذا الحقل. ويمكن وصف حلقة الأعداد الصحيحة لحقل أعداد جبري بأنها العناصر التي تُمثل أعدادًا صحيحة في كل إكمال غير أرخميدي. ^{[ 4 ]}

على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة للأعداد p -adic${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

• متعدد الحدود الأدنى (نظرية المجال)
• الإغلاق التكاملي – يقدم أسلوبًا لحساب الإغلاقات التكاملية