الوحدة (نظرية الحلقة)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر ، العنصر المحايد أو القابل للعكس [ a ] في حلقة ما هو عنصر قابل للعكس بالنسبة لعملية ضرب الحلقة. أي أن العنصر u في حلقة R هو عنصر محايد إذا وُجد عنصر v في R بحيث vu=uv=1،{\displaystyle vu=uv=1,} حيث 1 هو العنصر المحايد الضربي ؛ العنصر v فريد لهذه الخاصية ويُسمى المعكوس الضربي لـ u . [ 1 ] [ 2 ] تُشكل مجموعة الوحدات في R زمرة R × تحت الضرب، وتُسمى زمرة الوحدات أو زمرة الوحدات في R. [ ب ] من الرموز الأخرى لزمرة الوحدات R * و U( R ) و E( R ) (من المصطلح الألماني Einheit ).

في حالات أقل شيوعًا، يُستخدم مصطلح " الوحدة" أحيانًا للإشارة إلى العنصر 1 في الحلقة، في تعابير مثل "حلقة ذات وحدة" أو "حلقة الوحدة" ، وكذلك "مصفوفة الوحدة ". وبسبب هذا الغموض، يُطلق على 1 عادةً اسم "الوحدة" أو "العنصر المحايد" في الحلقة، وقد تُستخدم عبارات مثل "حلقة ذات وحدة" أو "حلقة ذات عنصر محايد" للتأكيد على أننا نتحدث عن حلقة وليس عن مولد أرقام عشوائية .

أمثلة

العنصر المحايد الضربي 1 ومعكوسه الجمعي -1 هما دائمًا عنصران محايدان. وبشكل أعم، أي جذر للوحدة في حلقة R هو عنصر محايد: إذا كان rⁿ = 1 ، فإن rⁿ - 1 هو معكوس ضربي لـ r . في حلقة غير صفرية ، العنصر 0 ليس عنصرًا محايدًا، لذا فإن R × ليست مغلقة تحت عملية الجمع. تُسمى الحلقة غير الصفرية R التي يكون فيها كل عنصر غير صفري عنصرًا محايدًا (أي R × = R ∖ {0} ) حلقة قسمة (أو حقلًا معكوسًا). تُسمى حلقة القسمة التبديلية حقلًا . على سبيل المثال، زمرة العناصر المحايدة لحقل الأعداد الحقيقية R هي R ∖ {0} .

حلقة الأعداد الصحيحة

في حلقة الأعداد الصحيحة Z ، الوحدات الوحيدة هي 1 و -1 .

في الحلقة Z / n Z للأعداد الصحيحة modulo n ، تكون الوحدات هي فئات التطابق (mod n ) الممثلة بالأعداد الصحيحة الأولية نسبيًا مع n . وهي تشكل المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة modulo n .

حلقة من الأعداد الصحيحة لحقل عددي

في الحلقة Z [ √ 3 ] التي تم الحصول عليها عن طريق ضم العدد الصحيح التربيعي √ 3 إلى Z ، يكون لدينا (2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1 ، لذا فإن 2 + √ 3 هو وحدة، وكذلك قواه، لذا فإن Z [ √ 3 ] يحتوي على عدد لا نهائي من الوحدات.

وبشكل أعم، بالنسبة لحلقة الأعداد الصحيحة R في حقل عددي F ، تنص نظرية ديريشليه للوحدة على أن R × متماثلة مع المجموعة Zن×μR{\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}} أينμR{\displaystyle \mu _{R}}هي المجموعة (المنتهية، الدورية) لجذور الوحدة في R و n ، رتبة مجموعة الوحدة، هي ن=ر1+ر2-1،{\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,} أينر1،ر2{\displaystyle r_{1},r_{2}}يمثلان عدد التضمينات الحقيقية وعدد أزواج التضمينات المعقدة لـ F ، على التوالي.

هذا يُعيد مثال Z [ √3 ] : زمرة الوحدة (حلقة الأعداد الصحيحة) لحقل تربيعي حقيقي هي زمرة لانهائية من الرتبة 1، لأنر1=2،ر2=0{\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}.

كثيرات الحدود ومتسلسلات القوى

بالنسبة لحلقة تبديلية R ، فإن وحدات حلقة كثيرات الحدود R [ x ] هي كثيرات الحدود ص(x)=أ0+أ1x+⋯+أنxن{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}} بحيث يكون الصفر وحدة في R والمعاملات المتبقيةأ1،...،أن{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}هي عديمة القوة ، أي أنها تحققأأناشمال=0{\displaystyle a_{i}^{N}=0}لبعض قيم N. [ 4 ] على وجه الخصوص، إذا كانت R نطاقًا (أو بشكل أعم نطاقًا مُختزلًا )، فإن وحدات R [ x ] هي وحدات R. وحدات حلقة متسلسلة القوىR[[x]]{\displaystyle R[[x]]}هي سلسلة الطاقة ص(x)=∑أنا=0∞أأناxأنا{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}} بحيث يكون الصفر وحدة في R. [ 5 ]

حلقات المصفوفة

الزمرة الوحدوية للحلقة M <sub>n </sub> ( R ) للمصفوفات من الرتبة n × n على الحلقة R هي الزمرة GL<sub> n</sub> ( R ) للمصفوفات القابلة للعكس . بالنسبة للحلقة التبديلية R ، يكون العنصر A من M <sub>n</sub> ( R ) قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان محدد A قابلاً للعكس في R. في هذه الحالة، يمكن التعبير عن A <sup>-1</sup> صراحةً بدلالة المصفوفة المرافقة .

على العموم

بالنسبة للعنصرين x و y في الحلقة R ، إذا1-xy{\displaystyle 1-xy}إذا كانت قابلة للعكس، فإن1-yx{\displaystyle 1-yx}قابلة للعكس مع معكوسها1+y(1-xy)-1x{\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}; [ 6 ] يمكن تخمين هذه الصيغة، ولكن لا يمكن إثباتها، من خلال الحساب التالي في حلقة من متسلسلات القوى غير التبادلية: (1-yx)-1=∑ن≥0(yx)ن=1+y(∑ن≥0(xy)ن)x=1+y(1-xy)-1x.{\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.} انظر إلى هوية هوا للحصول على نتائج مماثلة.

مجموعة من الوحدات

تكون الحلقة التبديلية حلقة محلية إذا كان R ∖ R × مثاليًا أعظميًا .

كما اتضح، إذا كان R ∖ R × مثاليًا ، فإنه بالضرورة مثالي أقصى و R محلي لأن المثالي الأقصى منفصل عن R × .

If R is a finite field, then R× is a cyclic group of order |R| − 1.

Every ring homomorphismf : R → S induces a group homomorphismR× → S×, since f maps units to units. In fact, the formation of the unit group defines a functor from the category of rings to the category of groups. This functor has a left adjoint which is the integral group ring construction.[7]

The group schemeGL1{\displaystyle \operatorname {GL} _{1}} is isomorphic to the multiplicative group schemeGm{\displaystyle \mathbb {G} _{m}} over any base, so for any commutative ring R, the groups GL1⁡(R){\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)} and Gm(R){\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)} are canonically isomorphic to U(R). Note that the functor Gm{\displaystyle \mathbb {G} _{m}} (that is, R ↦ U(R)) is representable in the sense: Gm(R)≃Hom⁡(Z[t,t−1],R){\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)} for commutative rings R (this for instance follows from the aforementioned adjoint relation with the group ring construction). Explicitly this means that there is a natural bijection between the set of the ring homomorphisms Z[t,t−1]→R{\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R} and the set of unit elements of R (in contrast, Z[t]{\displaystyle \mathbb {Z} [t]} represents the additive group Ga{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}, the forgetful functor from the category of commutative rings to the category of abelian groups).

Associatedness

Suppose that R is commutative. Elements r and s of R are called associate if there exists a unit u in R such that r = us; then write r ~ s. In any ring, pairs of additive inverse elements[c]x and −x are associate, since any ring includes the unit −1. For example, 6 and −6 are associate in Z. In general, ~ is an equivalence relation on R.

يمكن أيضًا وصف الارتباط من حيث تأثير R × على R عن طريق الضرب: يرتبط عنصران من R إذا كانا في نفس مدار R × .

في مجال التكامل ، تكون مجموعة العناصر المرتبطة بعنصر غير صفري معين لها نفس عدد العناصر مثل R × .

يمكن اعتبار علاقة التكافؤ ~ أيًا من علاقات شبه المجموعة لغرين المتخصصة في شبه المجموعة الضربية لحلقة تبديلية R.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في حالة الحلقات، يُؤخذ استخدام "العنصر القابل للعكس" على أنه يشير بشكل بديهي إلى الضرب، حيث أن جميع عناصر الحلقة قابلة للعكس بالنسبة للجمع.
  2. ↑ يُستخدمالترميز R × ، الذي قدمه أندريه ويل ، بشكل شائع في نظرية الأعداد ، حيث تظهر زمر الوحدة بكثرة. [ 3 ] يُذكّر الرمز × بأن عملية الزمرة هي الضرب. كما أن استخدام الرمز × كرمز علوي نادر في سياقات أخرى، بينما يشير الرمز * غالبًا إلى الزمرة الثنائية.
  3. ↑ x و − x ليسا بالضرورة مختلفين. على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة modulo 6، يكون لدينا 3 = −3 على الرغم من أن 1 ≠ −1 .

الاقتباسات

  1. ↑ دوميت وفوت 2004
  2. ↑ لانغ 2002
  3. ↑ ويل 1974
  4. ↑ واتكينز 2007 ، النظرية 11.1
  5. ↑ واتكينز 2007 ، النظرية 12.1
  6. ↑ جاكوبسون 2009 ، §2.2 التمرين 4
  7. ↑ كوهن 2003 ، §2.2 التمرين 10

مصادر