حقل تربيعي

في نظرية الأعداد الجبرية ، الحقل التربيعي هو حقل أعداد جبري من الدرجة الثانية على${\displaystyle \mathbf {Q} }$، الأعداد النسبية .

كل حقل تربيعي من هذا القبيل هو شيء ما${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$أين${\displaystyle d}$هو عدد صحيح خالٍ من المربعات (محدد بشكل فريد) يختلف عن${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$. لو${\displaystyle d>0}$، ويُطلق على الحقل التربيعي المقابل اسم الحقل التربيعي الحقيقي ، وإذا${\displaystyle d<0}$، ويطلق عليه اسم حقل تربيعي تخيلي أو حقل تربيعي مركب ، وذلك بحسب ما إذا كان حقلاً فرعياً من حقل الأعداد الحقيقية أم لا .

لقد دُرست الحقول التربيعية بتعمق كبير، في البداية كجزء من نظرية الأشكال التربيعية الثنائية . ولا تزال هناك بعض المسائل التي لم تُحل. وتُعد مسألة عدد الفئات ذات أهمية خاصة.

بالنسبة لعدد صحيح خالٍ من المربعات غير الصفرية${\displaystyle d}$، المميز للحقل التربيعي${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$يكون${\displaystyle d}$لو${\displaystyle d}$متطابق مع${\displaystyle 1}$modulo${\displaystyle 4}$وغير ذلك${\displaystyle 4d}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle d}$يكون${\displaystyle -1}$، ثم${\displaystyle K}$هو حقل الأعداد النسبية الغاوسية ، والمميز هو${\displaystyle -4}$والسبب في هذا التمييز هو أن حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle K}$يتم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$في الحالة الأولى وبواسطة${\displaystyle {\sqrt {d}}}$في الحالة الثانية.

مجموعة المميزات للحقول التربيعية هي بالضبط مجموعة المميزات الأساسية (باستثناء${\displaystyle 1}$(وهو مميز أساسي ولكنه ليس مميز الحقل التربيعي).

أي عدد أولي${\displaystyle p}$يؤدي إلى ظهور مثال${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$في حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$حقل تربيعي${\displaystyle K}$. تماشياً مع النظرية العامة لتقسيم المثاليات الأولية في امتدادات غالوا ، قد يكون هذا ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p}$خامل​

${\displaystyle (p)}$هو مثال مثالي.

حلقة القسمة هي الحقل المنتهي الذي${\displaystyle p^{2}}$عناصر:${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$.

${\displaystyle p}$الانقسامات

${\displaystyle (p)}$هو نتاج مثاليين أوليين متميزين لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

حلقة القسمة هي الناتج${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$.

${\displaystyle p}$متفرع​

${\displaystyle (p)}$هو مربع مثالي أولي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

تحتوي حلقة القسمة على عناصر عديمة القوة غير صفرية.

تحدث الحالة الثالثة إذا وفقط إذا${\displaystyle p}$يقسم التمييز${\displaystyle D}$تحدث الحالتان الأولى والثانية عندما يكون رمز كرونكر${\displaystyle (D/p)}$يساوي${\displaystyle -1}$و${\displaystyle +1}$على التوالي. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle p}$هو عدد أولي فردي لا يقسم${\displaystyle D}$، ثم${\displaystyle p}$ينقسم إذا وفقط إذا${\displaystyle D}$يتطابق مع مربع بتردد${\displaystyle p}$الحالتان الأوليان متساويتان في احتمالية الحدوث، بمعنى ما.${\displaystyle p}$يمر عبر الأعداد الأولية - انظر نظرية كثافة تشيبوتاريف . ^{[ 2 ]}

ينص قانون التبادل التربيعي على أن سلوك انقسام العدد الأولي${\displaystyle p}$في حقل تربيعي يعتمد فقط على${\displaystyle p}$modulo${\displaystyle D}$، أين${\displaystyle D}$هو المجال المميز.

يمكن تحديد زمرة الفئات لامتداد حقل تربيعي باستخدام حد مينكوفسكي ورمز كرونكر نظرًا لنهاية زمرة الفئات . ^{[ 3 ]} حقل تربيعي${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$لديه تمييز$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$ إذن، حد مينكوفسكي هو ^{[ 4 ]}$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

ثم، يتم توليد مجموعة الفئات المثالية بواسطة المُثُل الأولية التي يكون معيارها أقل من${\displaystyle M_{K}}$يمكن القيام بذلك من خلال النظر إلى تفكيك المُثُل${\displaystyle (p)}$ل${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$مكان رئيسي${\displaystyle |p|<M_{k}.}$^{[ 1 ] الصفحة 72}يمكن إيجاد هذه التحليلات باستخدامنظرية ديديكيند-كومر.

يُبين الجدول التالي بعض رتب المميزات الصغيرة للحقول التربيعية. الرتبة القصوى لحقل عددي جبري هي حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به ، ومميز هذه الرتبة القصوى هو مميز الحقل. أما مميز الرتبة غير القصوى فهو حاصل ضرب مميز الرتبة القصوى المناظرة في مربع محدد المصفوفة التي تُمثل أساسًا من الرتبة غير القصوى على أساس من الرتبة القصوى. يمكن تعريف جميع هذه المميزات بالصيغة التالية: مميز حقل عددي جبري §  التعريف .

بالنسبة لحلقات الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية، يتم إعطاء رقم الفئة المثالي ، الذي يقيس فشل التحليل الفريد ، في OEIS A003649 ؛ بالنسبة للحالة التخيلية ، يتم إعطاؤها في OEIS A000924 .

طلب	تمييزي	رقم الفصل	الوحدات	تعليقات
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$	${\displaystyle -20}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	صفوف مثالية${\displaystyle (1)}$،${\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-19}})\right]}$	${\displaystyle -19}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	المجال المثالي الرئيسي ، وليس المجال الإقليدي
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[2{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -16}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	الترتيب غير الأقصى
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-15}})\right]}$	${\displaystyle -15}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pm 1}$	صفوف مثالية${\displaystyle (1)}$،${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-15}})\right)}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]}$	${\displaystyle -12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	الترتيب غير الأقصى
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-11}})\right]}$	${\displaystyle -11}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	إقليدي
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-2}}\right]}$	${\displaystyle -8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	إقليدي
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-7}})\right]}$	${\displaystyle -7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1}$	الأعداد الصحيحة الكلاينية
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-1}}\right]}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ (دوري من النظام)${\displaystyle 4}$)	الأعداد الصحيحة الغاوسية
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {-3}})\right]}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm 1,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})}$ (دوري من النظام)${\displaystyle 6}$)	أعداد أيزنشتاين
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {-21}}\right]}$	${\displaystyle -84}$	${\displaystyle 4}$		مجموعة الفئات غير الدورية:${\displaystyle (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right]}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm \left({\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right)^{n}}$ (معياري)${\displaystyle (-1)^{n}}$)	الأعداد الذهبية
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {2}}\right]}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ (معياري)${\displaystyle (-1)^{n}}$)
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {3}}\right]}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (2+{\sqrt {3}})^{n}}$ (معياري)${\displaystyle 1}$)
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {13}})\right]}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm \left({\tfrac {1}{2}}(3+{\sqrt {13}})\right)^{n}}$ (معياري)${\displaystyle (-1)^{n}}$)
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {17}})\right]}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm (4+{\sqrt {17}})^{n}}$ (معياري)${\displaystyle (-1)^{n}}$)
${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\sqrt {5}}\right]}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}}$ (معياري)${\displaystyle (-1)^{n}}$)	الترتيب غير الأقصى

بعض هذه الأمثلة مذكورة في كتاب أرتين، الجبر (الطبعة الثانية)، §13.8.

• بويل، دنكان (1989)، الأشكال التربيعية الثنائية: النظرية الكلاسيكية والحسابات الحديثة ، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-97037-1الفصل السادس.
• صموئيل، بيير (1972)، النظرية الجبرية للأعداد (  طبعة بغلاف مقوى)، باريس / بوسطن: شركة هيرمان / هوتون ميفلين، رقم ISBN 978-0-901-66506-5
  • صموئيل، بيير (2008)، النظرية الجبرية للأعداد (  طبعة ورقية)، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-46666-8
• ستيوارت، إنديانا ؛ تال، دي أو (1979)، نظرية الأعداد الجبرية ، تشابمان وهول، ISBN 0-412-13840-9الفصل 3.1.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الحقل التربيعي" . عالم الرياضيات .
• "الحقل التربيعي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]