رمز التحقق من التكافؤ منخفض الكثافة

تُعدّ رموز التحقق من التكافؤ منخفضة الكثافة ( LDPC ) ، والمعروفة أيضًا برموز غالاغر ، فئةً من رموز تصحيح الأخطاء التي طُرحت لأول مرة عام 1960. وقد اكتسبت هذه الرموز، إلى جانب رموز التوربو وثيقة الصلة بها، أهميةً بالغةً في نظرية الترميز ونظرية المعلومات منذ أواخر التسعينيات. وتُستخدم هذه الرموز اليوم على نطاق واسع في تطبيقات تتراوح من الاتصالات اللاسلكية إلى تخزين ذاكرة الفلاش. وقد أحدثت، جنبًا إلى جنب مع رموز التوربو، ثورةً في نظرية الترميز، محققةً تحسيناتٍ هائلةً في الأداء مقارنةً برموز تصحيح الأخطاء التقليدية. ^{[ 1 ]}

ابتكر روبرت ج. غالاغر رموز LDPC في عام 1960. وقد طوّر غالاغر هذه الرموز في أطروحته للدكتوراه ^{[ 2 ]} في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ^{[ 3 ] [ 4 ]} لم تلقَ هذه الرموز رواجًا كبيرًا آنذاك، نظرًا لأن خوارزمية فك التشفير التكرارية الخاصة بها (على الرغم من تعقيدها الخطي) كانت مكلفة حسابيًا للغاية بالنسبة للأجهزة المتاحة. ثم عادت هذه الرموز إلى الواجهة في منتصف التسعينيات، وذلك بفضل تحسين الأجهزة التي جعلتها عملية، ولأنها وفّرت بديلاً عالي الأداء وخاليًا من براءات الاختراع لرموز التوربو .

يُعدّ التكيف مع خوارزمية فك التشفير التكرارية القائمة على نشر الاعتقاد عنصرًا أساسيًا في أداء رموز LDPC . وبموجب هذه الخوارزمية، يمكن تصميمها للوصول إلى الحدود النظرية ( السعات ) للعديد من القنوات ^{[ 5 ]} بتكاليف حسابية منخفضة.

تجدد الاهتمام برموز LDPC بعد اختراع رموز التوربو (1993)، وهي رموز وثيقة الصلة بها، حيث تفوقت خوارزمية فك التشفير التكرارية الخاصة بها على الرموز الأخرى المستخدمة آنذاك. ثم أُعيد اكتشاف رموز LDPC في عام 1996. ^{[ 6 ]} في البداية، فضّلت الصناعة رموز LDPC على رموز التوربو بسبب القيود المتعلقة ببراءات الاختراع المفروضة على الأخيرة. ^{[ 7 ]} ومنذ اكتشافها، شهدت رموز LDPC تطورات جعلتها تتفوق على رموز التوربو من حيث الحد الأدنى للخطأ والأداء في نطاق معدلات الترميز العالية ، مما جعل رموز التوربو أكثر ملاءمة لمعدلات الترميز المنخفضة. ^{[ 8 ]} وعلى الرغم من انتهاء صلاحية براءة الاختراع الأساسية لرموز التوربو في عام 2013، ^{[ 9 ] [ 10 ]} إلا أن رموز LDPC لا تزال مفضلة في كثير من الحالات لمزاياها التقنية.

ينبع الاهتمام النظري برموز LDPC أيضًا من سهولة تحليلها رياضيًا. في أطروحته، بيّن غالاغر أن رموز LDPC تحقق حد جيلبرت-فارشاموف للرموز الخطية على الحقول الثنائية باحتمالية عالية. على قناة المحو الثنائية ، صُممت متواليات الرموز بمعدلات قريبة جدًا من سعة القناة، مع احتمالية خطأ فك تشفير معدومة بشكل مؤكد وتعقيد فك تشفير خطي. ^{[ 11 ]} في عام 2020، أُثبت أن رموز LDPC التي وضعها غالاغر تحقق سعة فك تشفير القائمة ، كما تحقق حد جيلبرت-فارشاموف للرموز الخطية على الحقول العامة. ^{[ 12 ]}

نظريًا، يركز تحليل رموز LDPC على متواليات من الرموز ذات معدل ترميز ثابت وطول كتلة متزايد . تُصمم هذه المتواليات عادةً لتناسب مجموعة من القنوات. بالنسبة للمتواليات المصممة بشكل مناسب، يمكن غالبًا إثبات أن خطأ فك التشفير في ظل انتشار الاعتقاد يكون ضئيلاً للغاية (يقترب من الصفر مع طول الكتلة) بمعدلات قريبة جدًا من سعات القنوات. علاوة على ذلك، يمكن تحقيق ذلك بتعقيد خطي في طول الكتلة.

أصبح هذا الأداء النظري ممكناً باستخدام طريقة تصميم مرنة تعتمد على رسوم تانر البيانية المتفرقة ( رسوم بيانية ثنائية الأجزاء متخصصة ). ^{[ 13 ]}

كما تم تحليل مجموعات رموز LDPC باستخدام أساليب من الفيزياء الإحصائية. درس موراياما وكاباشيما وسعد وفيسنتي رموز LDPC المنتظمة من خلال تشبيه نظام الدوران وطريقة النسخ المتماثل، ^{[ 14 ]} وفي أعمال لاحقة تم توسيع هذا التحليل ليشمل رموز LDPC على حقول غالوا . ^{[ 15 ]}

منذ عام 2013، طُرحت رموز LDPC كوسيلة لتصحيح الأخطاء في الحواسيب الكمومية، نظرًا لأنها لا تتطلب سوى عدد قليل من الكيوبتات الإضافية لتصحيح الأخطاء، كما أثبت ذلك غوتسمان وجامعة ستراسبورغ وأليس وبوب وآخرون. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} وأفادت دراسة نُشرت عام 2025 عن رموز LDPC-CSS الكمومية لقناة إزالة الاستقطاب الكمومية، والتي اقترب أداء فك التشفير العددي فيها من حد التجزئة ، مع الحفاظ على تعقيد فك التشفير خطيًا بالنسبة لعدد الكيوبتات الفيزيائية. ^{[ 20 ]}

في عام 2003، تفوّق رمز LDPC ذو نمط التكرار التراكمي غير المنتظم (IRA) على ستة رموز توربو ليصبح رمز تصحيح الأخطاء في معيار DVB-S2 الجديد للتلفزيون الرقمي . ^{[ 21 ]} استند القرار إلى عوامل تقنية مثل سهولة المعالجة المتوازية وحدود الخطأ الدنيا، ^{[ 22 ]} بالإضافة إلى عدم وجود براءة اختراع لرمز LDPC. ^{[ 23 ]}

في عام 2008، تفوقت تقنية LDPC على رموز التوربو الالتفافية كنظام تصحيح الأخطاء الأمامية (FEC) لمعيار ITU -T G.hn. ^{[ 24 ]} وقد اختار معيار G.hn رموز LDPC بدلاً من رموز التوربو نظرًا لانخفاض تعقيد فك التشفير فيها (خاصةً عند التشغيل بمعدلات بيانات تقارب 1.0  جيجابت/ثانية)، ولأن رموز التوربو المقترحة أظهرت حدًا أدنى كبيرًا للخطأ ضمن نطاق التشغيل المطلوب. ^{[ 25 ]}

تُستخدم رموز LDPC أيضًا في شبكات إيثرنت 10GBASE-T ، التي تنقل البيانات بسرعة 10 جيجابت في الثانية عبر كابلات الأزواج الملتوية. ومنذ عام 2009، أصبحت رموز LDPC جزءًا من معيار Wi-Fi 802.11 كجزء اختياري من معياري 802.11n و 802.11ac ، ضمن مواصفات الطبقة الفيزيائية عالية الإنتاجية (HT). ^{[ 26 ]} ويُعدّ LDPC جزءًا إلزاميًا من معيار 802.11ax (Wi-Fi 6). ^{[ 27 ]}

تُضيف بعض أنظمة OFDM تصحيحًا خارجيًا إضافيًا للأخطاء يُعالج الأخطاء العرضية (الحد الأدنى للخطأ) التي تتجاوز رمز تصحيح LDPC الداخلي حتى عند معدلات خطأ بت منخفضة . على سبيل المثال، يستخدم رمز ريد-سولومون مع تعديل LDPC المشفر (RS-LCM) رمز ريد-سولومون خارجيًا. ^{[ 28 ]} وتستخدم معايير DVB-S2 وDVB-T2 وDVB-C2 جميعها رمز BCH خارجيًا لإزالة الأخطاء المتبقية بعد فك تشفير LDPC. ^{[ 29 ]}

تستخدم تقنية الجيل الخامس NR ترميز بولار لقنوات التحكم وترميز LDPC لقنوات البيانات. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

على الرغم من نجاح تقنية LDPC في محركات الأقراص الصلبة التجارية، إلا أن الاستفادة الكاملة من قدرتها على تصحيح الأخطاء في محركات الأقراص الصلبة SSD تتطلب استشعارًا دقيقًا وغير تقليدي لذاكرة الفلاش، مما يؤدي إلى زيادة زمن استجابة قراءة الذاكرة. يُعدّ LDPC-in-SSD ^{[ 32 ]} نهجًا فعالًا لتطبيق LDPC في محركات الأقراص الصلبة SSD مع زيادة طفيفة جدًا في زمن الاستجابة، مما يجعل LDPC-in-SSD واقعًا ملموسًا. ومنذ ذلك الحين، تم اعتماد LDPC على نطاق واسع في محركات الأقراص الصلبة SSD التجارية، سواءً المخصصة للمستهلكين أو المؤسسات، من قبل كبرى شركات تصنيع وحدات التخزين. تستخدم العديد من محركات الأقراص الصلبة TLC (والتي تلتها) تقنية LDPC. في البداية، يتم تجربة فك التشفير السريع (المسح الثنائي)، والذي يمكن اللجوء إليه لاحقًا عن طريق فك التشفير البرمجي الأبطأ ولكنه أكثر فعالية. ^{[ 33 ]}

تُعرَّف رموز LDPC وظيفيًا بواسطة مصفوفة فحص التكافؤ المتفرقة. غالبًا ما تُولَّد هذه المصفوفة المتفرقة عشوائيًا، مع مراعاة قيود التفرق - سيتم مناقشة بناء رمز LDPC لاحقًا . صُمِّمت هذه الرموز لأول مرة بواسطة روبرت غالاغر في عام 1960. ^{[ 4 ]}

فيما يلي جزء من رسم بياني لمثال على كود LDPC ^{[ 34 ]} باستخدام ترميز الرسم البياني العاملي لفورني . في هذا الرسم البياني، ترتبط n عقدة متغيرة في الجزء العلوي من الرسم البياني بـ ( n - k ) عقدة قيد في الجزء السفلي من الرسم البياني.

هذه طريقة شائعة لتمثيل رمز LDPC ( n , k ) بيانيًا. عند وضع بتات الرسالة الصحيحة على المربعات T في أعلى الرسم البياني، فإنها تُحقق القيود البيانية. تحديدًا، جميع الخطوط المتصلة بعقدة متغيرة (مربع يحمل علامة "=") لها نفس القيمة، وجميع القيم المتصلة بعقدة عامل (مربع يحمل علامة "+") يجب أن يكون مجموعها، بتردد اثنين، صفرًا (بمعنى آخر، يجب أن يكون مجموعها عددًا زوجيًا، أو يجب أن يكون هناك عدد زوجي من القيم الفردية). 

بغض النظر عن أي خطوط خارجة عن نطاق الصورة، توجد ثماني سلاسل محتملة من ستة بتات تُقابل كلمات ترميز صالحة: (أي 000000، 001110، 010111، 011001، 100101، 101011، 110010، 111100). يُمثل جزء ترميز LDPC هذا رسالة من ثلاثة بتات مُرمّزة بستة بتات. يُستخدم التكرار هنا لزيادة احتمالية التعافي من أخطاء القناة. هذا ترميز خطي  (6، 3) ، حيث n = 6 و k = 3.    

مع تجاهل الخطوط الخارجة عن الصورة مرة أخرى، فإن مصفوفة فحص التكافؤ التي تمثل هذا الجزء من الرسم البياني هي

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&0&1\\1&0&0&1&1&0\\\end{pmatrix}}.}$

في هذه المصفوفة، يمثل كل صف أحد قيود التحقق من التكافؤ الثلاثة، بينما يمثل كل عمود أحد البتات الستة في كلمة الترميز المستلمة.

In this example, the eight codewords can be obtained by putting the parity-check matrixH into this form ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-P^{T}|I_{nk}\end{bmatrix}}}$ through basic row operations in GF(2):

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&0&1\\1&0&0&1&1&0\\\end{pmatrix}}_{1}\sim {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&0&1\\0&1&1&0&1&0\\\end{pmatrix}}_{2}\sim {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&1&0&1\\\end{pmatrix}}_{3}\sim {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}_{4}.}$

Step 1: H.

Step 2: Row 1 is added to row 3.

Step 3: Row 2 and 3 are swapped.

Step 4: Row 1 is added to row 3.

From this, the generator matrixG can be obtained as ${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$ (noting that in the special case of this being a binary code ${\displaystyle P=-P}$), or specifically:

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}.}$

Finally, by multiplying all eight possible 3-bit strings by G, all eight valid codewords are obtained. For example, the codeword for the bit-string "101" is obtained by

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1\\\end{pmatrix}}\odot {\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&1\\\end{pmatrix}}}$,

where ${\displaystyle \odot }$ is symbol of mod 2 multiplication.

As a check, the row space of G is orthogonal to H such that ${\displaystyle G\odot H^{T}=0}$.

The input bit-string "101" is found as the first 3 bits of the codeword "101011", due to the presence of the identity matrix ${\displaystyle I_{k}}$. The trailing three bits "011" of the codeword are the parity bits.

Each bit of all possible messages can be generated by direct multiplication with the G matrix defined in the previous section. However, this method is seldom used in practice, where codes are picked for ease of encoding. In practice this means the input bits are copied straight to the output, and the check bits computed with a series of encoders. In theory there can be one encoder required for each check bit, but in practice the hardware cost is reduced by picking encoders that can be re-used.

During the encoding of a frame, the input data bits (D) are repeated and distributed to a set of constituent encoders. The constituent encoders are typically accumulators and each accumulator is used to generate a parity symbol. A single copy of the original data (S_0,K-1) is transmitted with the parity bits (P) to make up the code symbols. The S bits from each constituent encoder are discarded.

The parity bit may be used within another constituent code.

In an example using the DVB-S2 rate 2/3 code the encoded block size is 64800 symbols (N=64800) with 43200 data bits (K=43200) and 21600 parity bits (M=21600). Each constituent code (check node) encodes 16 data bits except for the first parity bit which encodes 8 data bits. The first 4680 data bits are repeated 13 times (used in 13 parity codes), while the remaining data bits are used in 3 parity codes (irregular LDPC code).^[35]

For comparison, classic turbo codes typically use two constituent codes configured in parallel, each of which encodes the entire input block (K) of data bits. These constituent encoders are recursive convolutional codes (RSC) of moderate depth (8 or 16 states) that are separated by a code interleaver which interleaves one copy of the frame.

على النقيض من ذلك، يستخدم رمز LDPC العديد من الرموز المكونة منخفضة العمق (المراكم) بالتوازي، حيث يقوم كل منها بتشفير جزء صغير فقط من إطار الإدخال. ويمكن اعتبار هذه الرموز المكونة بمثابة العديد من " الرموز الالتفافية " منخفضة العمق (حالتان) المتصلة عبر عمليات التكرار والتوزيع. وتؤدي عمليات التكرار والتوزيع وظيفة المُشَكِّل في رمز التوربو.

تتيح القدرة على إدارة اتصالات الرموز المكونة المختلفة بدقة أكبر، ومستوى التكرار لكل بت إدخال، مرونةً أكبر في تصميم رموز LDPC، مما قد يؤدي إلى أداء أفضل من رموز التوربو في بعض الحالات. ويبدو أن رموز التوربو لا تزال تتفوق على رموز LDPC عند معدلات الترميز المنخفضة، أو على الأقل يُعد تصميم رموز ذات أداء جيد عند معدلات منخفضة أسهل بالنسبة لرموز التوربو. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

من الناحية العملية، يُعاد استخدام المكونات المادية التي تُشكل المُراكمات أثناء عملية التشفير. أي أنه بمجرد توليد المجموعة الأولى من بتات التكافؤ وتخزينها، تُستخدم نفس المكونات المادية للمُراكمات لتوليد مجموعة أخرى من بتات التكافؤ.

كما هو الحال مع الرموز الأخرى، فإن فك تشفير رمز LDPC باستخدام أقصى احتمال على القناة المتناظرة الثنائية يُعدّ مسألة NP-كاملة ، ^{[ 38 ]} كما هو موضح بالاختزال من المطابقة ثلاثية الأبعاد . لذا، بافتراض أن P  ≠ NP ، وهو افتراض شائع، فإن إجراء فك تشفير أمثل لأي رمز مهما كان حجمه المفيد ليس عمليًا.

مع ذلك، تُعطي التقنيات شبه المثلى القائمة على فك التشفير باستخدام نشر الاعتقاد التكراري نتائج ممتازة، ويمكن تطبيقها عمليًا. تنظر هذه التقنيات إلى كل فحص تكافؤ يُشكّل رمز LDPC كرمز فحص تكافؤ فردي (SPC) مستقل. يُفك تشفير كل رمز SPC على حدة باستخدام تقنيات الإدخال والإخراج اللين (SISO) مثل SOVA و BCJR و MAP ومشتقاتها الأخرى. تُراجع معلومات القرار اللين من كل عملية فك تشفير SISO وتُحدّث باستخدام عمليات فك تشفير SPC أخرى زائدة لنفس بت المعلومات. ثم يُفك تشفير كل رمز SPC مرة أخرى باستخدام معلومات القرار اللين المُحدّثة. تُكرر هذه العملية حتى يتم الحصول على كلمة رمزية صالحة أو استنفاد جميع عمليات فك التشفير. يُشار إلى هذا النوع من فك التشفير غالبًا باسم فك تشفير مجموع الضرب.

غالبًا ما يُشار إلى فك تشفير رموز SPC باسم معالجة "عقدة التحقق"، وغالبًا ما يُشار إلى التحقق المتبادل من المتغيرات باسم معالجة "عقدة المتغير".

في تطبيق عملي لفك تشفير LDPC، يتم فك تشفير مجموعات من رموز SPC بالتوازي لزيادة الإنتاجية.

في المقابل، يكون نشر الاعتقاد على قناة المحو الثنائية بسيطًا بشكل خاص عندما يتكون من إرضاء القيود بشكل متكرر.

على سبيل المثال، لنفترض أن كلمة الترميز الصحيحة، 101011، من المثال أعلاه، تُرسل عبر قناة محو ثنائية وتُستقبل مع حذف البت الأول والرابع لتُنتج 011. بما أن الرسالة المرسلة يجب أن تستوفي قيود الترميز، فيمكن تمثيل الرسالة بكتابة الرسالة المستلمة في أعلى مخطط العوامل.

في هذا المثال، لا يمكن استعادة البت الأول بعد، لأن جميع القيود المرتبطة به تحتوي على أكثر من بت مجهول. ولمتابعة فك تشفير الرسالة، يجب تحديد القيود المرتبطة ببت واحد فقط من البتات المحذوفة. في هذا المثال، يكفي القيد الثاني فقط. عند فحص القيد الثاني، يتضح أن البت الرابع كان صفرًا، إذ أن الصفر في هذا الموضع هو الشرط الوحيد لتحقيق القيد.

ثم تُكرر هذه العملية. يمكن الآن استخدام القيمة الجديدة للبت الرابع مع القيد الأول لاستعادة البت الأول كما هو موضح أدناه. هذا يعني أن البت الأول يجب أن يكون واحدًا لتحقيق القيد الأيسر.

وبالتالي، يمكن فك تشفير الرسالة بشكل تكراري. أما بالنسبة لنماذج القنوات الأخرى، فإن الرسائل المتبادلة بين العقد المتغيرة وعقد التحقق هي أعداد حقيقية ، تعبر عن احتمالات وتوقعات الاعتقاد.

يمكن التحقق من هذه النتيجة بضرب الكلمة المشفرة المصححة r في مصفوفة التحقق من التكافؤ H :

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {H\odot r} ={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&0&1\\1&0&0&1&1&0\\\end{pmatrix}}\odot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}.}$

لأن نتيجة هذه العملية z ( المتلازمة ) هي متجه الصفر ثلاثة × واحد، فإن كلمة الترميز الناتجة r يتم التحقق منها بنجاح.

بعد اكتمال عملية فك التشفير، يمكن استخراج بتات الرسالة الأصلية '101' من خلال النظر إلى أول 3 بتات من كلمة الترميز.

على الرغم من أن هذا المثال التوضيحي للمحو لا يُظهر استخدام فك التشفير ذي القرار الناعم أو تمرير الرسائل ذي القرار الناعم، والذي يُستخدم في جميع أجهزة فك التشفير LDPC التجارية تقريبًا.

بالنسبة لأحجام الكتل الكبيرة، تُبنى رموز LDPC عادةً بدراسة سلوك وحدات فك التشفير أولًا. عندما يؤول حجم الكتلة إلى اللانهاية، يمكن إثبات أن لوحدات فك تشفير LDPC عتبة ضوضاء، حيث يُمكن فك التشفير بشكل موثوق دونها، ودونها، ^{[ 42 ]} ويُشار إليها عادةً بتأثير الحافة . ​​يُمكن تحسين هذه العتبة بإيجاد أفضل نسبة من الأقواس من عقد التحقق والأقواس من العقد المتغيرة. يُعد مخطط الخروج (EXIT) طريقة بيانية تقريبية لتصور هذه العتبة . ^{[ 43 ]}

ينقسم بناء رمز LDPC محدد بعد هذا التحسين إلى نوعين رئيسيين من التقنيات: ^{[ 43 ]}

• الأساليب شبه العشوائية
• الأساليب التوافقية

يعتمد بناء الرموز باستخدام أسلوب شبه عشوائي على نتائج نظرية تُشير إلى أن البناء العشوائي يُحقق أداءً جيدًا في فك التشفير عند أحجام الكتل الكبيرة. ^{[ 6 ]} عمومًا، تحتوي الرموز شبه العشوائية على مُشفِّرات مُعقدة، ولكن قد تحتوي الرموز شبه العشوائية ذات أفضل مُفكِّكات على مُشفِّرات بسيطة. ^{[ 44 ]} غالبًا ما تُطبَّق قيود مُختلفة للمساعدة في ضمان ظهور الخصائص المطلوبة المُتوقعة عند الحد النظري لحجم الكتلة اللانهائي عند حجم كتلة محدود. ^{[ 43 ]}

يمكن استخدام الأساليب التوافقية لتحسين خصائص رموز LDPC ذات حجم الكتلة الصغير أو لإنشاء رموز باستخدام مشفرات بسيطة.

تعتمد بعض رموز LDPC على رموز ريد-سولومون ، مثل رمز RS-LDPC المستخدم في معيار إيثرنت 10 جيجابت . ^{[ 45 ]} بالمقارنة مع رموز LDPC المولدة عشوائيًا، يمكن أن تتميز رموز LDPC المهيكلة - مثل رمز LDPC المستخدم في معيار DVB-S2 - بأجهزة أبسط وبالتالي أقل تكلفة، لا سيما الرموز المصممة بحيث تكون مصفوفة H مصفوفة دائرية . ^{[ 46 ]}

ثمة طريقة أخرى لبناء رموز LDPC وهي استخدام الأشكال الهندسية المحدودة . وقد اقترح هذه الطريقة Y. Kou وآخرون في عام 2001. ^{[ 47 ]}

يمكن مقارنة رموز LDPC بأنظمة ترميز قوية أخرى، مثل رموز التوربو . ^{[ 48 ]} من جهة، يتأثر أداء معدل خطأ البت (BER) لرموز التوربو بقيود الرموز المنخفضة. ^{[ 49 ]} لا توجد قيود على الحد الأدنى للمسافة في رموز LDPC، ^{[ 50 ]} مما يعني ضمنيًا أن رموز LDPC قد تكون أكثر كفاءة من رموز التوربو عند معدلات ترميز عالية نسبيًا (مثل 3/4، 5/6، 7/8). مع ذلك، لا تُعد رموز LDPC بديلًا كاملًا: فرموز التوربو هي الحل الأمثل عند معدلات الترميز المنخفضة (مثل 1/6، 1/3، 1/2). ^{[ 36 ] [ 37 ]}

• تقديم رموز التحقق من التكافؤ منخفضة الكثافة (بقلم سارة جيه جونسون، 2010)
• رموز LDPC – برنامج تعليمي موجز (بواسطة بيرنهارد لاينر، 2005)
• أكواد LDPC (جامعة فيينا التقنية) مؤرشفة في 28 فبراير 2019 على موقع Wayback Machine
• ماكاي، ديفيد جيه سي (25 سبتمبر 2003). "47. رموز التحقق من التكافؤ منخفضة الكثافة" . نظرية المعلومات، والاستدلال، وخوارزميات التعلم . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 557-573 . ISBN  978-0-521-64298-9.
• غورو سوامي، فينكاتيسان (2006). "فك التشفير التكراري لرموز التحقق من التكافؤ منخفضة الكثافة". arXiv : cs/0610022 .
• قواعد LDPC: مقدمة (بقلم أمين شوكرولاهي، 2003)
• فك تشفير رموز LDPC عن طريق نشر الاعتقاد (بقلم أمير بن ناتان، جامعة برينستون)
• رموز Turbo و LDPC: التنفيذ والمحاكاة والتوحيد القياسي (جامعة ويست فرجينيا)
• نظرية المعلومات والترميز (ماركو هينهوفر، 2011، جامعة إلميناو التقنية) - يناقش رموز LDPC في الصفحات 74-78.
• رموز LDPC ونتائج الأداء
• وصلة DVB-S.2، بما في ذلك ترميز LDPC (MatLab)
• يتوفر كود المصدر لترميز وفك ترميز ومحاكاة رموز LDPC من مواقع متعددة:
  • رموز LDPC الثنائية في لغة C
  • أكواد LDPC الثنائية للغة بايثون (الخوارزمية الأساسية مكتوبة بلغة C)
  • مشفر LDPC ومفكك LDPC في MATLAB
  • مجموعة أدوات تصحيح الأخطاء الأمامية السريعة (AFF3CT) بلغة C++11 لمحاكاة LDPC السريعة