الهندسة المحدودة

الهندسة المستوية الأفينية هي مجموعة غير فارغة X (تسمى عناصرها "نقاطًا")، بالإضافة إلى مجموعة غير فارغة L من المجموعات الجزئية من X (تسمى عناصرها "خطوطًا")، بحيث:

1. لكل نقطتين مختلفتين، يوجد خط واحد فقط يحتوي على كلتا النقطتين.
2. بديهية بلايفير : بالنظر إلى سطر${\displaystyle \ell }$ونقطة${\displaystyle p}$غير متاح${\displaystyle \ell }$يوجد خط واحد فقط${\displaystyle \ell '}$يحتوي على${\displaystyle p}$بحيث${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. توجد مجموعة من أربع نقاط، لا تنتمي ثلاث منها إلى نفس الخط.

يضمن المبدأ الأخير أن الهندسة ليست تافهة (إما فارغة أو بسيطة للغاية بحيث لا تكون ذات أهمية، مثل خط واحد عليه عدد عشوائي من النقاط)، بينما يحدد المبدأان الأولان طبيعة الهندسة.

أبسط مستوى تآلفي يحتوي على أربع نقاط فقط؛ ويُسمى المستوى التآلفي من الرتبة الثانية. (رتبة المستوى التآلفي هي عدد النقاط على أي خط، انظر أدناه). ولأن أي ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، فإن أي زوج من النقاط يُحدد خطًا مستقيمًا فريدًا، ولذلك يحتوي هذا المستوى على ستة خطوط مستقيمة. وهو يُطابق شكلًا رباعي الأوجه حيث تُعتبر الحواف غير المتقاطعة "متوازية"، أو شكلًا مربعًا حيث لا تُعتبر الأضلاع المتقابلة فقط "متوازية"، بل تُعتبر الأقطار أيضًا "متوازية".

يُعرف المستوى الأفيني من الرتبة 3 باسم تكوين هيس .

بشكل عام، يحتوي المستوى الأفيني المحدود من الرتبة n على n ² نقطة و n ² + n خطًا؛ يحتوي كل خط على n نقطة، وتقع كل نقطة على n + 1 خطًا.

الهندسة المستوية الإسقاطية هي مجموعة غير فارغة X (تسمى عناصرها "نقاطًا")، بالإضافة إلى مجموعة غير فارغة L من المجموعات الجزئية من X (تسمى عناصرها "خطوطًا")، بحيث:

1. لكل نقطتين مختلفتين، يوجد خط واحد فقط يحتوي على كلتا النقطتين.
2. يحتوي تقاطع أي خطين مختلفين على نقطة واحدة فقط.
3. توجد مجموعة من أربع نقاط، لا تنتمي ثلاث منها إلى نفس الخط.

يُظهر فحص البديهيتين الأوليين أنهما متطابقتان تقريبًا، باستثناء تبديل أدوار النقاط والخطوط. وهذا يُشير إلى مبدأ الازدواجية في هندسة المستويات الإسقاطية، ما يعني أن أي عبارة صحيحة صالحة في جميع هذه الهندسات تظل صحيحة إذا استبدلنا النقاط بالخطوط والخطوط بالنقاط. تحتوي أصغر هندسة تُحقق البديهيات الثلاث على سبع نقاط. وفي أبسط هذه المستويات الإسقاطية، توجد أيضًا سبعة خطوط؛ تقع كل نقطة على ثلاثة خطوط، ويحتوي كل خط على ثلاث نقاط.

يُطلق على هذا المستوى الإسقاطي تحديدًا اسم مستوى فانو . إذا أُزيل أي خط من هذا المستوى، مع النقاط الواقعة عليه، فإن الشكل الهندسي الناتج هو المستوى الأفيني من الرتبة 2. يُسمى مستوى فانو بالمستوى الإسقاطي من الرتبة 2 لأنه فريد (حتى التشاكل). عمومًا، يحتوي المستوى الإسقاطي من الرتبة n ^على n² + n + 1 نقطة، وله نفس عدد الخطوط؛ إذ يحتوي كل خط على n + 1 نقطة، وتقع كل نقطة على n + 1 خط.        

يُطلق على تبديل النقاط السبع في مستوى فانو، الذي يُحوّل النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد إلى نقاط أخرى تقع على خط مستقيم واحد، اسم " التوازي الخطي " للمستوى. مجموعة التوازي الخطي الكاملة من الرتبة 168، وهي متماثلة مع المجموعة PSL(2,7) ≈ PSL(3,2)، والتي بدورها متماثلة في هذه الحالة الخاصة مع المجموعة الخطية العامة GL(3,2) ≈ PGL(3,2) .

المستوى المنتهي من الرتبة n هو مستوى يحتوي كل خط فيه على n نقطة (في حالة المستوى الأفيني)، أو يحتوي كل خط فيه على n + 1 نقطة (في حالة المستوى الإسقاطي). ومن أهم الأسئلة المفتوحة في الهندسة المنتهية:

هل رتبة المستوى المحدود هي دائماً قوة عدد أولي؟

يُعتقد أن هذا صحيح.

توجد مستويات أفينية وإسقاطية من الرتبة n عندما يكون n عددًا أوليًا مرفوعًا إلى أس صحيح موجب ، وذلك باستخدام المستويات الأفينية والإسقاطية على الحقل المنتهي الذي يحتوي على n = p ^k عنصرًا. كما توجد مستويات غير مشتقة من الحقول المنتهية (على سبيل المثال، لـ${\displaystyle n=9}$)، لكن جميع الأمثلة المعروفة لها رتبة قوة عدد أولي. ^{[ 1 ]}

أفضل نتيجة عامة حتى الآن هي نظرية بروك-رايزر لعام 1949، والتي تنص على ما يلي:

إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا على شكل 4 k + 1 أو 4 k + 2 وكان n لا يساوي مجموع مربعين صحيحين ، فإن n لا يظهر كرتبة لمستوى محدود.

أصغر عدد صحيح ليس قوة أولية ولا يشمله مبرهنة بروك-رايزر هو 10؛ العدد 10 على الصورة 4k + 2 ، ولكنه يساوي مجموع مربعي 1/2 + ^3/2 . وقد تم إثبات عدم وجود مستوى محدود من الرتبة 10 في برهان ^{بمساعدة} الحاسوب انتهى عام 1989 - انظر ( لام 1991 ) لمزيد من التفاصيل.

أصغر رقم تالي يجب أخذه في الاعتبار هو 12، والذي لم يتم إثبات نتيجة إيجابية أو سلبية له.

يمكن العثور على أمثلة فردية في عمل توماس بينينجتون كيركمان (1847) والتطوير المنهجي للهندسة الإسقاطية المحدودة الذي قدمه فون ستودت (1856).

وضع عالم الرياضيات الإيطالي جينو فانو أول معالجة بديهية للهندسة الإسقاطية المحدودة . في عمله ^{[ 2 ]} حول إثبات استقلال مجموعة البديهيات للفضاء الإسقاطي ذي البعد n التي طورها، ^{[ 3 ]} تناول فضاءً ثلاثي الأبعاد محدودًا يحتوي على 15 نقطة و35 خطًا و15 مستوى (انظر الرسم التوضيحي)، حيث لا يحتوي كل خط إلا على ثلاث نقاط. ^{[ 4 ]}

في عام 1906، وصف أوزوالد فيبلين وويليام هـ. بوسّي الهندسة الإسقاطية باستخدام إحداثيات متجانسة ذات مدخلات من حقل غالوا GF( q ). وعند استخدام n + 1 إحداثية، يُرمز للهندسة المحدودة ذات البعد n بالرمز PG( n, q ). ^{[ 5 ]} وهي تظهر في الهندسة التركيبية ولها مجموعة تحويل مرتبطة بها .

يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي S بشكل بديهي على أنه مجموعة P (مجموعة النقاط)، بالإضافة إلى مجموعة L من المجموعات الفرعية لـ P (مجموعة الخطوط)، والتي تحقق هذه البديهيات  : ^{[ 6 ]}

• كل نقطتين مختلفتين p و q تقعان على خط واحد بالضبط.
• بديهية فيبلين: [ ^{7 ] إذا} كانت a و b و c و d نقاطًا متميزة وتلتقي الخطوط المارة بـ ab و cd ، فإن الخطوط المارة بـ ac و bd تلتقي أيضًا .
• أي خط يحتوي على 3 نقاط على الأقل.

تُزيل البديهية الأخيرة الحالات القابلة للاختزال التي يمكن كتابتها كاتحاد منفصل للفضاءات الإسقاطية مع خطوط ثنائية النقاط تصل بين أي نقطتين في فضاءات إسقاطية مختلفة. وبشكل أكثر تجريدًا، يمكن تعريفها على أنها بنية وقوع ( P ، L ، I ) تتكون من مجموعة P من النقاط، ومجموعة L من الخطوط، وعلاقة وقوع I تحدد أي النقاط تقع على أي الخطوط.

يتطلب الحصول على فضاء إسقاطي محدود مسلمة أخرى:

• مجموعة النقاط P هي مجموعة منتهية.

في أي فضاء إسقاطي محدود، يحتوي كل خط على نفس عدد النقاط ويتم تعريف ترتيب الفضاء على أنه أقل بواحد من هذا العدد المشترك.

الفضاء الجزئي من الفضاء الإسقاطي هو مجموعة جزئية X ، بحيث يكون أي خط يحتوي على نقطتين من X مجموعة جزئية من X (أي أنه مُحتوى بالكامل في X ). الفضاء الكامل والفضاء الفارغ هما دائمًا فضاءان جزئيان.

يُقال إن البعد الهندسي للفضاء هو n إذا كان هذا هو أكبر عدد توجد عنده سلسلة تصاعدية صارمة من الفضاءات الفرعية من هذا الشكل:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

يُحقق البناء الجبري القياسي للأنظمة هذه البديهيات. بالنسبة لحلقة القسمة D، يُمكن إنشاء فضاء متجهي ذي ( n + 1) بُعد فوق D (بعد الفضاء المتجهي هو عدد العناصر في الأساس). ولتكن P الفضاءات الجزئية أحادية البُعد (ذات مولد واحد)، و L الفضاءات الجزئية ثنائية البُعد (ذات مولدين مستقلين) (مغلقة تحت جمع المتجهات) لهذا الفضاء المتجهي. التداخل هو الاحتواء. إذا كانت D منتهية، فلا بد أن تكون حقلاً منتهياً GF( q )، لأنه وفقًا لنظرية ويدربورن الصغرى، فإن جميع حلقات القسمة المنتهية هي حقول. في هذه الحالة، يُنتج هذا البناء فضاءً إسقاطياً منتهياً. علاوة على ذلك، إذا كان البُعد الهندسي للفضاء الإسقاطي ثلاثة على الأقل، فإنه توجد حلقة قسمة يُمكن من خلالها بناء هذا الفضاء بهذه الطريقة. بالتالي، فإن جميع الفضاءات الإسقاطية المنتهية ذات البُعد الهندسي ثلاثة على الأقل مُعرّفة على حقول منتهية. يحتوي الفضاء الإسقاطي المحدود المعرّف على حقل محدود كهذا على q + 1 نقطة على خط مستقيم، لذا يتطابق مفهوما الترتيب. يُرمز لهذا الفضاء الإسقاطي المحدود بالرمز PG( n , q ) ، حيث يرمز PG إلى الهندسة الإسقاطية، وn هو البُعد الهندسي للهندسة، و q هو حجم (ترتيب) الحقل المحدود المستخدم في بناء الهندسة.

بشكل عام، يتم إعطاء عدد الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد k من PG( n , q ) بواسطة الضرب: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

وهو معامل ذو حدين غاوسي ، وهو نظير q لمعامل ذي الحدين .

• البعد 0 (بدون خطوط): المساحة عبارة عن نقطة واحدة وهي متدهورة لدرجة أنه يتم تجاهلها عادة.
• البعد 1 (خط واحد بالضبط): تقع جميع النقاط على الخط الفريد، والذي يسمى خط الإسقاط .
• البُعد الثاني: يوجد على الأقل خطان، ويلتقي أي خطين. الفضاء الإسقاطي لـ n = 2 هو مستوى إسقاطي . يصعب تصنيف هذه المستويات، إذ لا تتماثل جميعها مع مستوى إسقاطي PG( d , q ) . تُحقق المستويات الديزارجية (المتماثلة مع مستوى إسقاطي PG(2, q ) ) نظرية ديزارج ، وهي مستويات إسقاطية على حقول منتهية، ولكن توجد مستويات غير ديزارجية كثيرة .
• الأبعاد 3 على الأقل: يوجد خطان غير متقاطعين. تنص نظرية فيبلن-يونغ في الحالة المحدودة على أن كل فضاء إسقاطي ذي بُعد هندسي n ≥ 3 متماثل مع PG( n , q ) ، وهو الفضاء الإسقاطي ذو البعد n على حقل منتهٍ GF( q ).

أصغر فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد يقع فوق الحقل GF(2) ويُرمز له بـ PG(3,2) . يحتوي هذا الفضاء على 15 نقطة، و35 خطًا، و15 مستوى. يحتوي كل مستوى على 7 نقاط و7 خطوط، ويحتوي كل خط على 3 نقاط. هذه المستويات، كأشكال هندسية، متماثلة مع مستوى فانو .

تقع كل نقطة ضمن 7 خطوط. ويقع كل زوج من النقاط المختلفة ضمن خط واحد فقط، ويتقاطع كل زوج من المستويات المختلفة في خط واحد فقط.

في عام 1892، كان جينو فانو أول من فكر في مثل هذه الهندسة المحدودة.