سعة القناة

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "Channel capacity" – news  · journalist  · books  · scholar  · JSTOR ( May 2023 ) ( Learn how and when to remove this message )

نظرية المعلومات
إنتروبيا الإنتروبيا التفاضلية الإنتروبيا المشروطة إنتروبيا المفصل معلومات متبادلة معلومات موجهة معلومات متبادلة مشروطة الإنتروبيا النسبية معدل الانتروبيا كثافة محدودة للنقط المنفصلة
خاصية التقسيم المقارب المتساوي نظرية معدل التشويه
نظرية شانون في ترميز المصدر سعة القناة نظرية ترميز القناة الضوضائية نظرية شانون-هارتلي
ف ت هـ

سعة القناة ، في الهندسة الكهربائية وعلوم الكمبيوتر ونظرية المعلومات ، هي المعدل الأقصى النظري الذي يمكن به نقل المعلومات بشكل موثوق عبر قناة اتصال .

وفقًا لشروط نظرية ترميز القناة الضوضائية ، فإن سعة القناة لقناة معينة هي أعلى معدل معلومات (بوحدات المعلومات لكل وحدة زمنية) يمكن تحقيقه باحتمالية خطأ صغيرة تعسفية. ^{[1] [2]}

نظرية المعلومات ، التي طورها كلود إي شانون في عام 1948، تحدد مفهوم سعة القناة وتوفر نموذجًا رياضيًا يمكن من خلاله حسابها. تنص النتيجة الرئيسية على أن سعة القناة، كما هو محدد أعلاه، تُعطى من خلال الحد الأقصى للمعلومات المتبادلة بين مدخلات ومخرجات القناة، حيث يكون الحد الأقصى بالنسبة لتوزيع المدخلات. ^[3]

لقد كان مفهوم سعة القناة محوريًا في تطوير أنظمة الاتصالات السلكية واللاسلكية الحديثة، مع ظهور آليات ترميز تصحيح الأخطاء الجديدة التي أدت إلى تحقيق أداء قريب جدًا من الحدود التي وعدت بها سعة القناة.

النموذج الرياضي الأساسي لنظام الاتصالات هو التالي:

${\displaystyle {\xrightarrow[{\text{الرسالة}}]{W}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{المشفر}}\\f_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {تسلسل مشفر فوق} }]{X^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{القناة}}\\p(y|x)\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {تسلسل مستلم فوق} }]{Y^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{فك التشفير}}\\g_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {رسالة مقدر فوق} }]{\hat {W}}}}$

أين:

• ${\displaystyle W}$هي الرسالة التي يجب نقلها؛
• ${\displaystyle X}$هو رمز إدخال القناة ( هو عبارة عن سلسلة من الرموز) مأخوذ في الأبجدية ؛${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• ${\displaystyle Y}$هو رمز إخراج القناة ( هو عبارة عن سلسلة من الرموز) مأخوذ من الأبجدية ؛${\displaystyle Y^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\hat {W}}}$هو تقدير الرسالة المرسلة؛
• ${\displaystyle f_{n}}$هي وظيفة الترميز لكتلة طولها ؛${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p(y|x)=p_{Y|X}(y|x)}$هي القناة الصاخبة، والتي يتم نمذجتها بواسطة توزيع الاحتمالات الشرطية ؛ و،
• ${\displaystyle g_{n}}$هي دالة فك التشفير لكتلة طولها .${\displaystyle n}$

دع و يتم نمذجتها كمتغيرات عشوائية. علاوة على ذلك، دع دالة توزيع الاحتمال الشرطي لـ ، وهي خاصية ثابتة متأصلة لقناة الاتصال. ثم يحدد اختيار التوزيع الهامشي التوزيع المشترك تمامًا بسبب التطابق ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{X}(x)}$ ${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{Y|X}(y|x)\,p_{X}(x)}$

والتي بدورها تحفز تبادل المعلومات . يتم تعريف سعة القناة على أنها${\displaystyle I(X;Y)}$

${\displaystyle \ C=\sup _{p_{X}(x)}I(X;Y)\,}$

حيث يتم أخذ السيادة على جميع الخيارات الممكنة . ${\displaystyle p_{X}(x)}$

سعة القناة مضافة على القنوات المستقلة. ^[4] وهذا يعني أن استخدام قناتين مستقلتين بطريقة مشتركة يوفر نفس السعة النظرية لاستخدامهما بشكل مستقل. بشكل أكثر رسمية، دع و قناتين مستقلتين تم تصميمهما على النحو الوارد أعلاه؛ حيث يكون لهما أبجدية إدخال وأبجدية إخراج . نفس الشيء بالنسبة لـ . نُعرف قناة المنتج على أنها ${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{1}\times p_{2}}$${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2})\in ({\mathcal {X}}_{1},{\mathcal {X}}_{2}),\;(y_{1},y_{2})\in ({\mathcal {Y}}_{1},{\mathcal {Y}}_{2}),\;(p_{1}\times p_{2})((y_{1},y_{2})|(x_{1},x_{2}))=p_{1}(y_{1}|x_{1})p_{2}(y_{2}|x_{2})}$

تنص هذه النظرية على: $${\displaystyle C(p_{1}\times p_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})}$$

إذا كان G رسمًا بيانيًا غير موجه ، فيمكن استخدامه لتحديد قناة اتصالات حيث تكون الرموز هي رؤوس الرسم البياني، وقد يتم الخلط بين كلمتين رمزيتين إذا كانت رموزهما في كل موضع متساوية أو متجاورة. تظل التعقيدات الحسابية لإيجاد سعة شانون لمثل هذه القناة مفتوحة، ولكن يمكن تحديد الحد الأعلى لها بواسطة ثابت بياني مهم آخر، وهو رقم لوفاسز . ^[5]

تنص نظرية ترميز القناة الضوضائية على أنه لأي احتمال خطأ ε > 0 ولأي معدل إرسال R أقل من سعة القناة C ، يوجد مخطط ترميز وفك تشفير ينقل البيانات بمعدل R يكون احتمال خطأه أقل من ε، لطول كتلة كبير بما فيه الكفاية. أيضًا، لأي معدل أكبر من سعة القناة، فإن احتمال الخطأ في المستقبل يذهب إلى 0.5 حيث يذهب طول الكتلة إلى ما لا نهاية.

أحد تطبيقات مفهوم سعة القناة على قناة ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة (AWGN) ذات عرض نطاق ترددي B هرتز ونسبة إشارة إلى ضوضاء S/N هي نظرية شانون-هارتلي :

${\displaystyle C=B\log _{2}\left(1+{\frac {S}{N}}\right)\ }$

يتم قياس C بالبتات في الثانية إذا تم أخذ اللوغاريتم في الأساس 2، أو nats في الثانية إذا تم استخدام اللوغاريتم الطبيعي ، على افتراض أن B بالهرتز ؛ يتم التعبير عن قوى الإشارة والضوضاء S و N بوحدة طاقة خطية (مثل الواط أو الفولت ² ). نظرًا لأن أرقام S/N غالبًا ما يتم الاستشهاد بها بالديسيبل ، فقد يكون التحويل ضروريًا. على سبيل المثال، تتوافق نسبة الإشارة إلى الضوضاء البالغة 30 ديسيبل مع نسبة طاقة خطية تبلغ . ${\displaystyle 10^{30/10}=10^{3}=1000}$

لتحديد سعة القناة، من الضروري إيجاد توزيع تحقيق السعة وتقييم المعلومات المتبادلة . ركز البحث في الغالب على دراسة قنوات الضوضاء المضافة في ظل قيود طاقة معينة وتوزيعات الضوضاء، حيث أن الأساليب التحليلية غير مجدية في غالبية السيناريوهات الأخرى. وبالتالي، تم اقتراح طرق بديلة مثل التحقيق في دعم الإدخال ^[6] ، والاسترخاء ^[7] وحدود السعة ^[8] في الأدبيات. ${\displaystyle p_{X}(x)}$ ${\displaystyle I(X;Y)}$

يمكن حساب سعة قناة منفصلة بدون ذاكرة باستخدام خوارزمية Blahut-Arimoto .

يمكن استخدام التعلم العميق لتقدير سعة القناة. في الواقع، يمكن الحصول على سعة القناة وتوزيع تحقيق السعة لأي قناة متجهة متصلة بدون ذاكرة في وقت منفصل باستخدام CORTICAL، ^[9] وهو إطار تعاوني مستوحى من الشبكات التنافسية التوليدية . يتكون CORTICAL من شبكتين تعاونيتين: مولد بهدف تعلم أخذ العينات من توزيع المدخلات المحققة للسعة، ومميز بهدف تعلم التمييز بين عينات المدخلات والمخرجات للقناة المقترنة وغير المقترنة والتقديرات . ${\displaystyle I(X;Y)}$

يركز هذا القسم ^[10] على سيناريو الهوائي الفردي من نقطة إلى نقطة. لمعرفة سعة القناة في الأنظمة ذات الهوائيات المتعددة، راجع المقال حول MIMO .

إذا كان متوسط ​​القدرة المستقبلة هو [W]، وعرض النطاق الترددي الإجمالي بالهرتز، وكثافة طيف القدرة الضوضاءية هي [W/Hz]، فإن سعة قناة AWGN هي ${\displaystyle {\bar {P}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle N_{0}}$

${\displaystyle C_{\text{AWGN}}=W\log _{2}\left(1+{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}\right)}$[بت/ثانية]،

حيث تكون نسبة الإشارة إلى الضوضاء المستلمة (SNR). تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية شانون-هارتلي . ^[11]${\displaystyle {\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}}$

عندما تكون نسبة الإشارة إلى الضوضاء كبيرة (SNR ≫ 0 ديسيبل)، تكون السعة لوغاريتمية في القدرة وخطية تقريبًا في النطاق الترددي. وهذا ما يسمى بنظام النطاق الترددي المحدود . ${\displaystyle C\approx W\log _{2}{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}}$

عندما تكون نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) صغيرة (SNR ≪ 0 ديسيبل)، تكون السعة خطية في الطاقة ولكنها غير حساسة لعرض النطاق الترددي. وهذا ما يسمى بنظام الطاقة المحدودة . ${\displaystyle C\approx {\frac {\bar {P}}{N_{0}\ln 2}}}$

يتم توضيح نظام النطاق الترددي المحدود ونظام الطاقة المحدودة في الشكل.

يتم تحديد سعة القناة الانتقائية للتردد من خلال ما يسمى بتخصيص طاقة ملء الماء ،

${\displaystyle C_{N_{c}}=\sum _{n=0}^{N_{c}-1}\log _{2}\left(1+{\frac {P_{n}^{*}|{\bar {h}}_{n}|^{2}}{N_{0}}}\right),}$

حيث و هو مكسب القناة الفرعية ، مع اختياره لتلبية قيد الطاقة. ${\displaystyle P_{n}^{*}=\max \left\{\left({\frac {1}{\lambda }}-{\frac {N_{0}}{|{\bar {h}}_{n}|^{2}}}\right),0\right\}}$${\displaystyle |{\bar {h}}_{n}|^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$

في قناة التلاشي البطيء ، حيث يكون وقت التماسك أكبر من متطلبات زمن الوصول، لا توجد سعة محددة حيث يعتمد الحد الأقصى لمعدل الاتصالات الموثوقة التي تدعمها القناة، على مكسب القناة العشوائي ، وهو أمر غير معروف للمرسل. إذا قام المرسل بتشفير البيانات بمعدل [بت/ثانية/هرتز]، فهناك احتمال غير صفري بأن احتمال خطأ فك التشفير لا يمكن جعله صغيرًا بشكل تعسفي، ${\displaystyle \log _{2}(1+|h|^{2}SNR)}$${\displaystyle |h|^{2}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{out}=\mathbb {P} (\log(1+|h|^{2}SNR)<R)}$,

في هذه الحالة يقال إن النظام في حالة انقطاع. مع احتمال غير صفري أن القناة في حالة تلاشي عميق، فإن سعة قناة التلاشي البطيء بالمعنى الدقيق للكلمة هي صفر. ومع ذلك، من الممكن تحديد أكبر قيمة بحيث يكون احتمال الانقطاع أقل من . تُعرف هذه القيمة بسعة الانقطاع -. ${\displaystyle R}$${\displaystyle p_{out}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

في قناة التلاشي السريع ، حيث يكون متطلب زمن الوصول أكبر من زمن التماسك ويمتد طول كلمة المرور على فترات تماسك عديدة، يمكن للمرء أن يحسب متوسط ​​تلاشي العديد من القنوات المستقلة عن طريق الترميز على مدى عدد كبير من فترات زمن التماسك. وبالتالي، من الممكن تحقيق معدل موثوق به من الاتصالات يبلغ [بت/ثانية/هرتز] ومن المفيد أن نتحدث عن هذه القيمة باعتبارها سعة قناة التلاشي السريع. ${\displaystyle \mathbb {E} (\log _{2}(1+|h|^{2}SNR))}$

قدرة التغذية الراجعة هي أكبر معدل يمكن به نقل المعلومات بشكل موثوق، لكل وحدة زمنية، عبر قناة اتصال من نقطة إلى نقطة حيث يقوم المستقبل بتغذية مخرجات القناة إلى المرسل. إن التحليل النظري للمعلومات لأنظمة الاتصالات التي تتضمن التغذية الراجعة أكثر تعقيدًا وتحديًا من التحليل بدون التغذية الراجعة. ربما كان هذا هو السبب وراء اختيار سي إي شانون للتغذية الراجعة كموضوع لأول محاضرة لشانون، والتي ألقاها في ندوة معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات الدولية حول نظرية المعلومات في عسقلان، إسرائيل عام 1973.

تتميز سعة التغذية الراجعة بأقصى حد للمعلومات الموجهة بين مدخلات القناة ومخرجات القناة، حيث يكون التعظيم فيما يتعلق بالتكييف السببي للمدخلات المقدمة للمخرجات. وقد صاغ جيمس ماسي ^[12] المعلومات الموجهة في عام 1990، حيث أظهر أنها حد أعلى لسعة التغذية الراجعة. بالنسبة للقنوات التي لا تحتوي على ذاكرة، أظهر شانون ^[13] أن التغذية الراجعة لا تزيد من السعة، وتتزامن سعة التغذية الراجعة مع سعة القناة التي تتميز بالمعلومات المتبادلة بين المدخلات والمخرجات. تُعرف سعة التغذية الراجعة بأنها تعبير مغلق الشكل فقط لعدة أمثلة مثل: قناة Trapdoor، ^[14] قناة Ising، ^{[15] [16]} قناة المسح الثنائي مع قيد إدخال بدون واحدات متتالية، قنوات NOST.

النموذج الرياضي الأساسي لنظام الاتصالات هو التالي:

هذا هو التعريف الرسمي لكل عنصر (حيث يكون الاختلاف الوحيد فيما يتعلق بالسعة غير المرتدة هو تعريف المشفر):

• ${\displaystyle W}$هي الرسالة التي سيتم نقلها، والتي تم أخذها في الأبجدية ؛${\displaystyle {\mathcal {W}}}$
• ${\displaystyle X}$هو رمز إدخال القناة ( هو عبارة عن سلسلة من الرموز) مأخوذ في الأبجدية ؛${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• ${\displaystyle Y}$هو رمز إخراج القناة ( هو عبارة عن سلسلة من الرموز) مأخوذ من الأبجدية ؛${\displaystyle Y^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\hat {W}}}$هو تقدير الرسالة المرسلة؛
• ${\displaystyle f_{i}:{\mathcal {W}}\times {\mathcal {Y}}^{i-1}\to {\mathcal {X}}}$هي دالة الترميز في الوقت ، لكتلة طولها ؛${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p(y_{i}|x^{i},y^{i-1})=p_{Y_{i}|X^{i},Y^{i-1}}(y_{i}|x^{i},y^{i-1})}$هي القناة الصاخبة في الوقت ، والتي يتم نمذجتها بواسطة توزيع الاحتمالات الشرطية ؛ و،${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\hat {w}}:{\mathcal {Y}}^{n}\to {\mathcal {W}}}$هي دالة فك التشفير لكتلة طولها .${\displaystyle n}$

وهذا يعني أنه في كل مرة توجد فيها تغذية راجعة للإخراج السابق بحيث يكون لدى المشفر إمكانية الوصول إلى جميع المخرجات السابقة . الرمز هو زوج من تعيينات التشفير وفك التشفير مع ، ويتم توزيعه بشكل موحد. يقال إن المعدل قابل للتحقيق إذا كان هناك تسلسل من الرموز بحيث يميل متوسط ​​احتمال الخطأ: إلى الصفر مثل . ${\displaystyle i}$${\displaystyle Y_{i-1}}$${\displaystyle Y^{i-1}}$${\displaystyle (2^{nR},n)}$${\displaystyle {\mathcal {W}}=[1,2,\dots ,2^{nR}]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (2^{nR},n)}$ ${\displaystyle P_{e}^{(n)}\triangleq \Pr({\hat {W}}\neq W)}$${\displaystyle n\to \infty }$

يتم الإشارة إلى سعة التغذية الراجعة بواسطة ، ويتم تعريفها على أنها الحد الأقصى لجميع المعدلات القابلة للتحقيق. ${\displaystyle C_{\text{feedback}}}$

دع و يتم نمذجتها كمتغيرات عشوائية. يصف التكييف السببي القناة المعطاة. يحدد اختيار التوزيع الشرطي السببي التوزيع المشترك بسبب قاعدة السلسلة للتكييف السببي ^[17] والتي بدورها تحفز معلومات موجهة . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(y^{n}||x^{n})\triangleq \prod _{i=1}^{n}P(y_{i}|y^{i-1},x^{i})}$${\displaystyle P(x^{n}||y^{n-1})\triangleq \prod _{i=1}^{n}P(x_{i}|x^{i-1},y^{i-1})}$ ${\displaystyle p_{X^{n},Y^{n}}(x^{n},y^{n})}$ ${\displaystyle P(y^{n},x^{n})=P(y^{n}||x^{n})P(x^{n}||y^{n-1})}$ ${\displaystyle I(X^{N}\rightarrow Y^{N})=\mathbf {E} \left[\log {\frac {P(Y^{N}||X^{N})}{P(Y^{N})}}\right]}$

يتم تحديد سعة التغذية الراجعة بواسطة

${\displaystyle \ C_{\text{feedback}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sup _{P_{X^{n}||Y^{n-1}}}I(X^{n}\to Y^{n})\,}$,

حيث يتم أخذ السيادة على جميع الخيارات الممكنة . ${\displaystyle P_{X^{n}||Y^{n-1}}(x^{n}||y^{n-1})}$

عندما يتم تلوين الضوضاء الغوسية، فإن القناة تحتوي على ذاكرة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الحالة البسيطة لعملية ضوضاء النموذج الانحداري التلقائي حيث تكون عملية iid. ${\displaystyle z_{i}=z_{i-1}+w_{i}}$${\displaystyle w_{i}\sim N(0,1)}$

من الصعب حل مشكلة سعة التغذية الراجعة في الحالة العامة. هناك بعض التقنيات المرتبطة بنظرية التحكم وعمليات اتخاذ القرار لماركوف إذا كانت القناة منفصلة.

• النطاق الترددي (الحوسبة)
• عرض النطاق الترددي (معالجة الإشارة)
• معدل البت
• معدل الكود
• أس الخطأ
• معدل نيكويست
• الانتروبيا السلبية
• التكرار
• المرسل ، ضغط البيانات ، المستقبل
• نظرية شانون-هارتلي
• الكفاءة الطيفية
• معدل الإنتاج

• ميمو
• التنوع التعاوني

• "معدل نقل القناة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• سعة قناة AWGN مع قيود مختلفة على مدخل القناة (عرض توضيحي تفاعلي)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Channel capacity" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2008) (Learn how and when to remove this message)