فرعي (الجبر الخطي)

إذا كانت A مصفوفة مربعة، فإن المحدد الفرعي للعنصر الموجود في الصف i والعمود j (ويُسمى أيضًا المحدد الفرعي ( i , j ) أو المحدد الفرعي الأول ^{[ 1 ]} ) هو محدد المصفوفة الفرعية الناتجة عن حذف الصف i والعمود j . يُرمز لهذا العدد عادةً بـ M _{(i , j)} . أما العامل المرافق ( i , j ) فيُحسب بضرب المحدد الفرعي في ( -1 ) ^{i + j} ، ويُرمز له عادةً بـ C _{(i , j)} .

لتوضيح هذه التعريفات، انظر إلى المصفوفة التالية 3 × 3 ،

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

لحساب العامل الصغير M _2,3 والعامل المرافق C _2,3 ، نجد محدد المصفوفة أعلاه مع إزالة الصف 2 والعمود 3.

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

إذن، العامل المرافق للمدخل (2،3) هو

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

لتكن A مصفوفة من الرتبة m × n، وليكن k عددًا صحيحًا حيث 0 < k ≤ m و k ≤ n. المحدد الصغير من الرتبة k للمصفوفة A ، والذي يُسمى أيضًا المحدد الصغير من الرتبة k للمصفوفة A ، أو إذا كان m = n ، المحدد الصغير من الرتبة ( n − k ) للمصفوفة A ( غالبًا ما تُحذف كلمة " محدد"، وتُستخدم كلمة "درجة" أحيانًا بدلًا من "رتبة")، هو محدد مصفوفة من الرتبة k × k مُستخرجة من A بحذف m − k صفًا و n − k عمودًا. يُستخدم هذا المصطلح أحيانًا للإشارة إلى المصفوفة من الرتبة k × k المُستخرجة من A كما سبق (بحذف m − k صفًا و n − k عمودًا)، ولكن يجب الإشارة إلى هذه المصفوفة على أنها مصفوفة فرعية (مربعة) من A ، مع الإبقاء على مصطلح "صغير" للإشارة إلى محدد هذه المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة A كما سبق، يوجد إجمالي${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$المحددات الصغرى من الرتبة k × k . غالبًا ما يُعرَّف المحدد الصغير من الرتبة الصفرية بأنه يساوي 1. بالنسبة للمصفوفة المربعة، فإن المحدد الصغير الصفري هو ببساطة محدد المصفوفة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يترك $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ تكون متواليات مرتبة (بالترتيب الطبيعي، كما هو مفترض دائمًا عند الحديث عن المجموعات الصغرى ما لم يُذكر خلاف ذلك) من المؤشرات. المجموعة الصغرى${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$يُشار إلى ما يتوافق مع هذه الخيارات من المؤشرات بـ${\displaystyle \det _{I,J}A}$أو${\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}}$أو${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$أو${\displaystyle M_{I,J}}$أو${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$أو${\displaystyle M_{(i),(j)}}$(حيث يشير ( i ) إلى تسلسل المؤشرات I ، إلخ)، وذلك حسب المصدر. كما يوجد نوعان من الدلالات المستخدمة في الأدبيات: يُقصد بالمصطلح "المصطلح الفرعي" المرتبط بتسلسلات مرتبة من المؤشرات I و J ، محدد المصفوفة المُشكَّلة كما سبق، بأخذ عناصر المصفوفة الأصلية من الصفوف التي تقع مؤشراتها في I والأعمدة التي تقع مؤشراتها في ^J ؛ بينما ^{يقصد مؤلفون} آخرون بالمصطلح "المصطلح الفرعي" المرتبط بـ I و J محدد المصفوفة المُشكَّلة من المصفوفة الأصلية بحذف الصفوف في I والأعمدة في J ؛ ^{[ 2 ]} ويجب دائمًا التحقق من الترميز المستخدم. في هذه المقالة، نستخدم التعريف الشامل لاختيار العناصر من صفوف I وأعمدة J. الحالة الاستثنائية هي حالة المصطلح الفرعي الأول أو المصطلح الفرعي ( i , j ) الموصوف أعلاه؛ في هذه الحالة، يكون المعنى حصريًا${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}$وهو معيار موحد في جميع الأدبيات ويستخدم في هذه المقالة أيضًا.

تُشتق متممة B _{_{ijk ..., pqr ...}} للمُصغِّر M _{_{ijk ..., pqr ...}} لمصفوفة مربعة A من مُحدِّد المصفوفة A بعد حذف جميع الصفوف ( _ijk... ) والأعمدة ( _pqr... ) المرتبطة بـ M _{_{ijk ..., pqr ...}}. ومتممة المُصغِّر الأول للعنصر a _{_ij} هي ذلك العنصر نفسه. ^{[ 5 ]}

تُعدّ المرافقات عنصرًا أساسيًا في صيغة لابلاس لفكّ المحددات، وهي طريقة لحساب المحددات الكبيرة بدلالة المحددات الأصغر. إذا كانت لدينا مصفوفة A = ( a _ij ) من الرتبة n × n ، فإنّ محدد A ، الذي يُرمز له بـ det( A ) ، يُمكن كتابته كمجموع المرافقات لأي صف أو عمود من المصفوفة مضروبًا في العناصر التي ولّدت تلك المرافقات. بعبارة أخرى، تعريف${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$ثم يعطي توسيع المرافقات على طول العمود j ما يلي:

$$// _ {i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{محاذاة}}}$$

يُعطي توسيع المرافقات على طول الصف i ما يلي:

$$\displaystyle \begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

يمكن كتابة معكوس المصفوفة القابلة للعكس عن طريق حساب مرافقاتها باستخدام قاعدة كرامر ، كما يلي. تُسمى المصفوفة المكونة من جميع مرافقات المصفوفة المربعة A بمصفوفة المرافقات (وتُسمى أيضًا مصفوفة المرافقات أو، في بعض الأحيان، المصفوفة المرافقة ):

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

إذن، معكوس المصفوفة A هو منقول مصفوفة العوامل المرافقة مضروبًا في مقلوب محدد المصفوفة A :

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

يُطلق على منقول مصفوفة العوامل المرافقة اسم المصفوفة المرافقة (وتسمى أيضًا المرافق الكلاسيكي ) لـ A.

يمكن تعميم الصيغة أعلاه على النحو التالي: ليكن $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$ لنفترض أن لدينا متواليات مرتبة (بالترتيب الطبيعي) من المؤشرات (حيث A مصفوفة من الرتبة n × n ). إذن ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$$

حيث يرمز I′ و J′ إلى متواليات مرتبة من المؤشرات (المؤشرات مرتبة ترتيبًا طبيعيًا حسب الحجم، كما سبق) مكملة لـ I و J ، بحيث يظهر كل مؤشر 1، ...، n مرة واحدة فقط إما في I أو I′ ، ولكن ليس في كليهما (وينطبق الأمر نفسه على J و J′ )، و [ A ] _{I , J} يرمز إلى محدد المصفوفة الفرعية من A المُشكَّلة باختيار صفوف مجموعة المؤشرات I وأعمدة مجموعة المؤشرات J. أيضًا،${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$يمكن تقديم برهان بسيط باستخدام الضرب الإسفيني. في الواقع،

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

أين${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$هي متجهات الأساس. بتطبيق A على كلا الجانبين، نحصل على

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

يمكن تفسير اللافتة على أنها $${\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}$$لذا يتم تحديد الإشارة من خلال مجموع العناصر في I و J.

بالنظر إلى مصفوفة i × j ذات مدخلات حقيقية (أو مدخلات من أي حقل آخر ) ورتبة r ، فإنه يوجد على الأقل مصفوفة فرعية غير صفرية واحدة من رتبة r × r ، بينما جميع المصفوفات الفرعية الأكبر تكون صفرًا.

سنستخدم الترميز التالي للمجموعات الفرعية: إذا كانت A مصفوفة i × j ، و I هي مجموعة جزئية من {1، ...، i } تحتوي على m عنصر، و J هي مجموعة جزئية من {1، ...، j } تحتوي على m عنصر، فإننا نكتب [ A ] _{I ، J} للمجموعة الفرعية m × m من A التي تتوافق مع الصفوف ذات الفهرس في I والأعمدة ذات الفهرس في J.

• إذا كانت A مربعة و I = J ، فإن [ A ] _{I ، J} تسمى صغرى رئيسية .
• إذا كانت المصفوفة A مربعة و I = J = {1, ..., m } ، فإن المحدد الرئيسي [ A ] _{I , J} يُسمى محددًا رئيسيًا رائدًا (من الرتبة m ) أو محددًا رئيسيًا زاويًا (من الرتبة m ) . ^{[ 3 ]} بالنسبة لمصفوفة مربعة من الرتبة i × i ، يوجد i محددات رئيسية رائدة.
• المحدد الأساسي لمصفوفة من الرتبة r هو محدد من الرتبة r × r ذو قيمة غير صفرية. ^{[ 3 ]}
• بالنسبة للمصفوفات الهرميتية ، يمكن استخدام المحددات الرئيسية الرائدة لاختبار التحديد الموجب ، ويمكن استخدام المحددات الرئيسية لاختبار شبه التحديد الموجب . راجع معيار سيلفستر لمزيد من التفاصيل.

تُعدّ كلٌّ من صيغة ضرب المصفوفات العادية وصيغة كوشي-بينيه لمحدد حاصل ضرب مصفوفتين حالتين خاصتين من العبارة العامة التالية حول المحددات الصغرى لحاصل ضرب مصفوفتين. لنفترض أن A مصفوفة من الرتبة i × k ، وB مصفوفة من الرتبة k × j ، و I مجموعة جزئية من {1، ...، i } تحتوي على m عنصرًا، و J مجموعة جزئية من {1، ...، j } تحتوي على m عنصرًا. عندئذٍ $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$ حيث يمتد المجموع على جميع المجموعات الفرعية K من {1، ...، k } التي تحتوي على m عنصرًا.