قانون ظل التمام

في علم المثلثات ، قانون الظل التمام هو علاقة بين أطوال أضلاع المثلث وظل تمام أنصاف زواياه الثلاث. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

وكما أن ثلاث كميات يتم التعبير عن تساويها بقانون الجيب تساوي قطر الدائرة المحيطة بالمثلث (أو مقلوبها، اعتمادًا على كيفية التعبير عن القانون)، فإن قانون الظل التمام يربط نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث ( نصف القطر الداخلي ) بأضلاعه وزواياه.

باستخدام الرموز المعتادة للمثلث (انظر الشكل في أعلى اليمين)، حيث a و b و c هي أطوال الأضلاع الثلاثة، و A و B و C هي الرؤوس المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة، و α و β و γ هي الزوايا المقابلة عند تلك الرؤوس، و s هو نصف المحيط ، أي s = ( a + b + c) / 2 ، و r هو نصف قطر الدائرة المحيطة، ينص قانون الظل التمام على أن$${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {1}{2}}\alpha }{sa}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta }{sb}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\gamma }{sc}}={\frac {1}{r}},}$$

وعلاوة على ذلك، فإن نصف القطر الداخلي يُعطى بواسطة $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}\,.}$$

في الشكل العلوي، تقسم نقاط التماس بين الدائرة الداخلية وأضلاع المثلث المحيط إلى 6 أجزاء، موزعة على 3 أزواج. في كل زوج، تكون الأجزاء متساوية في الطول. على سبيل المثال، الجزآن المجاوران للرأس A متساويان. إذا اخترنا جزءًا واحدًا من كل زوج، فسيكون مجموعهما نصف المحيط s . مثال على ذلك الأجزاء الملونة في الشكل. مجموع الجزأين المكونين للخط الأحمر يساوي a ، لذا يجب أن يكون طول الجزء الأزرق s - a . من الواضح أن أطوال الأجزاء الخمسة الأخرى يجب أن تكون أيضًا s - a أو s - b أو s - c ، كما هو موضح في الشكل السفلي.

بفحص الشكل، وباستخدام تعريف دالة ظل التمام، نحصل على $${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {sa}{r}}\,}$$ وبالمثل بالنسبة للزاويتين الأخريين، مما يثبت الادعاء الأول.

أما بالنسبة للصيغة الثانية - صيغة نصف القطر الداخلي - فإننا نبدأ من صيغة الجمع العامة : $${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$$

التقديم إلى$\displaystyle \cot \left(\alpha +\beta +\gamma\right)=\cot \pi }{2}=0,}$نحصل على: $${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}.}$$ (وهذه أيضاً هي متطابقة الظل التمام الثلاثي .)

وباستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الجزء الأول، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(sa)}{r}}{\frac {(sb)}{r}}{\frac {(sc)}{r}}&={\frac {sa}{r}}+{\frac {sb}{r}}+{\frac {sc}{r}}\\[2pt]&={\frac {3s-2s}{r}}\\[2pt]&={\frac {s}{r}}\end{aligned}}}$$ بضرب المعادلة في r 3 ^/ s نحصل على قيمة r ² ، مما يثبت الادعاء الثاني.

يمكن استخلاص عدد من النتائج الأخرى من قانون الظل التمام.

• صيغة هيرون . لاحظ أن مساحة المثلث ABC تُقسّم أيضًا إلى 6 مثلثات أصغر، موزعة على 3 أزواج، ولكل مثلث في كل زوج نفس المساحة. على سبيل المثال، المثلثان القريبان من الرأس A ، وهما مثلثان قائما الزاوية، عرضهما s − a وارتفاعهما r ، مساحة كل منهما 1/2 r ( s − a ) . إذن ، مساحة هذين المثلثين معًا هي r ( s − a ) ، وبالتالي فإن مساحة المثلث بأكمله S هي$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(sa)+r(sb)+r(sc)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}\\&=r(3s-2s)\\&=rs\end{aligned}}}$$وهذا يعطي النتيجة$${\displaystyle S={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$$حسب الحاجة.
• الصيغة الأولى لمولفيدي . من صيغة الجمع وقانون الظل التمام، نحصل على$${\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta -\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\cot {\frac {1}{2}}\beta +\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {ab}{2s-ab}}.}$$وهذا يعطي النتيجة$${\displaystyle {\frac {ab}{c}}={\dfrac {\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\frac {1}{2}}\gamma }}}$$حسب الحاجة.
• صيغة مولفيد الثانية . من صيغة الجمع وقانون الظل التمام، نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +1}{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta -1}}\\[4pt]&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +2\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }}\\[4pt]&={\frac {4s-ab-2c}{2s-ab}}.\end{aligned}}}$$هنا، يلزم إجراء خطوة إضافية لتحويل المنتج إلى مجموع، وفقًا لصيغة المجموع/المنتج.
  وهذا يعطي النتيجة$${\displaystyle {\frac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }}}$$حسب الحاجة.
• ويمكن أيضًا اشتقاق قانون المماس من هذا ( سيلفستر 2001 ، ص 99) . 

بالنسبة للشكل الرباعي الدائري${\displaystyle ABCD}$، يترك $${\displaystyle a=|AB|,\qquad b=|BC|,\qquad c=|CD|,\qquad d=|DA|,\qquad s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$$ وحدد ${\displaystyle \alpha =\angle BAD}$، ${\displaystyle \beta =\angle ABC}$، ${\displaystyle \gamma =\angle BCD}$، و ${\displaystyle \delta =\angle CDA}$. لو${\displaystyle \Delta }$يرمز إلى مساحة الشكل الرباعي، ثم $${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{(sb)(sc)}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{(sc)(sd)}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{(sd)(sa)}}={\frac {\cot {\frac {\delta }{2}}}{(sa)(sb)}}={\frac {1}{\Delta }}.}$$^{[ 3 ]}

تُستنتج هذه المتطابقة من صيغ نصف الزاوية للرباعي الدائري بالإضافة إلى صيغة براهمغوبتا . في الحالة المنحلة${\displaystyle d=0}$^{[ 3 ]} يختزل الشكل الرباعي إلى مثلث، وتعطي المتطابقة القانون الكلاسيكي لظلال التمام.

قانون الظل التمام ليس شائعًا أو راسخًا في علم المثلثات مثل قوانين الجيب وجيب التمام والظل ، لذا يُطلق الاسم نفسه أحيانًا على متطابقات مثلثية أخرى تتضمن الظل التمام. على سبيل المثال :

مجموع ظل تمام زاويتين يساوي نسبة الضلع بينهما إلى الارتفاع المار بالرأس الثالث: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \cot \alpha +\cot \beta ={\frac {c}{h_{c}}}.}$$

يمكن التعبير عن قانون جيب التمام بدلالة ظل التمام بدلاً من جيب التمام، مما يؤدي إلى حساب مساحة المثلث.${\displaystyle S}$في الهوية: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot \gamma .}$$

لأن مجموع زوايا المثلث يساوي${\displaystyle \pi ,}$مجموع حاصل ضرب كل زوج من ظلال تمامهما يساوي واحدًا: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \cot \alpha \,\cot \beta +\cot \alpha \,\cot \gamma +\cot \beta \,\cot \gamma =1.}$$

قد يشير قانون الظل التمام أيضًا إلى قاعدة الظل التمام في حساب المثلثات الكروية.

• قانون الجيب
• قانون جيب التمام
• قانون المماسات
• صيغة مولفيدي
• صيغة هيرون