الدوال المثلثية

يسرد الجدول التالي قيم الجيب وجيب التمام والظل لمضاعفات 15 درجة من 0 إلى 90 درجة.

الزاوية، θ ، في		${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
الراديان	الدرجات العلمية
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	غير محدد

يمكن تعريف الجيب وجيب التمام على أنهما الحل الوحيد لمسألة القيمة الأولية : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$$

وبالتفريق مرة أخرى،${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$و${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$لذا فإن كلاً من الجيب وجيب التمام هما حلان لنفس المعادلة التفاضلية العادية$${\displaystyle y''+y=0\,.}$$ الجيب هو الحل الوحيد مع y (0) = 0 و y ′(0) = 1 ؛ وجيب التمام هو الحل الوحيد مع y (0) = 1 و y ′(0) = 0 .

يمكن للمرء بعد ذلك أن يثبت، كنظرية، أن الحلول${\displaystyle \cos ,\sin }$هي دورية، ولها نفس الفترة. نكتب هذه الفترة على النحو التالي:${\displaystyle 2\pi }$إذن، هذا تعريف للعدد الحقيقي${\displaystyle \pi }$وهو أمر مستقل عن الهندسة.

تطبيق قاعدة القسمة على المماس${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$، $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$$ إذن، دالة الظل تحقق المعادلة التفاضلية العادية $${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$$ إنه الحل الوحيد الذي يحقق y (0) = 0 .

يمكن تعريف الدوال المثلثية الأساسية من خلال متسلسلات القوى التالية . ^{[ 17 ]} تُعرف هذه المتسلسلات أيضًا باسم متسلسلة تايلور أو متسلسلة ماكلورين لهذه الدوال المثلثية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$$ نصف قطر تقارب هذه المتسلسلات لانهائي. لذلك، يمكن تعميم دالتي الجيب وجيب التمام لتشمل الدوال الكاملة (وتسمى أيضًا "الجيب" و"جيب التمام")، وهي (بحكم تعريفها) دوال ذات قيم مركبة معرفة وكاملة الشكل على كامل المستوى المركب .

يُظهر التفاضل حدًا بحد أن الجيب وجيب التمام المحددين بواسطة المتسلسلة يخضعان للمعادلة التفاضلية التي تمت مناقشتها سابقًا، وعلى العكس من ذلك يمكن الحصول على هذه المتسلسلات من علاقات التكرار الأولية المشتقة من المعادلة التفاضلية.

بما أن الدوال المثلثية الأخرى تُعرَّف على أنها كسور من الدوال الكاملة، فيمكن توسيعها لتشمل الدوال الميرومورفية ، أي الدوال التي تكون تامة الشكل في المستوى العقدي بأكمله، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تُسمى الأقطاب . هنا، الأقطاب هي أعداد من الشكل${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$للمماس والقاطع، أو${\displaystyle k\pi }$بالنسبة لظل التمام وقاطع التمام، حيث k عدد صحيح اختياري.

يمكن أيضًا حساب علاقات التكرار لمعاملات متسلسلة تايلور للدوال المثلثية الأخرى. تتميز هذه المتسلسلات بنصف قطر تقارب محدود . ولمعاملاتها تفسير توافقي : فهي تُحصي التباديل المتناوبة للمجموعات المنتهية. ^{[ 18 ]}

وبشكل أدق، تعريف

Un _، الرقم الصاعد /الهابط رقم n ،

B _n ، العدد النوني لبرنولي ، و

E _n هو العدد النوني لأويلر ،

يحتوي أحدها على توسعات السلسلة التالية: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

الكسور المستمرة التالية صالحة في المستوى المركب بأكمله:

^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$$

وقد استُخدم الأخير في أول برهان تاريخي على أن π عدد غير نسبي . ^{[ 21 ]}

يوجد كسر مستمر متقارب بسرعة لـ${\displaystyle \tan(x)}$[ ^{22 ]​}

$${\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}}$$ يترك${\displaystyle x=1}$ثم يعطي تمثيل الكسر المستمر التالي (بشكل تقاربي) 12.68 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل دورة: $${\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}$$

يوجد تمثيل متسلسل كتوسيع كسر جزئي حيث يتم جمع الدوال المقلوبة المترجمة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة الظل التمام والدوال المقلوبة: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$$ يمكن إثبات هذه المتطابقة باستخدام خدعة هيرغلوتز . ^{[ 24 ]} يؤدي دمج الحد ذي الرتبة (– n ) مع الحد ذي الرتبة n إلى متسلسلة متقاربة مطلقًا :$${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$$ وبالمثل، يمكن إيجاد تحليل الكسور الجزئية لدوال القاطع، وقاطع التمام، والظل: $${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$$ يمكن استنتاج تلك السلاسل من توسيع ميتاج-ليفلر (باستخدام نظرية ميتاج-ليفلر ).

إن الضرب اللانهائي التالي للجيب يعود إلى ليونارد أويلر ، وهو ذو أهمية كبيرة في التحليل المركب: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$ يمكن الحصول على ذلك من خلال تحليل الكسور الجزئية لـ${\displaystyle \cot z}$المذكور أعلاه، وهو المشتق اللوغاريتمي لـ${\displaystyle \sin z}$[ ^{26 ] ومن هذا} ، يمكن استنتاج أن $${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$

تربط صيغة أويلر بين الجيب وجيب التمام والدالة الأسية : $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$$ تعتبر هذه الصيغة شائعة الاستخدام للقيم الحقيقية لـ x ، ولكنها تظل صحيحة لجميع القيم المركبة.

البرهان : ليكن${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$و${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$يمتلك المرء${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$بالنسبة لـ j = 1، 2. وبالتالي، فإن قاعدة القسمة تعني أن${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$. لذلك،${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$هي دالة ثابتة ، تساوي1 ، كما${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$وهذا يثبت صحة الصيغة.

يمتلك المرء $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$$

بحل هذا النظام الخطي في الجيب وجيب التمام، يمكن التعبير عنه بدلالة الدالة الأسية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$$

عندما يكون x عددًا حقيقيًا، يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي $${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$$

يمكن إثبات معظم المتطابقات المثلثية عن طريق التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية المركبة باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، ثم استخدام المتطابقة${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$لتبسيط النتيجة.

يمكن أيضًا استخدام صيغة أويلر لتعريف الدالة المثلثية الأساسية مباشرةً، كما يلي، باستخدام لغة المجموعات الطوبولوجية . ^{[ 27 ]} المجموعة${\displaystyle U}$مجموعة الأعداد المركبة ذات المعامل الواحد هي مجموعة طوبولوجية متراصة ومتصلة، ولها جوار للعنصر المحايد متماثل مع خط الأعداد الحقيقية. لذلك، فهي متماثلة كمجموعة طوبولوجية مع مجموعة الطارة أحادية البعد.${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$، عن طريق التماثل $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ ببساطة،${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$وهذا التماثل فريد من نوعه حتى أخذ المرافقات المعقدة.

بالنسبة لعدد حقيقي غير صفري${\displaystyle a}$( الأساس )، الوظيفة${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$يُعرّف تماثلًا للمجموعة${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle e(t/a)}$هما جيب التمام وجيب الزاوية، حيث${\displaystyle a}$تُستخدم كأساس لقياس الزوايا. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle a=2\pi }$نحصل على القياس بالراديان، والدوال المثلثية المعتادة. عندما${\displaystyle a=360}$، نحصل على جيب وجيب تمام الزوايا المقاسة بالدرجات.

لاحظ أن${\displaystyle a=2\pi }$هي القيمة الفريدة التي يكون عندها المشتق $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ يصبح متجه وحدة بجزء تخيلي موجب عند${\displaystyle t=0}$ويمكن استخدام هذه الحقيقة بدورها لتعريف الثابت${\displaystyle 2\pi }$.

هناك طريقة أخرى لتعريف الدوال المثلثية في التحليل وهي استخدام التكامل. ^{[ 13 ] [ 28 ]} بالنسبة لعدد حقيقي${\displaystyle t}$، يضع $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ حيث يُعرّف هذا دالة الظل العكسي. أيضاً،${\displaystyle \pi }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ تعريف يعود إلى كارل فايرشتراس . ^{[ 29 ]}

في الفترة الفاصلة${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$تُعرَّف الدوال المثلثية عن طريق عكس العلاقة${\displaystyle \theta =\arctan t}$وبالتالي، نُعرّف الدوال المثلثية كما يلي: $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ أين النقطة${\displaystyle (t,\theta )}$يقع على الرسم البياني لـ${\displaystyle \theta =\arctan t}$ويتم أخذ الجذر التربيعي الموجب.

هذا يُعرّف الدوال المثلثية على${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$يمكن توسيع التعريف ليشمل جميع الأعداد الحقيقية من خلال ملاحظة أنه، كما${\displaystyle \theta \to \pi /2}$،${\displaystyle t\to \infty }$وهكذا${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$و${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$. هكذا${\displaystyle \cos \theta }$و${\displaystyle \sin \theta }$يتم تمديدها بشكل مستمر بحيث${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$أما الآن فالشروط${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$و${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$نُعرّف الجيب وجيب التمام كدوال دورية ذات دورة.${\displaystyle 2\pi }$، لجميع الأعداد الحقيقية.

بإثبات الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام، بما في ذلك كونهما دالتين تحليليتين، يمكن أولاً وضع صيغ الجمع. أولاً، $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ يلتزم، شريطة${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$، منذ $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ بعد الاستبدال${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$. وعلى وجه الخصوص، الحالة الحدية كما${\displaystyle s\to \infty }$أعطِ $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ وهكذا لدينا $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ و $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ إذن، ترتبط دالتا الجيب وجيب التمام بالانتقال خلال ربع دورة.${\displaystyle \pi /2}$.

يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام معادلات وظيفية مختلفة .

على سبيل المثال، ^{[ 30 ]} تشكل الدالتان الجيبية وجيب التمام الزوج الوحيد من الدوال المتصلة التي تحقق صيغة الفرق $${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$$ والشرط الإضافي $${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$$

جيب وجيب تمام العدد المركب${\displaystyle z=x+iy}$يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الحقيقية للجيب وجيب التمام والدوال الزائدية كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$$

باستخدام تلوين المجال ، يُمكن تمثيل الدوال المثلثية بيانيًا كدوال ذات قيم مركبة. ويمكن ملاحظة العديد من الخصائص الفريدة للدوال المركبة من خلال الرسم البياني؛ فعلى سبيل المثال، يمكن ملاحظة أن دالتي الجيب وجيب التمام غير محدودتين، حيث أن الجزء التخيلي من${\displaystyle z}$يصبح أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، ويتضح احتواء الدوال على أصفار أو أقطاب بسيطة من خلال دوران اللون حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. وتُبرز مقارنة هذه الرسوم البيانية مع رسوم الدوال الزائدية المقابلة العلاقات بينهما.

الدوال المثلثية في المستوى المركب

${\displaystyle \sin z\,}$ ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$ ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \csc z\,}$

دالتا جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان ؛ أما الدوال المثلثية الأخرى فهي دوال فردية . أي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$$

جميع الدوال المثلثية هي دوال دورية دورها 2π . هذه هي أقصر دورة، باستثناء دالتي الظل وظل التمام، اللتين لهما π كأقصر دورة. هذا يعني أنه لكل عدد صحيح k ، يكون لدينا $${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$$ انظر إلى الدورية والخطوط المقاربة .

متطابقة فيثاغورس هي تعبير عن نظرية فيثاغورس بدلالة الدوال المثلثية. $${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.}$$ القسمة على أي${\displaystyle \cos ^{2}x}$أو${\displaystyle \sin ^{2}x}$أعطِ $${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$$$${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$$ و $${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x\,.}$$

تسمح صيغتا المجموع والفرق بتوسيع جيب وجيب تمام وظل مجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيوب وجيوب تمام وظلال الزوايا نفسها. ويمكن اشتقاق هذه الصيغ هندسيًا، باستخدام حجج تعود إلى بطليموس (انظر متطابقات مجموع وفرق الزوايا ). كما يمكن اشتقاقها جبريًا باستخدام صيغة أويلر .

مجموع

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

اختلاف

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

عندما تتساوى الزاويتان، فإن صيغ المجموع تختزل إلى معادلات أبسط تُعرف باسم صيغ الزاوية المزدوجة .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$$