نظرية الكثافة لليبيغ

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تنص نظرية كثافة لوبيغ على أنه لأي مجموعة قابلة للقياس وفقًا للوبيغأ⊆Rن{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}، "كثافة"أ{\displaystyle A}تكون القيمة 0 أو 1 في كل نقطة تقريبًا فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بالإضافة إلى ذلك، فإن "كثافة"أ{\displaystyle A}هو 1 في كل نقطة تقريبًا منأ{\displaystyle A}وهذا يعني بديهيًا أن حدودأ{\displaystyle A}، مجموعة النقاط فيأ{\displaystyle A}والتي تقع جميع الأحياء جزئياً ضمنهاأ{\displaystyle A}وجزئياً خارجأ{\displaystyle A}، قياسه صفر .

نظرية الكثافة للوبيج، المطبقة على داخل المربع، وزواياه، وحوافه، وداخله، وخارجه
نظرية الكثافة للوبيج، المطبقة على داخل المربع، وزواياه، وحوافه، وداخله، وخارجه

إفادة

يتركμ{\displaystyle \mu }ليكن مقياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي وأ⊆Rن{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}ليكن مجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ.x∈Rن{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}ودعب{\displaystyle B}ε(x){\displaystyle (x)}يرمز إلى الكرة المفتوحة ذات نصف القطرε{\displaystyle \varepsilon }مركزها فيx{\displaystyle x}عرّف الكثافة عند نقطة ماx{\displaystyle x}

دأ(x)=ليمε→0μ(أ∩بε(x))μ(بε(x)){\displaystyle \qquad \qquad d_{A}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}

نظرية كثافة لوبيغ — لمجموعة قابلة للقياسأ⊆Rن{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}كثافةأ{\displaystyle A}تكون قيمتها 0 أو 1 في كل مكان تقريبًا [ 1 ] . إذا0<μ(أ)<∞{\displaystyle 0<\mu (A)<\infty }ثم هناك دائماً نقاط من أ⊆Rن{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}أي مجموعة النقاط التي لا تمتلك كثافة 0 أو 1،{x∈Rن|دأ(x)∉{0،1}}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid d_{a}(x)\notin \{0,1\}\}}، قياسه 0. علاوة على ذلك إذا0<μ(أ)<∞{\displaystyle 0<\mu (A)<\infty }ثم هناك دائماً نقاط من أ{\displaystyle A}حيث تكون الكثافة إما غير موجودة أو موجودة ولكنها ليست صفرًا ولا واحدًا. [ 2 ]

على سبيل المثال، إذا كان لدينا مربع في المستوى، فإن الكثافة عند كل نقطة داخل المربع تساوي 1، وعلى الحواف تساوي 1/2، وعند الزوايا تساوي 1/4. مجموعة النقاط في المستوى التي لا تكون عندها الكثافة 0 ولا 1 غير فارغة (حدود المربع)، ولكن قياسها يساوي صفرًا.

تُعد نظرية كثافة ليبيغ حالة خاصة من نظرية تفاضل ليبيغ .

وبالتالي، فإن هذه النظرية صحيحة أيضًا لكل مقياس بوريل محدود علىأ⊆Rن{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}بدلاً من مقياس ليبيغ، كما هو موضح في القسمين 2.8-2.9 من نظرية القياس الهندسي لفيدرر ، 1969.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماتيلا، بيرتي (1999). هندسة المجموعات والقياسات في الفضاءات الإقليدية: الكسور والتصحيح . ISBN 978-0-521-65595-8.
  2. ↑ كروفت، هالارد (1982). "ثلاث مسائل نقاط شبكية لشتاينهاوس". المجلة الفصلية للرياضيات، أكسفورد (2) . 33 : 71-83 .

تتضمن هذه المقالة مواد من نظرية كثافة ليبيغ على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .