نظرية التفاضل لليبيغ

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية لوبيغ للتفاضل إحدى نظريات التحليل الحقيقي ، وتنص على أنه بالنسبة لأي نقطة تقريبًا، فإن قيمة الدالة القابلة للتكامل هي المتوسط ​​النهائي المأخوذ حول تلك النقطة. سُميت هذه النظرية نسبةً إلى هنري لوبيغ .

بالنسبة لدالة حقيقية أو مركبة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ f على R ⁿ ، فإن التكامل غير المحدد هو دالة مجموعة تربط مجموعة قابلة للقياس A بتكامل ليبيغ لـ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$، أين${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$يرمز إلى الدالة المميزة للمجموعة A. وعادةً ما تُكتب $${\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,}$$ حيث λ هو مقياس ليبيغ ذو الأبعاد n .

يُعرَّف مشتق هذا التكامل عند x على النحو التالي :$${\displaystyle \lim _{B\to x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$$ حيث يرمز | B | إلى حجم (أي مقياس لوبيغ) كرة B مركزها x ، و B  → x تعني أن قطر B يؤول إلى الصفر. تنص نظرية لوبيغ للتفاضل ( لوبيغ 1910 ) على أن هذه المشتقة موجودة وتساوي f ( x ) عند كل نقطة x ∈ Rⁿ تقريبًا . ^{[ 1 ] في الواقع ،} هناك عبارة أقوى قليلاً صحيحة. لاحظ أن:  $$\displaystyle \left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).}$$

أما الادعاء الأقوى فهو أن الطرف الأيمن يؤول إلى الصفر تقريبًا عند كل نقطة x . وتُسمى النقاط x التي يتحقق عندها هذا بنقاط ليبيغ للدالة f .

وينطبق أيضاً إصدار أكثر عمومية. يمكن استبدال الكرات B بمجموعة من${\displaystyle {\mathcal {V}}}$من المجموعات U ذات اللامركزية المحدودة . هذا يعني أنه يوجد عدد ثابت c  > 0 بحيث تكون كل مجموعة U من هذه العائلة محتواة في كرة B مع${\displaystyle |U|\geq c\,|B|}$يُفترض أيضًا أن كل نقطة x ∈ R ⁿ تقع ضمن مجموعات صغيرة كيفما كانت من${\displaystyle {\mathcal {V}}}$عندما تتقلص هذه المجموعات إلى x ، تبقى النتيجة نفسها: بالنسبة لكل نقطة x تقريبًا ، $${\displaystyle f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .}$$

تُعد عائلة المكعبات مثالاً على هذه العائلة${\displaystyle {\mathcal {V}}}$وكذلك العائلة${\displaystyle {\mathcal {V}}}$( m ) من المستطيلات في R ² بحيث تبقى نسبة الأضلاع بين m ⁻¹ و m ، لبعض m  ≥  1 الثابتة. إذا تم إعطاء معيار عشوائي على R ⁿ ، فإن عائلة الكرات للمقياس المرتبط بالمعيار هي مثال آخر.

تم إثبات الحالة أحادية البعد سابقًا بواسطة ليبيغ (1904) . إذا كانت الدالة f قابلة للتكامل على خط الأعداد الحقيقية، فإن الدالة $${\displaystyle F(x)=\int _{(-\infty ,x]}f(t)\,\mathrm {d} t}$$ قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا، مع${\displaystyle F'(x)=f(x).}$كان${\displaystyle F}$إذا تم تعريفها بواسطة تكامل ريمان، فإن هذا سيكون في الأساس النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، لكن لوبيغ أثبت أنها تظل صحيحة عند استخدام تكامل لوبيغ. ^{[ 2 ]}

يمكن إثبات النظرية بصيغتها الأقوى - والتي تنص على أن كل نقطة تقريبًا هي نقطة ليبيغ لدالة قابلة للتكامل محليًا f - كنتيجة لتقديرات L1 ^{الضعيفة} لدالة هاردي - ليتلوود القصوى . ويتبع البرهان أدناه المعالجة القياسية الموجودة في بينيديتو وتشايا (2009) ، وستين وشاكارشي (2005) ، وويدن وزيغموند (1977) ، ورودين (1987) .

بما أن العبارة محلية بطبيعتها، يمكن افتراض أن f تساوي صفرًا خارج كرة ذات نصف قطر محدود، وبالتالي قابلة للتكامل. يكفي حينها إثبات أن المجموعة

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}$

لها قياس يساوي صفرًا لجميع قيم α  >  0.

لنفترض أن ε  >  0 معطى. باستخدام كثافة الدوال المتصلة ذات الدعم المدمج في L1 ( Rn ⁾ ، يمكن إيجاد دالة g تحقق ما يلي ^:

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .}$

ومن المفيد بعد ذلك إعادة صياغة الفرق الرئيسي على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

يمكن تحديد الحد الأول بقيمة الدالة القصوى عند x لـ f − g ، والتي يُرمز إليها هنا بـ  ${\displaystyle (f-g)^{*}(x)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}$

يختفي الحد الثاني في النهاية لأن g دالة متصلة، والحد الثالث محدود بـ | f ( x ) − g ( x )|. ولكي تكون القيمة المطلقة للفرق الأصلي أكبر من 2α في النهاية، يجب أن يكون أحد الحدين الأول أو الثالث على الأقل أكبر من α في القيمة المطلقة. ومع ذلك، فإن تقدير دالة هاردي-ليتلوود ينص على أن 

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

بالنسبة لثابت ما A _n يعتمد فقط على البعد n . تنص متباينة ماركوف (وتسمى أيضًا متباينة تشيبيشيف) على أن

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }$

هكذا

${\displaystyle |E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .}$

بما أن ε كانت اختيارية، فيمكن اعتبارها صغيرة بشكل اختياري، وبالتالي تتبع النظرية.

تعتبر نظرية التغطية لفيتالي حيوية لإثبات هذه النظرية؛ ويكمن دورها في إثبات تقدير دالة هاردي-ليتلوود القصوى .

تبقى النظرية صحيحةً أيضاً إذا استُبدلت الكرات، في تعريف المشتقة، بمجموعاتٍ من المجموعات ذات قطرٍ يؤول إلى الصفر، والتي تحقق شرط انتظام ليبيغ ، المعرّف أعلاه بأنه مجموعةٌ من المجموعات ذات انحرافٍ مركزي محدود . ويترتب على ذلك أنه يمكن إجراء الاستبدال نفسه في نصّ مبرهنة فيتالي للتغطية.

هذا نظير وتعميم للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، التي تساوي بين دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان ومشتقة تكاملها (غير المحدد). ويمكن أيضًا إثبات العكس، أي أن كل دالة قابلة للتفاضل تساوي تكامل مشتقتها، ولكن هذا يتطلب تكامل هينستوك-كورزويل لكي نتمكن من حساب تكامل أي مشتقة.

تُعدّ نظرية كثافة ليبيغ حالة خاصة من نظرية التفاضل ، وهي مكافئة لنظرية التفاضل للدوال المميزة للمجموعات القابلة للقياس. وعادةً ما تُثبت نظرية الكثافة باستخدام طريقة أبسط (انظر على سبيل المثال: القياس والتصنيف).

تنطبق هذه النظرية أيضًا على كل مقياس بوريل منتهٍ على Rⁿ بدلًا من مقياس ليبيغ (يمكن الاطلاع على البرهان في ( ليدرابير ويونغ، 1985 ) ^على سبيل المثال ). وبشكل أعم، تنطبق على أي مقياس بوريل منتهٍ على فضاء متري قابل للفصل بحيث يتحقق واحد على الأقل مما يلي:

• الفضاء المتري هو متعدد الشعب الريماني ،
• الفضاء المتري هو فضاء متري فائق التراص محليًا ،
• يتضاعف هذا المقياس .

يمكن العثور على دليل على هذه النتائج في القسمين 2.8-2.9 من (فيدرر 1969).

• نظرية الكثافة لليبيغ

• ليبيسج، هنري (1904). دروس حول التكامل والبحث عن الوظائف الأولية . باريس: غوتييه فيلار.
• ليبيسج، هنري (1910). "يتوقف Sur l'intégration des fonctions" . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 27 : 361– 450. دوى : 10.24033/asens.624 .
• ويدن، ريتشارد ل.؛ زيغموند، أنطوني (1977). القياس والتكامل - مقدمة في التحليل الحقيقي . مارسيل ديكر.
• أوكستوبي، جون سي. (1980). القياس والتصنيف . سبرينغر فيرلاغ.
• شتاين، إلياس م .؛ شاكرجي، رامي (2005). التحليل الحقيقي . محاضرات برينستون في التحليل، الجزء الثالث. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. الصفحات:  xx+402. ISBN 0-691-11386-6.MR 2129625 
• بينيديتو، جون J.؛ كزاجا، فويتشخ (2009). التكامل والتحليل الحديث . نصوص بيركهاوزر المتقدمة. سبرينغر. ص 361 – 364. ISBN  978-0817643065.
• رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب . سلسلة دولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 0070542341.
• ليدرابيير، ف.؛ يونغ، ل. س. (1985). "الإنتروبيا المترية للتشاكلات: الجزء الأول: توصيف المقاييس التي تحقق صيغة بيسين للإنتروبيا". حوليات الرياضيات . 122 (3): 509-539 . doi : 10.2307/1971328 . JSTOR 1971328 . 
• فيدرر، هربرت (1969). نظرية القياس الهندسي . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، Band. المجلد.  153. نيويورك: شركة Springer-Verlag New York Inc.