قياس الثقب

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية القياس ، يُعرَّف مقياس بوريل على فضاء طوبولوجي بأنه مقياس مُعرَّف على جميع المجموعات المفتوحة (وبالتالي على جميع مجموعات بوريل ). ^{[ 1 ]} ويشترط بعض المؤلفين قيودًا إضافية على المقياس، كما هو موضح أدناه.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء هاوسدورف مضغوطًا محليًا ، وليكن${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ليكن أصغر جبر سيجما يحتوي على المجموعات المفتوحة لـ${\displaystyle X}$يُعرف هذا باسم جبر سيجما لمجموعات بوريل . مقياس بوريل هو أي مقياس${\displaystyle \mu }$مُعرَّفة على جبر سيجما لمجموعات بوريل. ^{[ 2 ]} ويشترط بعض المؤلفين بالإضافة إلى ذلك أن${\displaystyle \mu }$تكون محدودة محليًا ، مما يعني أن لكل نقطة جوارًا مفتوحًا ذا قياس محدود. بالنسبة لفضاءات هاوسدورف، هذا يعني أن${\displaystyle \mu (C)<\infty }$لكل مجموعة صغيرة${\displaystyle C}$وبالنسبة للفضاءات الهاوسدورفية المدمجة محليًا، يكون الشرطان متكافئين. إذا كان مقياس بوريل${\displaystyle \mu }$إذا كان المقياس منتظمًا داخليًا وخارجيًا ، فإنه يُسمى مقياس بوريل منتظمًا .${\displaystyle \mu }$إذا كان المقياس منتظمًا داخليًا وخارجيًا ومحدودًا محليًا ، يُطلق عليه مقياس رادون . أو بدلاً من ذلك، إذا كان مقياس بوريل منتظمًا${\displaystyle \mu }$إذا كان محكمًا ، فهو مقياس للرادون.

لو${\displaystyle X}$إذا كانت فضاءً متريًا كاملًا قابلًا للفصل ، فإن كل مقياس بوريل${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle X}$هو مقياس للرادون. ^{[ 3 ]}

الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعدّ فضاء هاوسدورف ذو الطوبولوجيا المعتادة فضاءً متراصاً محلياً؛ لذا يمكننا تعريف مقياس بوريل عليه. في هذه الحالة،${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$هي أصغر جبر سيجما يحتوي على الفترات المفتوحة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$على الرغم من وجود العديد من مقاييس بوريل μ ، فإن اختيار مقياس بوريل الذي يُحدد${\displaystyle \mu ((a,b])=ba}$لكل فاصل نصف مفتوح${\displaystyle (a,b]}$يُطلق عليه أحيانًا اسم "مقياس بوريل"${\displaystyle \mathbb {R} }$اتضح أن هذا المقياس هو تقييد لمقياس ليبيغ على جبر بوريل سيغما${\displaystyle \lambda }$وهو مقياس كامل مُعرَّف على جبر سيجما ليبيغ. جبر سيجما ليبيغ هو في الواقع إكمال لجبر سيجما بوريل، مما يعني أنه أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع مجموعات بوريل ويمكن تزويده بمقياس كامل . كما أن مقياس بوريل ومقياس ليبيغ يتطابقان على مجموعات بوريل (أي،${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$لكل مجموعة قابلة للقياس من بوريل، حيث${\displaystyle \mu }$(وهو مقياس بوريل الموصوف أعلاه). تمتد هذه الفكرة إلى الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$( نظرية كرامر-وولد ، أدناه) لكنها لا تنطبق، بشكل عام، على الفضاءات اللانهائية الأبعاد. ولا توجد مقاييس ليبيغ اللانهائية الأبعاد .

إذا كانت X و Y فضاءات طوبولوجية هاوسدورف قابلة للعد من الدرجة الثانية ، فإن مجموعة المجموعات الجزئية بوريل${\displaystyle B(X\times Y)}$يتطابق ناتج ضربهما مع ناتج ضرب المجموعات${\displaystyle B(X)\times B(Y)}$من المجموعات الجزئية البوريلية لـ X و Y. ^{[ 4} ] أي، ^دالة بوريل

${\displaystyle \mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas} }$

إن الانتقال من فئة فضاءات هاوسدورف القابلة للعد الثاني إلى فئة الفضاءات القابلة للقياس يحافظ على المنتجات المنتهية .

• مشغل جاكوبي

• المقياس الغاوسي ، وهو مقياس بوريل ذو أبعاد محدودة
• فيلر، ويليام (1971)، مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها. المجلد الثاني ، الطبعة الثانية، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، MR 0270403 .
• جيه دي برايس (1973). الأساليب الأساسية للتحليل الوظيفي . مكتبة جامعة هاتشينسون. هاتشينسون . ص  217. ISBN 0-09-113411-0.
• رانسفورد، توماس (1995). نظرية الكمون في المستوى المركب . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. المجلد  28. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 209-218 . ISBN  0-521-46654-7. Zbl 0828.31001 . 
• تيشل، جيرالد ، مواضيع في التحليل الحقيقي ، (ملاحظات المحاضرة)
• معضلة وينر ذات صلة

• مقياس بوريل في موسوعة الرياضيات