الاستفادة (الإحصاءات)

في الإحصاء ، وخاصة في تحليل الانحدار ، تُعدّ الرافعة مقياسًا لمدى بُعد قيم المتغير المستقل لملاحظة ما عن قيم الملاحظات الأخرى. وتُعتبر النقاط ذات الرافعة العالية ، إن وُجدت، قيمًا شاذة بالنسبة للمتغيرات المستقلة . أي أن النقاط ذات الرافعة العالية ليس لها نقاط مجاورة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$الفضاء، حيث${\displaystyle {p}}$يمثل عدد المتغيرات المستقلة في نموذج الانحدار. وهذا يجعل النموذج المُطابق أكثر عرضةً للتمرير بالقرب من نقطة ذات تأثير كبير. ^{[ 1 ]} وبالتالي، فإن النقاط ذات التأثير الكبير لديها القدرة على إحداث تغييرات كبيرة في تقديرات المعلمات عند حذفها، أي أنها نقاط مؤثرة . على الرغم من أن النقطة المؤثرة عادةً ما يكون لها تأثير كبير، إلا أن النقطة ذات التأثير الكبير ليست بالضرورة نقطة مؤثرة. يُعرَّف التأثير عادةً بأنه العناصر القطرية لمصفوفة القبعة . ^{[ 2 ]}

ضع في اعتبارك نموذج الانحدار الخطي${\displaystyle {y}_{i}={\boldsymbol {x}}_{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+{\varepsilon }_{i}}$،${\displaystyle i=1,\,2,\ldots ,\,n}$. إنه،${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}$، أين،${\displaystyle \mathbf {X} }$هو${\displaystyle n\times p}$مصفوفة تصميم تمثل صفوفها المشاهدات، وتمثل أعمدتها المتغيرات المستقلة أو التفسيرية. درجة التأثير لـ${\displaystyle {i}^{th}}$ملاحظة مستقلة${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$يُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle h_{ii}=\left[\mathbf {H} \right]_{ii}={\boldsymbol {x}}_{i}^{\top }\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}{\boldsymbol {x}}_{i}}$، ال${\displaystyle {i}^{th}}$العنصر القطري لمصفوفة الإسقاط المتعامد ( المعروفة أيضًا باسم مصفوفة القبعة)${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}$.

وهكذا${\displaystyle {i}^{th}}$يمكن اعتبار درجة الرافعة المالية بمثابة المسافة "المرجحة" بين ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$إلى متوسط ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$(انظر علاقته بمسافة ماهالانوبيس ). ويمكن تفسيره أيضًا على أنه الدرجة التي يكون بها${\displaystyle {i}^{th}}$القيمة المقاسة (التابعة) (أي، ${\displaystyle y_{i}}$) يؤثر على${\displaystyle {i}^{th}}$القيمة المتوقعة (أي،${\displaystyle {\widehat {y\,}}_{i}}$رياضياً،

${\displaystyle h_{ii}={\frac {\partial {\widehat {y\,}}_{i}}{\partial y_{i}}}}$.

لذا، تُعرف درجة التأثير أيضًا باسم حساسية الملاحظة الذاتية أو التأثير الذاتي. ^{[ 3 ]} باستخدام حقيقة أن${\displaystyle {\boldsymbol {\widehat {y}}}={\mathbf {H} }{\boldsymbol {y}}}$(أي التنبؤ)${\displaystyle {\boldsymbol {\widehat {y}}}}$هو إسقاط عمودي لـ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$على نطاق مساحة${\displaystyle \mathbf {X} }$) في التعبير أعلاه، نحصل على${\displaystyle h_{ii}=\left[\mathbf {H} \right]_{ii}}$لاحظ أن هذه الرافعة تعتمد على قيم المتغيرات التفسيرية.${\displaystyle (\mathbf {X} )}$من جميع الملاحظات ولكن ليس على أي من قيم المتغيرات التابعة${\displaystyle (y_{i})}$.

1. الرافعة المالية  ${\displaystyle h_{ii}}$هو رقم بين 0 و 1،${\displaystyle 0\leq h_{ii}\leq 1.}$الدليل: لاحظ أن${\displaystyle \mathbf {H} }$هي مصفوفة متطابقة (${\displaystyle \mathbf {H} ^{2}=\mathbf {H} }$) ومتناظر (${\displaystyle h_{ij}=h_{ji}}$وبالتالي، باستخدام حقيقة أن${\displaystyle \left[\mathbf {H} ^{2}\right]_{ii}=\left[\mathbf {H} \right]_{ii}}$لدينا${\displaystyle h_{ii}=h_{ii}^{2}+\sum _{j\neq i}h_{ij}^{2}}$بما أننا نعلم ذلك${\displaystyle \sum _{j\neq i}h_{ij}^{2}\geq 0}$لدينا${\displaystyle h_{ii}\geq h_{ii}^{2}\implies 0\leq h_{ii}\leq 1}$.
2. مجموع الرافعات يساوي عدد المعاملات${\displaystyle (p)}$في${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$(بما في ذلك نقطة التقاطع). الدليل:${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h_{ii}=\operatorname {Tr} (\mathbf {H} )=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\right)=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\right)=\operatorname {Tr} (\mathbf {I} _{p})=p}$،

أين${\displaystyle \operatorname {Tr} }$هو عامل التتبع .

رافعة مالية كبيرة${\displaystyle {h_{ii}}}$يتوافق مع${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{i}}}$هذا متطرف. القاعدة الشائعة هي تحديد${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{i}}}$قيمة الرافعة المالية${\displaystyle {h}_{ii}}$وهي أكبر بأكثر من ضعف متوسط ​​الرافعة المالية${\displaystyle {\bar {h}}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h_{ii}={\dfrac {p}{n}}}$(انظر الخاصية 2 أعلاه). أي، إذا${\displaystyle h_{ii}>2{\dfrac {p}{n}}}$،${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{i}}}$يُعتبر هذا قيمة شاذة. يفضل بعض الإحصائيين عتبة من ${\displaystyle 3p/{n}}$بدلاً من${\displaystyle 2p/{n}}$.

ترتبط الرافعة المالية ارتباطًا وثيقًا بمسافة ماهالانوبيس (البرهان ^{[ 4 ]} ). على وجه التحديد، بالنسبة لبعض${\displaystyle n\times p}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {X} }$، مسافة ماهالانوبيس التربيعية لـ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{i}}}$(أين${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}^{\top }}$يكون ${\displaystyle {i}^{th}}$صف من ${\displaystyle \mathbf {X} }$) من متجه المتوسط${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\mu }}}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {x}}_{i}}$من الطول${\displaystyle p}$، يكون${\displaystyle D^{2}({\boldsymbol {x}}_{i})=({\boldsymbol {x}}_{i}-{\widehat {\boldsymbol {\mu }}})^{\top }\mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\widehat {\boldsymbol {\mu }}})}$، أين${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} }$هي مصفوفة التغاير المقدرة لـ ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{i}}}$هذا مرتبط بالرافعة المالية${\displaystyle h_{ii}}$من مصفوفة القبعة لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$بعد إضافة متجه عمودي مكون من 1 إليه. العلاقة بينهما هي:

${\displaystyle D^{2}({\boldsymbol {x}}_{i})=(n-1)(h_{ii}-{\tfrac {1}{n}})}$

تُمكّننا هذه العلاقة من تحليل الرافعة المالية إلى مكونات ذات دلالة، بحيث يمكن دراسة بعض مصادر الرافعة المالية العالية تحليلياً. ^{[ 5 ]}

في سياق الانحدار، نجمع بين دالتي الرافعة والتأثير لحساب مدى تغير المعاملات المقدرة في حال حذف نقطة بيانات واحدة. ونرمز إلى بواقي الانحدار بـ${\displaystyle {\widehat {e}}_{i}=y_{i}-{\boldsymbol {x}}_{i}^{\top }{\widehat {\boldsymbol {\beta }}}}$يمكن للمرء مقارنة المعامل المقدر${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}}$إلى معامل التقدير بحذف عنصر واحد${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}^{(-i)}}$باستخدام الصيغة ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\beta }}}-{\widehat {\boldsymbol {\beta }}}^{(-i)}={\frac {(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}{\boldsymbol {x}}_{i}{\widehat {e}}_{i}}{1-h_{ii}}}}$

يستخدم يونغ (2019) صيغةً مشابهةً لهذه الصيغة بعد تطبيق تأثيرات المتغيرات الضابطة المتبقية. ^{[ 8 ]} لفهم هذه الصيغة بشكلٍ أفضل، لاحظ أن${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {\beta }}}{\partial y_{i}}}=(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}{\boldsymbol {x}}_{i}}$يجسد هذا المفهوم إمكانية تأثير الملاحظة على معلمات الانحدار، وبالتالي${\displaystyle (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}{\boldsymbol {x}}_{i}{\widehat {e}}_{i}}$يُجسّد هذا التأثير الفعلي لانحرافات تلك الملاحظات عن قيمتها المُقدّرة على معاملات الانحدار. ثم تقسم الصيغة على${\displaystyle (1-h_{ii})}$وذلك لمراعاة حقيقة أننا نزيل الملاحظة بدلاً من تعديل قيمتها، مما يعكس حقيقة أن الإزالة تُغير توزيع المتغيرات المساعدة بشكل أكبر عند تطبيقها على الملاحظات ذات التأثير الكبير (أي ذات قيم المتغيرات المساعدة الشاذة). وتظهر صيغ مماثلة عند تطبيق الصيغ العامة لدوال التأثيرات الإحصائية في سياق الانحدار. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

إذا كنا في إطار المربعات الصغرى العادية مع قيم ثابتة${\displaystyle \mathbf {X} }$وأخطاء الانحدار المتجانسة${\displaystyle \varepsilon _{i},}$${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }};\ \ \operatorname {Var} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\sigma ^{2}\mathbf {I} }$ثم الـ${\displaystyle {i}^{th}}$الباقي من الانحدار ،${\displaystyle e_{i}=y_{i}-{\widehat {y}}_{i}}$يوجد تباين

${\displaystyle \operatorname {Var} (e_{i})=(1-h_{ii})\sigma ^{2}}$.

بمعنى آخر، تحدد درجة تأثير الملاحظة درجة التشويش في تنبؤ النموذج الخاطئ بتلك الملاحظة، حيث يؤدي ارتفاع درجة التأثير إلى تقليل التشويش. وينتج هذا عن حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {H} }$هو متماثل ومتماثل و${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {y}}}=\mathbf {H} {\boldsymbol {y}}}$، لذلك،${\displaystyle \operatorname {Var} ({\boldsymbol {e}})=\operatorname {Var} ((\mathbf {I} -\mathbf {H} ){\boldsymbol {y}})=(\mathbf {I} -\mathbf {H} )\operatorname {Var} ({\boldsymbol {y}})(\mathbf {I} -\mathbf {H} )^{\top }=\sigma ^{2}(\mathbf {I} -\mathbf {H} )^{2}=\sigma ^{2}(\mathbf {I} -\mathbf {H} )}$.

ثم يكون الباقي المعياري المقابل - الباقي المعدل وفقًا لتباين الباقي المقدر الخاص بالملاحظة -

${\displaystyle t_{i}={e_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {1-h_{ii}\ }}}}$

أين${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$يُعد تقديرًا مناسبًا لـ${\displaystyle \sigma }$.

الرافعة الجزئية ( PL ) هي مقياس لمساهمة كل متغير مستقل في الرافعة الكلية لكل ملاحظة. أي أن الرافعة الجزئية هي مقياس لكيفية${\displaystyle h_{ii}}$تُضاف التغييرات كمتغير إلى نموذج الانحدار. ويتم حسابها على النحو التالي:

${\displaystyle \left(\mathrm {PL} _{j}\right)_{i}={\frac {\left(\mathbf {X} _{j\bullet [j]}\right)_{i}^{2}}{\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{j\bullet [j]}\right)_{k}^{2}}}}$

أين${\displaystyle j}$هو مؤشر المتغير المستقل،${\displaystyle i}$هو مؤشر الملاحظة و${\displaystyle \mathbf {X} _{j\bullet [j]}}$هي البواقي الناتجة عن الانحدار${\displaystyle \mathbf {X} _{j}}$مقابل المتغيرات المستقلة المتبقية. لاحظ أن الرافعة المالية الجزئية هي رافعة...${\displaystyle {i}^{th}}$النقطة في مخطط الانحدار الجزئي لـ${\displaystyle {j}^{th}}$يمكن أن تؤثر نقاط البيانات ذات التأثير الجزئي الكبير لمتغير مستقل بشكل مفرط على اختيار هذا المتغير في إجراءات بناء نموذج الانحدار التلقائي.

تتضمن العديد من البرامج وحزم الإحصاء، مثل R و Python وما إلى ذلك، تطبيقات لـ Leverage.

• مصفوفة الإسقاط - التي تمثل عناصرها القطرية الرئيسية عوائد الملاحظات
• مسافة ماهالانوبيس - مقياس ( مقياسي ) للرافعة المالية لمسند
• الرافعة المالية الجزئية
• مسافة كوك – مقياس للتغيرات في معاملات الانحدار عند حذف إحدى المشاهدات
• DFFITS
• القيم الشاذة – الملاحظات ذات القيم المتطرفة لـ Y
• درجات الحرية (الإحصاءات) ، مجموع درجات الرافعة المالية