التباين المتجانس والتباين غير المتجانس

في الإحصاء ، يُقال عن سلسلة من المتغيرات العشوائية أنها متجانسة التباين ( hoʊmoʊskəˈdæstɪk / ) إذا كانت جميع متغيراتها العشوائية لها نفس التباين المحدود ؛ ويُعرف هذا أيضًا بتجانس التباين . أما المفهوم المُكمِّل فيُسمى تباينًا غير متجانس ، ويُعرف أيضًا بعدم تجانس التباين . [ أ ^] يُشتق المصطلح من الكلمة اليونانية القديمة σκεδάννυμι (skedánnymi) ^، والتي تعني "التشتيت ^" . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

إن افتراض أن المتغير متجانس التباين بينما هو في الواقع غير متجانس التباين ( / ˌ h ɛ t əroʊ sk ə ˈ d æ st ɪ k / ) يؤدي إلى تقديرات نقطية غير متحيزة ولكنها غير فعالة وإلى تقديرات متحيزة للأخطاء المعيارية ، وقد يؤدي إلى المبالغة في تقدير جودة المطابقة كما تم قياسها بواسطة معامل بيرسون .

يُعدّ وجود التباين غير المتجانس مصدر قلق بالغ في تحليل الانحدار وتحليل التباين ، إذ يُبطل الاختبارات الإحصائية للدلالة التي تفترض أن أخطاء النمذجة لها نفس التباين. ورغم أن مُقدِّر المربعات الصغرى العادية (OLS) يظل غير متحيز في وجود التباين غير المتجانس، إلا أنه غير فعال، والاستدلال القائم على افتراض تجانس التباين مُضلل. في هذه الحالة، كان يُستخدم مُقدِّر المربعات الصغرى المعممة (GLS) بكثرة في الماضي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} أما اليوم، فالممارسة الشائعة في الاقتصاد القياسي هي تضمين أخطاء معيارية متسقة مع التباين غير المتجانس بدلاً من استخدام GLS، لأن GLS قد يُظهر تحيزًا قويًا في العينات الصغيرة إذا كانت دالة التباين الفعلية غير معروفة. ^{[ 6 ]}

ولأن التباين غير المتجانس يتعلق بتوقعات العزم الثاني للأخطاء، فإن وجوده يُشار إليه على أنه سوء تحديد من الدرجة الثانية. ^{[ 7 ]}

حصل عالم الاقتصاد القياسي روبرت إنجل على جائزة نوبل التذكارية في الاقتصاد لعام 2003 لأبحاثه حول تحليل الانحدار في وجود التباين غير المتجانس، والتي أدت إلى صياغته لتقنية نمذجة التباين الشرطي التلقائي (ARCH). ^{[ 8 ]}

لنفترض معادلة الانحدار الخطي${\displaystyle y_{i}=x_{i}\beta _{i}+\varepsilon _{i},\ i=1,\ldots ,N,}$حيث المتغير العشوائي التابع${\displaystyle y_{i}}$يساوي المتغير الحتمي${\displaystyle x_{i}}$معامل الضرب${\displaystyle \beta _{i}}$بالإضافة إلى حد اضطراب عشوائي${\displaystyle \varepsilon _{i}}$يكون متوسطها صفرًا. وتكون الاضطرابات متجانسة التباين إذا كان تباينها${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ثابت${\displaystyle \sigma ^{2}}$وإلا، فإنها تكون غير متجانسة التباين. وعلى وجه الخصوص، تكون الاضطرابات غير متجانسة التباين إذا كان تباين${\displaystyle \varepsilon _{i}}$يعتمد على${\displaystyle i}$أو على قيمة${\displaystyle x_{i}}$إحدى الطرق التي قد تجعلها غير متجانسة التباين هي إذا${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=x_{i}\sigma ^{2}}$(مثال على دالة التباين )، لذا فإن التباين يتناسب مع قيمة${\displaystyle x}$.

وبشكل أعم، إذا كانت مصفوفة التباين والتباين المشترك للاضطراب${\displaystyle \varepsilon _{i}}$عير${\displaystyle i}$إذا كان قطر المصفوفة غير ثابت، فإن الاضطراب يكون غير متجانس التباين. ^{[ 9 ]} المصفوفات أدناه هي مصفوفات التباين المشترك عندما يكون هناك ثلاث مشاهدات فقط عبر الزمن. الاضطراب في المصفوفة A متجانس التباين؛ هذه هي الحالة البسيطة التي يكون فيها تقدير المربعات الصغرى العادية (OLS) هو أفضل مقدر خطي غير متحيز. الاضطرابات في المصفوفتين B وC غير متجانسة التباين. في المصفوفة B، يكون التباين متغيرًا مع الزمن، ويزداد باطراد عبر الزمن؛ في المصفوفة C، يعتمد التباين على قيمة${\displaystyle x}$. يكون الاضطراب في المصفوفة D متجانس التباين لأن التباينات القطرية ثابتة، على الرغم من أن التغايرات غير القطرية غير صفرية، والمربعات الصغرى العادية غير فعالة لسبب مختلف: الارتباط التسلسلي.

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}&B&=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{bmatrix}}&C&=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}x_{1}&0&0\\0&x_{2}&0\\0&0&x_{3}\\\end{bmatrix}}&D&=\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&\rho &\rho ^{2}\\\rho &1&\rho \\\rho ^{2}&\rho &1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

يحدث التباين غير المتجانس غالبًا عندما يكون هناك فرق كبير بين أحجام الملاحظات.

من الأمثلة الكلاسيكية على تباين التباين، العلاقة بين الدخل والإنفاق على الطعام. فقد يتناول الشخص الثري طعامًا رخيصًا في بعض الأحيان، وطعامًا باهظ الثمن في أحيان أخرى. أما الشخص الفقير، فيتناول الطعام الرخيص في أغلب الأحيان. لذا، يُظهر الأشخاص ذوو الدخول المرتفعة تباينًا أكبر في إنفاقهم على الطعام.

عند إطلاق صاروخ، يقيس مراقب المسافة التي يقطعها الصاروخ مرة واحدة في الثانية. في الثواني الأولى، قد تكون القياسات دقيقة لأقرب سنتيمتر. بعد خمس دقائق، قد لا تتجاوز دقة القياسات 100  متر، وذلك بسبب زيادة المسافة، والتشوهات الجوية، وعوامل أخرى متنوعة. لذا، قد تُظهر قياسات المسافة تباينًا غير متجانس.

يفترض نموذج الانحدار الخطي الكلاسيكي عدم وجود تباين غير متجانس. ويؤدي انتهاك هذا الافتراض إلى عدم انطباق نظرية غاوس-ماركوف ، مما يعني أن مُقدِّرات المربعات الصغرى العادية ( OLS ) ليست أفضل مُقدِّرات خطية غير متحيزة (BLUE)، وأن تباينها ليس الأدنى بين جميع المُقدِّرات غير المتحيزة الأخرى. لا يتسبب التباين غير المتجانس في تحيز تقديرات معاملات المربعات الصغرى العادية، على الرغم من أنه قد يتسبب في تحيز تقديرات المربعات الصغرى العادية لتباين المعاملات (وبالتالي أخطائها المعيارية)، ربما أعلى أو أقل من التباين الحقيقي للمجتمع. لذا، فإن تحليل الانحدار باستخدام بيانات ذات تباين غير متجانس سيظل يُقدِّم تقديرًا غير متحيز للعلاقة بين المتغير المُتنبئ والمتغير التابع، ولكن الأخطاء المعيارية، وبالتالي الاستدلالات المُستخلصة من تحليل البيانات، ستكون موضع شك. تؤدي الأخطاء المعيارية المتحيزة إلى استدلالات متحيزة، لذا قد تكون نتائج اختبارات الفرضيات خاطئة. على سبيل المثال، إذا تم إجراء OLS على مجموعة بيانات غير متجانسة التباين، مما يؤدي إلى تقدير متحيز للخطأ المعياري، فقد يفشل الباحث في رفض فرضية العدم عند مستوى دلالة معين ، عندما تكون فرضية العدم هذه في الواقع غير مميزة للمجتمع الفعلي (مما يؤدي إلى خطأ من النوع الثاني ).

في ظل افتراضات معينة، يمتلك مُقدِّر المربعات الصغرى العادية (OLS) توزيعًا تقاربيًا طبيعيًا عند تطبيعه وتوسيطه بشكل صحيح (حتى عندما لا تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا ). تُستخدم هذه النتيجة لتبرير استخدام التوزيع الطبيعي، أو توزيع مربع كاي (بحسب طريقة حساب إحصائية الاختبار )، عند إجراء اختبار الفرضيات . وينطبق هذا حتى في حالة تباين التباين. وبشكل أدق، يكون مُقدِّر المربعات الصغرى العادية (OLS) في وجود تباين التباين طبيعيًا تقاربيًا، عند تطبيعه وتوسيطه بشكل صحيح، مع مصفوفة تباين-تغاير تختلف عن حالة تجانس التباين. في عام 1980، اقترح وايت مُقدِّرًا متسقًا لمصفوفة التباين-التغاير للتوزيع التقاربي لمُقدِّر المربعات الصغرى العادية (OLS). ^{[ 2 ]} وهذا يُؤكد صحة استخدام اختبار الفرضيات باستخدام مُقدِّرات المربعات الصغرى العادية (OLS) ومُقدِّر التباين-التغاير لوايت في حالة تباين التباين.

يُعدّ تباين التباين مشكلة عملية رئيسية تُصادف في مسائل تحليل التباين (ANOVA) . ^{[ 10 ]} ولا يزال من الممكن استخدام اختبار F في بعض الحالات . ^{[ 11 ]}

مع ذلك، قيل إنه لا ينبغي لطلاب الاقتصاد القياسي المبالغة في رد فعلهم تجاه تباين التباين. ^{[ 3 ]} كتب أحد المؤلفين: "لا يستحق تصحيح تباين الخطأ غير المتساوي إلا عندما تكون المشكلة خطيرة." ^{[ 12 ]} إضافةً إلى ذلك، ورد تحذير آخر مفاده: "لم يكن تباين التباين سببًا للتخلي عن نموذج جيد في الأصل." ^{[ 3 ] [ 13 ]} مع ظهور الأخطاء المعيارية المتوافقة مع تباين التباين، والتي تسمح بالاستدلال دون تحديد العزم الثاني الشرطي لحد الخطأ، لم يعد اختبار تجانس التباين الشرطي بنفس أهميته السابقة. ^{[ 6 ]}

في أي نموذج غير خطي (مثل نماذج لوجيت وبروبيت )، يكون لتباين التباين عواقب وخيمة: فغالبًا ما تكون تقديرات الاحتمال الأقصى (MLE) للمعلمات متحيزة وغير متسقة (إلا إذا عُدّلت دالة الاحتمال لتأخذ في الحسبان الشكل الدقيق لتباين التباين، أو إذا كان التوزيع ينتمي إلى عائلة التوزيعات الأسية الخطية ، وتم تحديد دالة التوقع الشرطي بشكل صحيح). ^{[ 14 ] [ 15 ]} مع ذلك، في سياق نماذج الاختيار الثنائي ( لوجيت أو بروبيت )، لا يؤدي تباين التباين إلا إلى تأثير قياس إيجابي على المتوسط ​​التقاربي لتقدير الاحتمال الأقصى غير المحدد (أي النموذج الذي يتجاهل تباين التباين). ^{[ 16 ]} ونتيجة لذلك، تظل التنبؤات المبنية على تقدير الاحتمال الأقصى غير المحدد صحيحة. بالإضافة إلى ذلك، فإن تقدير الاحتمال الأقصى (MLE) لنموذجي بروبيت ولوجيت المُحددين بشكل خاطئ سيتبعان التوزيع الطبيعي تقاربياً، مما يسمح بإجراء اختبارات الدلالة الإحصائية المعتادة (باستخدام مصفوفة التباين والتباين المشترك المناسبة). ومع ذلك، فيما يتعلق باختبار الفرضيات العامة، وكما أشار غرين ، فإن "مجرد حساب مصفوفة تباين مشترك قوية لمُقدِّر غير متسق لا يُبرر استخدامه. وبالتالي، فإن فائدة مصفوفة التباين المشترك القوية في هذا السياق غير واضحة." ^{[ 17 ]}

توجد عدة تصحيحات شائعة لتباين التباين. وهي:

• تحويل البيانات لتحقيق الاستقرار، مثل تحويلها إلى اللوغاريتم . غالبًا ما تبدو السلاسل غير اللوغاريتمية التي تنمو نموًا أُسّيًا وكأنها تشهد تباينًا متزايدًا مع مرور الوقت. ومع ذلك، قد يكون التباين كنسبة مئوية مستقرًا نسبيًا.
• استخدم مواصفات مختلفة للنموذج ( متغيرات X مختلفة ، أو ربما تحويلات غير خطية لمتغيرات X ).
• يُطبَّق أسلوب تقدير المربعات الصغرى الموزونة ، حيث تُطبَّق طريقة المربعات الصغرى العادية على القيم المُحوَّلة أو الموزونة للمتغيرين X و Y. وتختلف الأوزان باختلاف المشاهدات، وعادةً ما تعتمد على تغير تباينات الخطأ. في أحد أشكال هذا الأسلوب، ترتبط الأوزان ارتباطًا مباشرًا بقيمة المتغير التابع، وهذا ما يُعرف بانحدار النسبة المئوية للمربعات الصغرى. ^{[ 18 ]}
• على الرغم من أن الأخطاء المعيارية المتسقة مع عدم تجانس التباين (HCSE) لا تزال متحيزة، إلا أنها تُحسّن من تقديرات المربعات الصغرى العادية (OLS). ^{[ 2 ]} تُعدّ HCSE مُقدِّرًا متسقًا للأخطاء المعيارية في نماذج الانحدار ذات التباين غير المتجانس. تُصحِّح هذه الطريقة عدم تجانس التباين دون تغيير قيم المعاملات. قد تكون هذه الطريقة أفضل من طريقة OLS العادية لأنها تُصحِّحه في حال وجود تباين غير متجانس، ولكن إذا كانت البيانات متجانسة التباين، فإن الأخطاء المعيارية تُعادل الأخطاء المعيارية التقليدية المُقدَّرة بواسطة OLS. وقد اقتُرحت عدة تعديلات على طريقة وايت لحساب الأخطاء المعيارية المتسقة مع عدم تجانس التباين كتصحيحات ذات خصائص أفضل في العينات المحدودة.
• يمكن استخدام أسلوب إعادة التوزيع العشوائي (Wild bootstraping) كطريقة لإعادة التوزيع تراعي الاختلافات في التباين الشرطي لحد الخطأ. وثمة بديل آخر يتمثل في إعادة توزيع المشاهدات بدلاً من الأخطاء. تجدر الإشارة إلى أن إعادة توزيع الأخطاء دون مراعاة القيم المرتبطة بالمشاهدة يفرض تجانس التباين، وبالتالي يؤدي إلى استنتاجات خاطئة.
• استخدم دالة MINQUE أو حتى المقدرات التقليدية${\textstyle s_{i}^{2}=(n_{i}-1)^{-1}\sum _{j}\left(y_{ij}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}}$(ل${\displaystyle i=1,2,...,k}$عينات مستقلة مع${\displaystyle j=1,2,...,n_{i}}$(لكل منها عدد كبير من الملاحظات)، والتي لا تكون خسائر كفاءتها كبيرة عندما يكون عدد الملاحظات لكل عينة كبيرًا (${\displaystyle n_{i}>5}$)، وخاصة بالنسبة لعدد صغير من العينات المستقلة. ^{[ 19 ]}

يمكن اختبار تجانس التباين للبواقي باستخدام اختبار برويش-باغان ^{[ 20 ]} ، الذي يُجري انحدارًا مساعدًا لمربعات البواقي على المتغيرات المستقلة. من هذا الانحدار المساعد، يُحتفظ بمجموع المربعات المُفسَّر، ويُقسم على اثنين، ليصبح إحصائية الاختبار لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية تساوي عدد المتغيرات المستقلة ^{[ 21 ]} . الفرضية الصفرية لاختبار كاي تربيع هذا هي تجانس التباين، بينما تشير الفرضية البديلة إلى عدم تجانس التباين. نظرًا لحساسية اختبار برويش-باغان للانحرافات عن التوزيع الطبيعي أو صغر حجم العينة، يُستخدم عادةً اختبار كوينكر-باسيت أو اختبار "برويش-باغان المعمم" بدلاً منه. ^{[ 22 ]} من الانحدار المساعد، يتم الاحتفاظ بقيمة معامل التحديد (R²)، ثم تُضرب هذه القيمة في حجم العينة، لتصبح إحصائية الاختبار لتوزيع كاي تربيع (مع استخدام نفس درجات الحرية). على الرغم من أن اختبار برويش-باغان لا يتطلب ذلك في اختبار كوينكر-باسيت، إلا أنه يشترط قسمة مربعات البواقي على مجموع مربعات البواقي مقسومًا على حجم العينة. ^{[ 22 ]} يمكن اختبار عدم تجانس التباين بين المجموعات باستخدام اختبار غولدفليد-كواندت . ^{[ 23 ]}

نظراً للاستخدام القياسي للأخطاء المعيارية المتسقة مع عدم تجانس التباين ومشكلة الاختبار المسبق ، نادراً ما يستخدم الاقتصاديون القياسيون في الوقت الحاضر اختبارات عدم تجانس التباين الشرطي. ^{[ 6 ]}

• عدم التجانس
• الخطأ الكروي
• أخطاء معيارية متسقة مع عدم تجانس التباين

تتضمن معظم كتب الإحصاء بعض المعلومات على الأقل حول تجانس التباين وعدم تجانسه. ومن الأمثلة على ذلك:

• أستيريو، ديمتروس؛ هول، ستيفن ج. (2011). الاقتصاد القياسي التطبيقي (  الطبعة الثانية). بالغراف ماكميلان. الصفحات 109-147 . ISBN  978-0-230-27182-1.
• ديفيدسون، راسل؛ ماكينون، جيمس ج. (1993). التقدير والاستدلال في الاقتصاد القياسي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 547-582 . ISBN  978-0-19-506011-9.
• دوغيرتي، كريستوفر (2011). مقدمة في الاقتصاد القياسي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 280-299 . ISBN  978-0-19-956708-9.
• جوجاراتي، دامودار ن .؛ بورتر، دون س. (2009). أساسيات الاقتصاد القياسي (  الطبعة الخامسة). نيويورك: ماكجرو هيل إروين. ص 365-411 . ISBN  978-0-07-337577-9.
• كمنتا، جان (1986). عناصر الاقتصاد القياسي (  الطبعة الثانية). نيويورك: ماكميلان. ص 269-298 . ISBN  978-0-02-365070-3.
• مادالا، جي إس ؛ لاهيري، كاجال (2009). مقدمة في الاقتصاد القياسي (  الطبعة الرابعة). نيويورك: وايلي. الصفحات 211-238 . ISBN  978-0-470-01512-4.

• محاضرة في الاقتصاد القياسي (الموضوع: التباين غير المتجانس) على يوتيوب من تقديم مارك ثوما