طريقة ليل

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة
إيجاد الجذور -2، -1 (جذر مكرر)، و-1/ 3 للمعادلة الرباعية 3x⁴ + 13x³ + 19x² + 11x + 2 باستخدام طريقة ليل. تُشير الأرقام السوداء إلى أطوالها (معاملات المعادلة)، بينما يُمثل كل خط ملون ذو ميل ابتدائي m ونقطة نهاية واحدة جذرًا حقيقيًا.

في الرياضيات ، تُعدّ طريقة ليل طريقةً بصريةً لإيجاد الجذور الحقيقية لكثير الحدود أحادي المتغير من أي درجة . [ 1 ] وقد طوّرها المهندس النمساوي إدوارد ليل عام 1867. [ 2 ] وتناولت ورقة بحثية لاحقة لليل مشكلة الجذور المركبة . [ 3 ]

تعتمد طريقة ليل على رسم مسار من قطع مستقيمة تشكل زوايا قائمة ، بأطوال تساوي معاملات كثيرة الحدود. ويمكن بعد ذلك إيجاد جذور كثيرة الحدود كميول لمسارات أخرى قائمة الزوايا، تربط نقطة البداية بنقطة النهاية، ولكن برؤوس تقع على خطوط المسار الأول.

وصف الطريقة

إيجاد جذور المعادلة التكعيبية 4x³ + 2x² - 2x - 1 ، وهي -1/2، -1/ √2 ، مع توضيح كيفية التعامل مع المعاملات السالبة والقطاعات الممتدة. كل عدد مُوضح على خط ملون هو معكوس ميله ، وبالتالي فهو جذر حقيقي للمعادلة.

لتطبيق هذه الطريقة، يُرسم مخطط بدءًا من نقطة الأصل. يُرسم خط مستقيم باتجاه اليمين بمقدار قيمة المعامل الرئيسي، بحيث ينتهي الخط، في حالة المعاملات السالبة، على يسار نقطة الأصل. من نهاية الخط الأول، يُرسم خط آخر لأعلى بمقدار قيمة المعامل الثاني، ثم لليسار بمقدار قيمة المعامل الثالث، ثم لأسفل بمقدار قيمة المعامل الرابع، وهكذا. يكون تسلسل الاتجاهات (وليس الانعطافات) دائمًا يمينًا، ثم لأعلى، ثم لليسار، ثم لأسفل، ثم يتكرر. وبالتالي، يكون كل انعطاف عكس اتجاه عقارب الساعة. تستمر هذه العملية لكل معامل من معاملات كثيرة الحدود، بما في ذلك الأصفار، مع "السير للخلف" في حالة المعاملات السالبة. النقطة الأخيرة التي يتم الوصول إليها، في نهاية الخط المقابل للحد الثابت في المعادلة، هي نقطة النهاية.

يُرسم خط من نقطة الأصل بزاوية θ ، ثم ينعكس عن كل قطعة مستقيمة بزاوية قائمة (ليست بالضرورة زاوية الانعكاس "الطبيعية")، وينكسر بزاوية قائمة عبر الخط المار بكل قطعة (بما في ذلك خط المعاملات الصفرية) عندما لا يتقاطع المسار المائل مع القطعة المستقيمة على ذلك الخط. [ 4 ] ينعكس الخطان الرأسي والأفقي أو ينكسران عبرهما بالتسلسل التالي: الخط الذي يحتوي على القطعة المقابلة لمعامل x <sub>n - 1</sub> ، ثم x<sub> n - 2 </sub>، وهكذا. باختيار θ بحيث يتقاطع المسار مع نقطة النهاية، يكون −tan ( θ ) جذرًا لهذه المعادلة. لكل جذر حقيقي للمعادلة، ستكون هناك زاوية ابتدائية فريدة ومسار يتقاطع مع نقطة النهاية. على سبيل المثال، المعادلة التربيعية ذات الجذرين الحقيقيين لها زاويتان فقط تحققان الشروط المذكورة أعلاه.

بالنسبة للجذور المركبة، يجب أيضًا إيجاد سلسلة من المثلثات المتشابهة ، ولكن مع إزاحة رؤوس مسار الجذر عن مسار كثير الحدود بمسافة تساوي الجزء التخيلي من الجذر. في هذه الحالة، لن يكون مسار الجذر مستطيلاً. [ 5 ] [ 3 ]

توضيح

يقوم هذا البناء فعليًا بتقييم متعددة الحدود وفقًا لطريقة هورنر . بالنسبة لمتعددة الحدودأنxن+أن-1xن-1+أن-2xن-2+⋯{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots }، قيمأنx{\displaystyle a_{n}x}،(أنx+أن-1)x{\displaystyle (a_{n}x+a_{n-1})x}،((أنx+أن-1)x+أن-2)x{\displaystyle ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x}... يتم توليدها تباعاً كمسافات بين رؤوس متعددة الحدود ومسارات الجذور. بالنسبة لجذر متعددة الحدود، تكون القيمة النهائية صفرًا، لذا فإن الرأس الأخير يتطابق مع نهاية مسار متعددة الحدود.

خصائص إضافية

إن خط الحل الذي يعطي جذرًا يشبه بناء ليل لكثير الحدود مع إزالة هذا الجذر، لأن البناء المرئي مماثل للقسمة التركيبية لكثير الحدود بواسطة جذر خطي أحادي ( قاعدة روفيني ).

من خلال تناظر الرسم التخطيطي، يمكن بسهولة ملاحظة أن جذور متعددة الحدود المعكوسة هي مقلوب الجذور الأصلية.

يمكن أيضًا تنفيذ هذا البناء باستخدام الدوران باتجاه عقارب الساعة بدلًا من عكس اتجاه عقارب الساعة. عند تفسير المسار باستخدام الاصطلاح الآخر، فإنه يُطابق متعددة الحدود المعكوسة (حيث تُغيّر إشارة كل معامل فردي)، وتُعكس جذورها.

عندما يتم اجتياز المسار ذي الزاوية القائمة في الاتجاه المعاكس ولكن بنفس اصطلاح الاتجاه، فإنه يتوافق مع متعددة الحدود المعكوسة، وتكون الجذور هي المعكوسات السالبة للجذور الأصلية. [ 4 ]

إيجاد الجذور التربيعية باستخدام نظرية طاليس

إيجاد جذور المعادلة 3x² + 5x - 2

يمكن استخدام طريقة ليل مع نظرية طاليس لإيجاد الجذور الحقيقية لكثير الحدود التربيعي.

في هذا المثال مع المعادلة 3x² + 5x - 2 ، تُرسَم القطع المستقيمة لكثير الحدود أولاً باللون الأسود، كما هو موضح أعلاه. ثم تُرسَم دائرة بحيث يشكّل الخط المستقيم الواصل بين نقطتي البداية والنهاية قطرها.

بحسب نظرية طاليس، فإن المثلث الذي يحتوي على هذه النقاط وأي نقطة أخرى على الدائرة هو مثلث قائم الزاوية . وبالتالي، فإن تقاطع هذه الدائرة مع القطعة الوسطى في طريقة ليل، مع تمديدها عند الحاجة، يُحدد المسارين المائلين في طريقة ليل، والملونين بالأزرق والأحمر.

إن معكوس تدرجات أجزائها الأولى، m ، يعطي الجذور الحقيقية 1/3 و -2 .

إيجاد الجذور باستخدام طي الورق

أوجد جذور المعادلة 3x³ + 2x² - 7x + 2​

في عام 1936، أوضحت مارغريتا بيازولا بيلوش كيف يمكن تكييف طريقة ليل لحل المعادلات التكعيبية باستخدام طي الورق . [ 6 ] إذا سُمح بالطي المتزامن، فإنه يمكن حل أي معادلة من الدرجة n ذات جذر حقيقي باستخدام n − 2 من الطيات المتزامنة. [ 7 ]

في هذا المثال مع المعادلة 3x³ + 2x² - 7x + 2 ، يتم أولاً رسم القطع المستقيمة لكثير الحدود على ورقة (باللون الأسود). ثم يتم رسم خطوط تمر بانعكاسات نقطتي البداية والنهاية في القطعتين الثانية والثالثة على التوالي (دائرة ومربع باهتان)، وخطوط موازية لهما (خطوط رمادية).

لكل جذر، تُطوى الورقة حتى تنعكس نقطة البداية (الدائرة السوداء) ونقطة النهاية (المربع الأسود) على هذه الخطوط. يحدد محور الانعكاس (الخط المتقطع) المسار المائل المقابل للجذر (الأزرق، البنفسجي، والأحمر). ينتج عن معكوس تدرجات أجزائها الأولى، m ، الجذور الحقيقية 1/3 ، 1 ، و -2 .

انظر أيضاً

  • دائرة كارلايل ، والتي تعتمد على نسخة معدلة قليلاً من طريقة ليل للمعادلة التربيعية المعيارية.

مراجع

  1. ↑ دان كالمان (2009). رحلات رياضية غير مألوفة: كثيرات الحدود والمجالات ذات الصلة . الجمعية الأمريكية للرياضيات. الصفحات 13-22 . ISBN  978-0-88385-341-2.
  2. ^ لي ليل (1867). ""الرسم البياني للمعادلات الرقمية لجميع الدرجات في وحدة واحدة غير معروفة، ووصف لأداة تم اختراعها في هذا ولكن" (PDF) . الحوليات الجديدة للرياضيات . 2. 6 : 359 - 362.
  3. 1 2 إم إي ليل (1868). "الحل الرسومي للمعادلات الجبرية التي تحتوي على جذور متخيلة" (PDF) . الحوليات الجديدة للرياضيات . 2. 7 : 363 - 367.
  4. 1 2 برادفورد، فيليبس فيرنر. "تصور حلول المعادلات الجبرية من الدرجة ن باستخدام المسارات الهندسية القائمة الزاوية" . www.concentric.net. مؤرشف من الأصل في 2 مايو 2010. تم الاطلاع عليه في 3 فبراير 2012 .
  5. ↑ تاباشنيكوف، سيرج (2017-03-01). "كثيرات الحدود كمضلعات" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الذكية . 39 (1): 41-43 . doi : 10.1007/s00283-016-9681-y . ISSN 1866-7414 . S2CID 126072703 .  
  6. ↑ توماس سي. هول (أبريل 2011). "حل المعادلات التكعيبية ذات الطيات: عمل بيلوش وليل" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 118 (4): 307-315 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . S2CID 2540978 . 
  7. ↑ روجر سي. ألبيرين؛ روبرت جيه. لانغ (2009). "مسلمات طي الورق أحادي الطي، وثنائي الطي، ومتعدد الطيات" (ملف PDF) . 4OSME . إيه كيه بيترز. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 فبراير 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أبريل 2012 .