كثير الحدود المقلوب

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر ، عند إعطاء متعددة حدود

ص(x)=أ0+أ1x+أ2x2+⋯+أنxن،{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}

بمعاملات من حقل عشوائي ، ومقلوبه متعدد الحدود أو متعدد الحدود المنعكس ، [ 1 ] [ 2 ] ويرمز إليه بـ p ∗ أو p R ، [ 2 ] [ 1 ] هو متعدد الحدود [ 3 ]

ص*(x)=أن+أن-1x+⋯+أ0xن=xنص(x-1).{\displaystyle p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1}).}

أي أن معاملات p * هي معاملات p بترتيب عكسي. وتظهر كثيرات الحدود المقلوبة بشكل طبيعي في الجبر الخطي ككثير الحدود المميز لمعكوس المصفوفة .

في الحالة الخاصة التي يكون فيها الحقل هو الأعداد المركبة ، عندما

ص(z)=أ0+أ1z+أ2z2+⋯+أنzن،{\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},}

يتم تعريف متعدد الحدود المقلوب المترافق ، والذي يُرمز له بـ p † ، على النحو التالي:

ص†(z)=أن¯+أن-1¯z+⋯+أ0¯zن=zنص(z¯-1)¯،{\displaystyle p^{\dagger }(z)={\overline {a_{n}}}+{\overline {a_{n-1}}}z+\cdots +{\overline {a_{0}}}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}},}

أينأأنا¯{\displaystyle {\overline {a_{i}}}}يرمز إلى المرافق المعقد لـأأنا{\displaystyle a_{i}}ويُطلق عليه أيضًا اسم متعدد الحدود المقلوب عندما لا يكون هناك مجال للالتباس.

تُسمى كثيرة الحدود p ذاتية التبادل أو متناظرة إذا كانت p ( x ) = p * ( x ) . معاملات كثيرة الحدود ذاتية التبادل تحقق aᵢ = aⱼ - i لجميع قيم i .

ملكيات

ترتبط كثيرات الحدود المقلوبة بالعديد من الروابط مع كثيرات الحدود الأصلية، بما في ذلك:

  1. درجة p = درجة p * إذاأ0{\displaystyle a_{0}}ليس صفرًا.
  2. p ( x ) = x n p ∗ ( x −1 ) . [ 2 ]
  3. يكون α جذرًا لكثير الحدود p إذا وفقط إذا كان α −1 جذرًا لـ p ∗ أو إذاα=0{\displaystyle \alpha =0}وص*{\displaystyle p^{*}}هو من درجة أقل منص{\displaystyle p}[ 4 ]​
  4. إذا كان x ∤ p ( x ) فإن p غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان p ∗ غير قابل للاختزال. [ 5 ]
  5. تكون p أولية إذا وفقط إذا كانت p ∗ أولية. [ 4 ]

يمكن الحصول على خصائص أخرى لكثيرات الحدود المقلوبة، على سبيل المثال:

  • كثير الحدود المقلوب ذاتي الدرجة الفردية قابل للقسمة على x+1، وبالتالي فهو غير قابل للاختزال إذا كانت درجته > 1.

كثيرات الحدود المتناظرة والمتضادة

تُسمى كثيرة الحدود ذاتية التبادل أيضًا كثيرة حدود متناظرة لأن معاملاتها، عندما تُكتب كثيرة الحدود بترتيب تصاعدي أو تنازلي للقوى، تُشكل متناظرة . أي، إذا

P(x)=∑أنا=0نأأناxأنا{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}

إذا كانت متعددة الحدود من الدرجة n ، فإن P تكون متناظرة إذا كان a i = a n − i لـ i = 0، 1، ...، n .

وبالمثل، يُطلق على متعددة الحدود P من الدرجة n اسم متعددة الحدود المتناظرة إذا كان aᵢ = −aₙ − ᵢ حيث i = 0, 1, ..., n . أي أن متعددة الحدود P تكون متعددة الحدود المتناظرة إذا كان P ( x ) = –P * ( x ) .

أمثلة

من خصائص معاملات ذات الحدين ، يتبين أن كثيرات الحدود P ( x ) = ( x + 1) n متناظرة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n ، بينما كثيرات الحدود Q ( x ) = ( x – 1) n متناظرة عندما يكون n زوجيًا ومضادة للتناظر عندما يكون n فرديًا .

ومن الأمثلة الأخرى على كثيرات الحدود المتناظرة كثيرات الحدود الدائرية وكثيرات الحدود الأويلرية .

ملكيات

  • إذا كان a جذرًا لكثير الحدود الذي يكون إما متناظرًا أو مضادًا للتناظر، فإن 1 / a هو أيضًا جذر وله نفس التعددية . [ 6 ]
  • والعكس صحيح: إذا كان لكل جذر a لكثير الحدود، فإن القيمة 1 / a هي أيضًا جذر من نفس التعددية، فإن كثير الحدود إما متناظر أو مضاد للتناظر.
  • بالنسبة لأي متعددة حدود q ، فإن متعددة الحدود q + q ∗ تكون متناظرة، ومتعددة الحدود q − q ∗ تكون مضادة للتناظر.
  • ويترتب على ذلك أنه يمكن كتابة أي متعدد حدود q على أنه مجموع متعدد حدود متناظر ومتعدد حدود مضاد للتناظر، حيث أن q = ( q + q ∗ )/2 + ( q − q ∗ )/2 . [ 7 ]
  • حاصل ضرب كثيرتي حدود متناظرتين أو متضادتين يكون متناظراً.
  • ناتج ضرب كثير الحدود المتناظر وكثير الحدود غير المتناظر هو كثير حدود غير متناظر.
  • كثير الحدود المتناظر من الدرجة الفردية هو مضاعف لـ x + 1 (لها -1 كجذر) وناتج قسمتها على x + 1 هو أيضًا متناظر.
  • كثير الحدود المضاد للانعكاس على حقل k ذي خاصية فردية هو مضاعف لـ x – 1 (له 1 كجذر) وقسمته على x – 1 يكون متناظرًا.
  • كثير الحدود المضاد للتماثل من الدرجة الزوجية هو مضاعف لـ x 2 – 1 (له -1 و 1 كجذور) وناتج قسمته على x 2 – 1 هو متماثل.
  • إذا كانت p ( x ) متعددة حدود متناظرة من الدرجة الزوجية 2d ، فإنه توجد متعددة حدود q من الدرجة d بحيث يكون p ( x ) = x d q ( x + 1 / x ) . [ 8 ]
  • إذا كانت p ( x ) متعددة حدود أحادية مضادة للتماثل من الدرجة الزوجية 2d على حقل k ذي خاصية فردية ، فيمكن كتابتها بشكل فريد على النحو التالي: p ( x ) = x d ( Q ( x ) − Q ( 1 / x )) ، حيث Q متعددة حدود أحادية من الدرجة d بدون حد ثابت. [ 9 ]
  • إذا كانت متعددة الحدود المضادة للانعكاس P ذات درجة زوجية 2 n على حقل k ذي خاصية فردية ، فإن معاملها "الأوسط" (من القوة n ) هو 0 لأن a n = − a 2 n – n .

المعاملات الحقيقية

كثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية الذي تقع جميع جذوره المركبة على دائرة الوحدة في المستوى المركب (أي أن جميع الجذور لها معيار 1) يكون إما متناظرًا أو مضادًا للتناظر. [ 10 ]

كثيرات الحدود المقلوبة المترافقة

تكون كثيرة الحدود مترافقة ومقلوبة إذاص(x)≡ص†(x){\displaystyle p(x)\equiv p^{\dagger }(x)}ويكون معكوسًا ذاتيًا إذاص(x)=ωص†(x){\displaystyle p(x)=\omega p^{\dagger }(x)}لعامل قياس ω على دائرة الوحدة . [ 11 ]

إذا كانت p ( z ) هي متعددة الحدود الدنيا لـ z₀ حيث | z₀ | = 1، و z₀ ≠ 1 ، ومعاملات p ( z ) حقيقية ، فإن p ( z ) تكون مترافقة-مقلوبة. وينتج هذا عن

z0نص(1/z0¯)¯=z0نص(z0)¯=z0ن0¯=0.{\displaystyle z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0.}

إذن ، z 0 هو جذر لكثير الحدودzنص(z¯-1)¯{\displaystyle z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}والتي من الدرجة n . ولكن، فإن متعددة الحدود الدنيا فريدة، وبالتالي

جص(z)=zنص(z¯-1)¯{\displaystyle cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}

بالنسبة لثابت ما c ، أيجأأنا=أن-أنا¯=أن-أنا{\displaystyle ca_{i}={\overline {a_{ni}}}=a_{ni}}بجمع القيم من i = 0 إلى n ، نلاحظ أن 1 ليس جذرًا للمعادلة p . نستنتج أن c = 1 .

نتيجةً لذلك، فإن كثيرات الحدود الدائرية Φ n تكون مترافقة ومتبادلة عندما n > 1. يُستخدم هذا في غربال حقل الأعداد الخاص للسماح بتحليل الأعداد من الشكل x 11 ± 1، x 13 ± 1، x 15 ± 1 ، و x 21 ± 1 إلى عواملها الأولية، وذلك بالاستفادة من العوامل الجبرية باستخدام كثيرات حدود من الدرجة 5، 6، 4، و6 على التوالي - لاحظ أن φ ( دالة أويلر ) للأسس هي 10، 12، 8، و12.

بحسب نظرية كوهن ، فإن متعددة الحدود ذاتية الانعكاس لها نفس عدد الجذور في قرص الوحدة{z∈ج:|z|<1}{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} كمقلوب متعدد الحدود لمشتقته . [ 12 ] [ 13 ]

التطبيق في نظرية الترميز

تُستخدم متعددة الحدود المقلوبة في نظرية رموز تصحيح الأخطاء الدورية . لنفترض أن x <sub>n - 1</sub> يمكن تحليله إلى حاصل ضرب متعددتي حدود، ولتكن x <sub>n - 1</sub> = g ( x ) p ( x ) . عندما تُولّد g ( x ) رمزًا دوريًا C ، فإن متعددة الحدود المقلوبة p * تُولّد C⊥ ، وهي المتممة المتعامدة لـ C. [ 14 ] كذلك، تكون C متعامدة ذاتيًا (أي C ⊆ C⊥ ) إذا وفقط إذا كانت p * تقسم g ( x ) . [ 15 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2
    • غراهام، رونالد ؛ كنوت، دونالد إي .؛ باتاشنيك، أورين (1994). الرياضيات الملموسة  : أساس لعلوم الحاسوب (  الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ص  340. ISBN 978-0201558029.
  2. 1 2 3 أيغنر، مارتن (2007). دورة في الإحصاء . برلين، نيويورك: سبرينغر. ص 94. ISBN  978-3540390329.
  3. ↑ رومان 1995 ، ص 37
  4. 1 2 بليس 1990 ، صفحة 57
  5. ↑ رومان 1995 ، صفحة 37
  6. ↑ بليس 1990 ، صفحة 57 للحالة المتناظرة فقط
  7. ↑ شتاين، جوناثان واي. (2000)، معالجة الإشارات الرقمية: منظور علوم الحاسوب ، وايلي إنترساينس، ص 384، ISBN  9780471295464
  8. ↑ دوراند 1961
  9. ↑ كاتز، نيكولاس م. (2012)، الالتفاف والتوزيع المتساوي : نظريات ساتو-تيت لتحويلات ميلين للحقول المنتهية ، مطبعة جامعة برينستون، ص 146، ISBN   9780691153315
  10. ↑ ماركوفسكي، إيفان؛ راو، شودان (2008). "كثيرات الحدود المتناظرة، والأنظمة العكسية زمنيًا، والكميات المحفوظة". المؤتمر المتوسطي السادس عشر للتحكم والأتمتة لعام 2008 (ملف PDF) . معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. الصفحات 125-130 . doi : 10.1109/MED.2008.4602018 . ISBN  978-1-4244-2504-4. S2CID 14122451 . 
  11. ↑ سنكلير، كريستوفر د.؛ فالر، جيفري د. (2008). "كثيرات الحدود ذاتية الانعكاس التي تقع جميع أصفارها على دائرة الوحدة". في: ماكي، جيمس؛ سميث، سي جيه (محرران). نظرية الأعداد وكثيرات الحدود. وقائع ورشة العمل، بريستول، المملكة المتحدة، 3-7 أبريل 2006. سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية. المجلد 352. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 312-321 . ISBN   978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017 . 
  12. ↑ أنكوتشيا، جيرمان (1953). "أصفار كثيرات الحدود ذاتية الانعكاس" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 4 (6): 900-902 . doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0058748-8 . ISSN 0002-9939 . 
  13. ↑ بونسال، ف. ف.؛ ماردن، موريس (1952). "أصفار كثيرات الحدود ذاتية الانعكاس" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (3): 471-475 . doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047828-8 . ISSN 0002-9939 . 
  14. ↑ بليس 1990 ، صفحة 75، النظرية 48
  15. ↑ بليس 1990 ، صفحة 77، النظرية 51

مراجع

  • بليس، فيرا (1990)، مقدمة في نظرية رموز تصحيح الأخطاء (  الطبعة الثانية)، نيويورك: وايلي-إنترساينس، رقم ISBN 0-471-61884-5
  • رومان، ستيفن (1995)، نظرية المجال ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-94408-7
  • Durand، Émile (1961)، “Masson et Cie: XV - polynômes dont les cooperatives sontsymétriques ou antisymétriques”، الحلول الرقمية للمعادلات algrébriques ، المجلد.  ط، ص 140 – 141