التوزيع الهندسي المستقر

التوزيع الهندسي المستقر، أو التوزيع الجيو-مستقر، هو نوع من أنواع التوزيعات الاحتمالية ذات التفرطح العالي . ^{[ 1 ]} تُعدّ هذه التوزيعات نظائر للتوزيعات المستقرة في حالة كون عدد الحدود عشوائيًا، ومستقلًا عن توزيعها، وله توزيع هندسي. قد يكون التوزيع الهندسي المستقر متماثلًا أو غير متماثل. يُشار إلى التوزيع الهندسي المستقر المتماثل أيضًا باسم توزيع لينيك . ^{[ 2 ]} يُعدّ كل من توزيع لابلاس وتوزيع لابلاس غير المتماثل حالتين خاصتين من التوزيع الهندسي المستقر. كما يُعدّ توزيع ميتاج-ليفلر حالة خاصة منه. ^{[ 3 ]}

يُستخدم التوزيع الهندسي المستقر في نظرية التمويل. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

بالنسبة لمعظم التوزيعات الهندسية المستقرة، لا توجد صيغة مغلقة لدالة كثافة الاحتمال ودالة التوزيع التراكمي . ومع ذلك، يمكن تعريف التوزيع الهندسي المستقر بواسطة دالته المميزة ، والتي تأخذ الشكل التالي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

أين${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$.

المعلمة${\displaystyle \alpha }$، والتي يجب أن تكون أكبر من 0 وأقل من أو تساوي 2، هي معامل الشكل أو مؤشر الاستقرار، الذي يحدد مدى ثقل الذيول. ^{[ 8 ]} أقل${\displaystyle \alpha }$يتوافق مع ذيول أثقل .

المعلمة${\displaystyle \beta }$^{[ 8 ]} عندما يكون معامل الالتواء أكبر من أو يساوي -1 وأصغر من أو يساوي 1.${\displaystyle \beta }$إذا كانت القيمة سالبة، فإن التوزيع يكون منحرفًا إلى اليسار، وعندما${\displaystyle \beta }$إذا كانت القيمة موجبة، فإن التوزيع يكون ملتويًا نحو اليمين. عندما${\displaystyle \beta }$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن التوزيع يكون متماثلًا، وتختزل الدالة المميزة إلى: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$.

التوزيع الهندسي المتماثل المستقر مع${\displaystyle \mu =0}$يُشار إليه أيضًا باسم توزيع لينيك. ^{[ 9 ]} وهو توزيع هندسي مستقر منحرف تمامًا، أي ذو${\displaystyle \beta =1}$،${\displaystyle \alpha <1}$، مع${\displaystyle 0<\mu <1}$يُشار إليه أيضًا باسم توزيع ميتاج-ليفلر. ^{[ 10 ]} على الرغم من${\displaystyle \beta }$يحدد مدى التواء التوزيع، ولا ينبغي الخلط بينه وبين معامل الالتواء النموذجي أو العزم المعياري الثالث ، والذي يكون في معظم الحالات غير محدد بالنسبة للتوزيع الهندسي المستقر.

المعلمة${\displaystyle \lambda >0}$ويُشار إليه باسم معامل المقياس ، و${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع. ^{[ 8 ]}

متى${\displaystyle \alpha }$= 2,${\displaystyle \beta }$= 0 و${\displaystyle \mu }$= 0 (أي، توزيع هندسي متماثل مستقر أو توزيع لينيك مع${\displaystyle \alpha }$=2)، يصبح التوزيع توزيع لابلاس المتماثل بمتوسط ​​0، ^{[ 9 ]} والذي له دالة كثافة احتمالية كالتالي:

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$.

يبلغ تباين توزيع لابلاس ما يلي:${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$ومع ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle \alpha <2}$تباين التوزيع الهندسي المستقر لانهائي.

يتميز التوزيع المستقر بخاصية أنه إذا${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$إذا كانت متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع مأخوذة من هذا التوزيع، فإن مجموعها${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$له نفس التوزيع مثل${\displaystyle X_{i}}$'s بالنسبة للبعض${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$.

تتمتع التوزيعات الهندسية المستقرة بخاصية مماثلة، ولكن عدد العناصر في المجموع يكون متغيرًا عشوائيًا موزعًا هندسيًا . إذا${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع مأخوذة من توزيع هندسي مستقر، ونهاية المجموع${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$يقترب من توزيع${\displaystyle X_{i}}$'s لبعض المعاملات${\displaystyle a_{N_{p}}}$و${\displaystyle b_{N_{p}}}$عندما تقترب قيمة p من الصفر، حيث${\displaystyle N_{p}}$متغير عشوائي مستقل عن${\displaystyle X_{i}}$تم أخذها من توزيع هندسي ذي معلمة p. ^{[ 5 ]} بعبارة أخرى:

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

يكون التوزيع مستقرًا هندسيًا بشكل صارم فقط إذا كان المجموع${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$يساوي توزيع${\displaystyle X_{i}}$'s for some a . ^{[ 4 ]} 

توجد أيضًا علاقة بين دالة التوزيع المستقر المميزة ودالة التوزيع الهندسي المستقر المميزة. للتوزيع المستقر دالة مميزة على الشكل التالي:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

أين

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

يمكن التعبير عن دالة الخصائص الهندسية المستقرة بدلالة دالة الخصائص المستقرة على النحو التالي: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

• توزيع ميتاج-ليفلر