توزيع مستقر

في نظرية الاحتمالات ، يُقال إن التوزيع مستقر إذا كان للتركيبة الخطية لمتغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان هذا التوزيع نفس التوزيع، باستثناء معاملي الموقع والمقياس . ويُقال إن المتغير العشوائي مستقر إذا كان توزيعه مستقرًا. وتُعرف عائلة التوزيعات المستقرة أحيانًا باسم توزيع ليفي ألفا المستقر ، نسبةً إلى بول ليفي ، أول عالم رياضيات درسه. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

من بين المعايير الأربعة التي تحدد العائلة، تم التركيز بشكل أكبر على معيار الاستقرار.${\displaystyle \alpha }$(انظر اللوحة). التوزيعات المستقرة لها${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$، مع حد أعلى يتوافق مع التوزيع الطبيعي ، ويقترب من دالة ديراك دلتا في النهاية عندما${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$تتميز التوزيعات بتباين غير محدد لـ${\displaystyle \alpha <2}$، ومتوسط ​​غير محدد لـ${\displaystyle \alpha \leq 1}$.

تكمن أهمية التوزيعات الاحتمالية المستقرة في كونها " جاذبات " لمجاميع معيارية مناسبة لمتغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ( iid ). يُعرّف التوزيع الطبيعي عائلة من التوزيعات المستقرة. وبحسب نظرية النهاية المركزية الكلاسيكية ، فإن المجموع المعياري المناسب لمجموعة من المتغيرات العشوائية، لكل منها تباين محدود، سيميل نحو التوزيع الطبيعي مع ازدياد عدد المتغيرات. وبدون افتراض التباين المحدود، قد تكون النهاية توزيعًا مستقرًا غير طبيعي. وقد أشار ماندلبروت إلى هذه التوزيعات باسم "توزيعات باريتو المستقرة" ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} نسبةً إلى فيلفريدو باريتو . وعلى وجه الخصوص، أشار إلى تلك التوزيعات ذات الانحراف الأقصى في الاتجاه الموجب.${\displaystyle 1<\alpha <2}$^{[ 1 ]} والتي اعتبرها وصفاً أفضل لأسعار الأسهم والسلع من التوزيعات الطبيعية . ^{[ 6 ]}

يُعتبر التوزيع غير المنحط توزيعًا مستقرًا إذا حقق الخاصية التالية:

بما أن التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي ، وتوزيع ليفي جميعها لها الخاصية المذكورة أعلاه، فإنه يترتب على ذلك أنها حالات خاصة من التوزيعات المستقرة.

تشكل هذه التوزيعات عائلة من أربعة معلمات من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ، والتي يتم تحديدها بواسطة معلمات الموقع والمقياس μ و c على التوالي، ومعلمتي الشكل.${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \alpha }$، والتي تتوافق تقريبًا مع مقاييس عدم التماثل والتركيز، على التوالي (انظر الأشكال).

الدالة المميزة${\displaystyle \varphi }$لتوزيع احتمالي بدالة كثافة${\displaystyle f}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle f.}$تكون دالة الكثافة عندئذٍ هي التحويل العكسي لفورييه للدالة المميزة: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.}$$

على الرغم من أنه لا يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال لتوزيع مستقر عام تحليليًا، إلا أنه يمكن التعبير عن الدالة المميزة العامة تحليليًا. يُطلق على المتغير العشوائي X اسم "مستقر" إذا أمكن كتابة دالته المميزة على النحو التالي ^{[ 7 ] [ 9 ].}$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$ حيث sgn ( t ) هي إشارة t و$${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$μ ∈ R هو معامل إزاحة،${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$يُطلق على هذا المقياس اسم معامل الالتواء ، وهو مقياس لعدم التماثل. لاحظ أنه في هذا السياق، لا يكون مفهوم الالتواء المعتاد مُعرَّفًا بدقة، كما هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle \alpha <2}$لا يسمح التوزيع بوجود لحظات من الدرجة الثانية أو أعلى ، والتعريف المعتاد للانحراف هو اللحظة المركزية الثالثة .

يرجع سبب استقرار هذا التوزيع إلى أن الدالة المميزة لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين تساوي حاصل ضرب الدالتين المميزتين المناظرتين لهما. فجمع متغيرين عشوائيين من توزيع مستقر يعطينا توزيعًا له نفس قيم .${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$، ولكن ربما تكون هناك قيم مختلفة لـ μ و c .

ليست كل دالة دالة مميزة لتوزيع احتمالي صحيح (أي دالة توزيع تراكمي حقيقية تتراوح من 0 إلى 1 دون تناقص)، لكن الدوال المميزة المذكورة أعلاه ستكون صحيحة طالما أن المعاملات تقع ضمن نطاقاتها. قيمة الدالة المميزة عند قيمة t هي المرافق المركب لقيمتها عند −t ، كما ينبغي أن تكون لكي تكون دالة التوزيع الاحتمالي حقيقية.

في أبسط الحالات${\displaystyle \beta =0}$، الدالة المميزة هي مجرد دالة أسية ممتدة ؛ التوزيع متناظر حول μ ويشار إليه باسم توزيع ألفا المستقر المتناظر (ليفي) ، وغالبًا ما يتم اختصاره إلى SαS .

متى${\displaystyle \alpha <1}$و${\displaystyle \beta =1}$، يتم دعم التوزيع على [ μ ، ∞).

المعامل c > 0 هو عامل قياس يمثل مقياسًا لعرض التوزيع بينما${\displaystyle \alpha }$يمثل الأس أو الدليل للتوزيع ويحدد السلوك التقاربي للتوزيع.

• التوزيعات المستقرة قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية .
• التوزيعات المستقرة هي التوزيعات ذات التفرطح العالي والتيل السميك ، باستثناء التوزيع الطبيعي (${\displaystyle \alpha =2}$).
• تكون التوزيعات المستقرة مغلقة تحت عملية الالتفاف .

تكون التوزيعات المستقرة مغلقة تحت عملية الالتفاف لقيمة ثابتة لـ${\displaystyle \alpha }$بما أن الالتفاف يكافئ ضرب الدالة المحولة باستخدام تحويل فورييه، فإنه يترتب على ذلك أن حاصل ضرب دالتين مميزتين مستقرتين لهما نفس${\displaystyle \alpha }$سينتج عن ذلك دالة مميزة أخرى مماثلة. ويُعطى حاصل ضرب دالتين مميزتين مستقرتين بالصيغة التالية: $${\displaystyle \exp \left[it\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\left(\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\right)\operatorname {sgn}(t)\Phi \right]}$$

بما أن Φ ليست دالة لـ μ أو c أو${\displaystyle \beta }$وبناءً على المتغيرات، فإن هذه المعاملات للدالة الملتفة تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

في كل حالة، يمكن إثبات أن المعلمات الناتجة تقع ضمن الفترات المطلوبة لتوزيع مستقر.

كانت نظرية النهاية المركزية المعممة (GCLT) ثمرة جهد مشترك بين العديد من علماء الرياضيات ( بيرنشتاين ، ليندبيرغ ، ليفي ، فيلر ، كولموغوروف ، وغيرهم) خلال الفترة من عام 1920 إلى عام 1937. ^{[ 12 ]} نُشر أول برهان كامل (باللغة الفرنسية) لنظرية النهاية المركزية المعممة عام 1937 على يد بول ليفي . ^{[ 13 ]} وتتوفر نسخة باللغة الإنجليزية من البرهان الكامل لنظرية النهاية المركزية المعممة في ترجمة كتاب غنيدينكو وكولموغوروف الصادر عام 1954. ^{[ 14 ]}

وجاء في بيان المحكمة العامة لقانون الشركات ما يلي: ^{[ 10 ]}

بمعنى آخر، إذا تقاربت مجاميع المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع في التوزيع إلى قيمة Z معينة ، فإن Z يجب أن يكون توزيعًا مستقرًا.

لا يوجد حل تحليلي عام لشكل الدالة f ( x ). ومع ذلك، توجد ثلاث حالات خاصة يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية ، كما يتضح من فحص الدالة المميزة : ^{[ 7 ] [ 9 ] [ 15 ]}

• ل${\displaystyle \alpha =2}$يتحول التوزيع إلى توزيع غاوسي بتباين σ² ⁼ 2c² ^ومتوسط ​​μ ؛ معامل الالتواء${\displaystyle \beta }$ليس له أي تأثير.
• ل${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \beta =0}$يتحول التوزيع إلى توزيع كوشي بمعامل مقياس c ومعامل إزاحة μ .
• ل${\displaystyle \alpha =1/2}$و${\displaystyle \beta =1}$يتحول التوزيع إلى توزيع ليفي بمعامل مقياس c ومعامل إزاحة μ .

لاحظ أن التوزيعات الثلاثة المذكورة أعلاه مترابطة أيضًا، على النحو التالي: يمكن اعتبار متغير كوشي العشوائي القياسي مزيجًا من متغيرات غاوسية عشوائية (جميعها بمتوسط ​​صفر)، مع تباين مستمد من توزيع ليفي القياسي. وفي الواقع، هذه حالة خاصة من نظرية أعمّ (انظر الصفحة  59 من ^{[ 16 ]} ) تسمح بالنظر إلى أي توزيع ألفا-مستقر متماثل بهذه الطريقة (حيث يساوي معامل ألفا لتوزيع المزيج ضعف معامل ألفا لتوزيع المزج، ويساوي معامل بيتا لتوزيع المزج دائمًا واحدًا).

صيغة عامة مغلقة لدوال كثافة الاحتمال المستقرة ذات القيم النسبية لـ${\displaystyle \alpha }$تتوفر هذه الدوال بدلالة دوال ماير G. [ ^{17 ] كما} يمكن استخدام دوال فوكس H للتعبير عن دوال كثافة الاحتمال المستقرة. بالنسبة للأعداد النسبية البسيطة، غالبًا ما يكون التعبير المغلق بدلالة دوال خاصة أقل تعقيدًا . تتوفر العديد من التعبيرات المغلقة ذات الصيغ البسيطة نسبيًا بدلالة الدوال الخاصة. في الجدول أدناه، يُشار إلى دوال كثافة الاحتمال التي يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الأولية بالحرف E ، بينما يُشار إلى تلك التي يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الخاصة بالحرف s . ^{[ 16 ]}

		${\displaystyle \alpha }$
		1/3	نصف	2/3	1	4/3	3/2	2
${\displaystyle \beta }$	0	s	s	s	هـ	s	s	هـ
	1	s	هـ	s	ل		s

بعض الحالات الخاصة تُعرف بأسماء محددة:

• ل${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \beta =1}$، التوزيع هو توزيع لاندو ( L ) الذي له استخدام محدد في الفيزياء تحت هذا الاسم.
• ل${\displaystyle \alpha =3/2}$و${\displaystyle \beta =0}$يختزل التوزيع إلى توزيع هولتسمارك بمعامل مقياس c ومعامل إزاحة μ .

أيضًا، في النهاية عندما يقترب c من الصفر أو عندما يقترب α من الصفر، سيقترب التوزيع من دالة ديراك دلتا δ ( x  − μ )  .

يمكن إعادة صياغة التوزيع المستقر كجزء حقيقي من تكامل أبسط: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

وبتعبير الدالة الأسية الثانية على شكل متسلسلة تايلور ، ينتج عن ذلك ما يلي: $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$ أين${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$. بعكس ترتيب التكامل والجمع، وإجراء التكامل ينتج ما يلي: $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$ وهذا سيكون صالحًا عندما يكون x  ≠ μ ، وسيتقارب لقيم مناسبة للمعاملات. (لاحظ أنه تم حذف الحد n = 0 الذي ينتج عنه دالة دلتا في x − μ ). إن التعبير عن الدالة الأسية الأولى كمتسلسلة سينتج عنه متسلسلة أخرى في قوى موجبة لـ x − μ ، وهي أقل فائدة بشكل عام.       

بالنسبة للتوزيع المستقر أحادي الجانب، يلزم تعديل متسلسلة التوسيع المذكورة أعلاه، لأن${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$و${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$لا يوجد جزء حقيقي للجمع. بدلاً من ذلك، يجب إجراء تكامل الدالة المميزة على المحور السالب، مما ينتج عنه: ^{[ 19 ] [ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

بالإضافة إلى الاختبارات الحالية للتوزيع الطبيعي وتقدير المعلمات اللاحق ، طوّر ماكولوتش طريقة عامة تعتمد على الكميات المئوية، وهي تعمل مع كل من التوزيعات المتماثلة والملتوية المستقرة ومعامل الاستقرار.${\displaystyle 0.5<\alpha \leq 2}$[ ^{21 ]​}

لا توجد تعابير تحليلية للمعكوس${\displaystyle F^{-1}(x)}$ولا صندوق الدفاع الكندي${\displaystyle F(x)}$لذا، لا يمكن استخدام طريقة الانعكاس لتوليد متغيرات ذات توزيع مستقر. ^{[ 11 ]} تتطلب الطرق القياسية الأخرى، مثل طريقة الرفض، حسابات مطولة. وقد اقترح تشامبرز ومالوز وستوك (CMS) حلاً أنيقًا وفعالًا، ^{[ 22 ]} حيث لاحظوا أن صيغة تكاملية معينة ^{[ 23 ]} تُنتج الخوارزمية التالية: ^{[ 24 ]}

• توليد متغير عشوائي${\displaystyle U}$موزعة بشكل متساوٍ على${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ومتغير عشوائي أسي مستقل${\displaystyle W}$بمتوسط ​​1؛
• ل${\displaystyle \alpha \neq 1}$حساب:$${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• ل${\displaystyle \alpha =1}$حساب:$${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$أين$${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

تُنتج هذه الخوارزمية متغيرًا عشوائيًا${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$للاطلاع على برهان مفصل، انظر ^{[ 25 ] .}

لمحاكاة متغير عشوائي مستقر لجميع القيم المسموح بها للمعاملات${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle c}$،${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \mu }$استخدم الخاصية التالية: إذا${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$ثم $${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+\mu +{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c&\alpha =1\end{cases}}}$$ يكون${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$. ل${\displaystyle \alpha =2}$(و${\displaystyle \beta =0}$تُختزل طريقة CMS إلى تحويل بوكس-مولر المعروف لتوليد متغيرات عشوائية غاوسية . ^{[ 26 ]} في حين تم اقتراح مناهج أخرى في الأدبيات، بما في ذلك تطبيق متسلسلات بيرجستروم ^{[ 27 ]} وليباج ^{[ 28 ]} ، تُعتبر طريقة CMS الأسرع والأكثر دقة.

تستمد التوزيعات المستقرة أهميتها، نظريًا وعمليًا، من تعميم نظرية النهاية المركزية على المتغيرات العشوائية التي لا تمتلك عزمًا من الرتبة الثانية (وربما الأولى)، وما يصاحب ذلك من تشابه ذاتي للعائلة المستقرة. وقد دفع الانحراف الظاهر عن التوزيع الطبيعي، إلى جانب الحاجة إلى نموذج متشابه ذاتيًا للبيانات المالية (أي أن شكل توزيع تغيرات أسعار الأصول السنوية يجب أن يشبه شكل توزيع تغيرات الأسعار اليومية أو الشهرية المكونة له)، بينوا ماندلبروت إلى اقتراح أن أسعار القطن تتبع توزيعًا مستقرًا من نوع ألفا.${\displaystyle \alpha }$يساوي 1.7. ^{[ 6 ]} تُستخدم توزيعات ليفي بشكل متكرر في تحليل السلوك الحرج والبيانات المالية. ^{[ 9 ] [ 29 ]}

كما أنها موجودة في التحليل الطيفي كتعبير عام عن خط طيفي متسع بفعل الضغط شبه الساكن . ^{[ 18 ]}

تم توضيح توزيع ليفي لفترات انتظار التوهجات الشمسية (الفترة الزمنية بين أحداث التوهج) لتوهجات الأشعة السينية الصلبة التي رصدها مرصد CGRO BATSE في ديسمبر 2001. وكشف تحليل البصمة الإحصائية لليفي عن وجود بصمتين مختلفتين للذاكرة؛ إحداهما مرتبطة بالدورة الشمسية، والأخرى يبدو أن أصلها مرتبط بتأثيرات موضعية أو مجموعة من التأثيرات الموضعية للمناطق النشطة الشمسية. ^{[ 30 ]}

هناك عدد من حالات التوزيعات المستقرة القابلة للتعبير التحليلي. لنفترض أن التوزيع المستقر يُعبَّر عنه بالصيغة التالية:${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$، ثم:

• يُعطى توزيع كوشي بالصيغة التالية${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• يُعطى توزيع ليفي بالصيغة التالية${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• يُعطى التوزيع الطبيعي بالصيغة التالية :${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• يترك${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$إذا كانت دالة لوميل ، فإن: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)}=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}{\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}\right)}$$
• يترك${\displaystyle S(x)}$و${\displaystyle C(x)}$إذا رمزنا إلى تكاملات فرينل ، فإن: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)}=\left({\tfrac {1}{2\pi \left|x\right|^{3}}}\right)^{1/2}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-S{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-C{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]\right)}$$
• يترك${\displaystyle K_{v}(x)}$إذا كانت دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني، فإن: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)}={\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {7}{4}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}{\left({\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}}$$
• يترك${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$إذا رمزنا للدوال الهندسية الفائقة ، فإن: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)}&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{2^{\frac {5}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {7}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {11}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {6}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {8}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{2^{\frac {13}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {13}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {17}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {18}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {15}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)}&={\frac {\Gamma {\left({\tfrac {5}{3}}\right)}}{\pi }}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {x^{2}}{3\pi }}\,{}_{3}F_{4}{\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad +{\frac {7x^{4}\Gamma {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\end{aligned}}}$$أما الأخيرة فهي شركة التوزيع هولتسمارك .
• يترك${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$إذا كانت دالة ويتاكر ، فإن: ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

• رحلة ليفي
• عملية ليفي
• توزيعات أخرى "لقانون القوة"
  • توزيع باريتو
  • توزيع زيتا
  • توزيع زيبف
  • توزيع زيبف-ماندلبروت
• النماذج المالية ذات التوزيعات طويلة الذيل وتجمعات التقلبات
• التوزيع المستقر متعدد المتغيرات
• التوزيع المتقطع المستقر

• يتوفر برنامج STABLE لنظام التشغيل Windows على صفحة الويب الخاصة بجون نولان: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html . يحسب البرنامج دالة الكثافة (pdf) ودالة التوزيع التراكمي (cdf) والكميات لتوزيع مستقر عام، ويُجري تقدير الاحتمال الأقصى للمعلمات المستقرة، بالإضافة إلى بعض تقنيات تحليل البيانات الاستكشافية لتقييم مدى ملاءمة مجموعة البيانات.
• تحتوي مكتبة GNU العلمية المكتوبة بلغة C على حزمة randist ، والتي تتضمن من بين توزيعات Gaussian و Cauchy أيضًا تطبيقًا لتوزيع Levy alpha-stable، سواء مع أو بدون معلمة الانحراف.
• libstable هو تطبيق C لوظائف توزيع الاحتمال الثابت، ودالة التوزيع التراكمي، والرقم العشوائي، والكمية، والتوفيق (إلى جانب حزمة تكرار قياسية وحزمة R).
• حزمة R المسماة 'stabledist' من تطوير ديتلم وورتز ومارتن ماخلر وأعضاء الفريق الأساسي لـ Rmetrics. تحسب هذه الحزمة الكثافة المستقرة والاحتمالية والكميات والأعداد العشوائية.
• يوجد تطبيق بايثون في scipy.stats.levy_stable في حزمة SciPy .
• توفر لغة جوليا حزمة StableDistributions.jl التي تتضمن طرقًا لتوليد التوزيعات المستقرة، وملاءمتها، وحساب كثافة الاحتمال، ودالة التوزيع التراكمي، ودوال توليد الخصائص والعزوم، ودوال الكميات وما يتصل بها، والتحويلات الالتفافية والخطية. وتستخدم هذه الحزمة خوارزميات مُحسّنة من قِبل جون ب. نولان. ^{[ 10 ]}