قائمة بتوزيعات الاحتمالية المتداخلة

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف التوزيع الاحتمالي لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين أو أكثر بأنه التفاف توزيعاتهم الفردية. ويستند هذا المصطلح إلى حقيقة أن دالة الكتلة الاحتمالية أو دالة الكثافة الاحتمالية لمجموع متغيرات عشوائية مستقلة هي التفاف دوال الكتلة الاحتمالية أو دوال الكثافة الاحتمالية المناظرة لها، على التوالي. وللعديد من التوزيعات المعروفة التفافات بسيطة. فيما يلي قائمة بهذه الالتفافات. كل عبارة منها على الشكل التالي:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim Y}$

أين${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة، و${\displaystyle Y}$هو التوزيع الناتج عن عملية الالتفاف لـ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$بدلاً من${\displaystyle X_{i}}$و${\displaystyle Y}$تم تحديد أسماء التوزيعات المقابلة ومعاييرها.

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Binomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {Binomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {NegativeBinomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Geometric} (p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0}$

• $\begin{displaystyle \sum_{i=1}^{n}\operatorname {Stable} \left(\alpha ,\beta_{i},c_{i},\mu_{i}\right)=\operatorname {Stable} \left(\alpha ,{\frac {\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}c_{i}^{\alpha }}{\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }}},\left(\sum_{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha },\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}\right)}$

${\displaystyle \qquad 0<\alpha _{i}\leq 2\quad -1\leq \beta _{i}\leq 1\quad c_{i}>0\quad \infty <\mu _{i}<\infty }$

العبارات الثلاث التالية هي حالات خاصة من العبارة السابقة:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Normal} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim \operatorname {Normal} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0\quad (\alpha =2,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cauchy} (a_{i},\gamma _{i})\sim \operatorname {Cauchy} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad (\alpha =1,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Levy} (\mu _{i},c_{i})\sim \operatorname {Levy} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\left(\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {c_{i}}}\right)^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad c_{i}>0\quad (\alpha =1/2,\beta _{i}=1)}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Gamma} (\alpha _{i},\beta )\sim \operatorname {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0\quad \beta >0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Voigt} (\mu _{i},\gamma _{i},\sigma _{i})\sim \operatorname {Voigt} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i},{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad \sigma _{i}>0}$^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {VarianceGamma} (\mu _{i},\alpha ,\beta ,\lambda _{i})\sim \operatorname {VarianceGamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\alpha ,\beta ,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \lambda _{i}>0\quad {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\theta )\sim \operatorname {Erlang} (n,\theta )\qquad \theta >0\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\lambda _{i})\sim \operatorname {Hypoexponential} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\qquad \lambda _{i}>0}$^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\chi ^{2}(r_{i})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\qquad r_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}N^{2}(0,1)\sim \chi _{r}^{2}\qquad r=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2},\quad }$ أين${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$هي عينة عشوائية من${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$و${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$

التوزيعات المختلطة:

• ${\displaystyle \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})+\operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\sim \operatorname {Voigt} (\mu +x_{0},\sigma ,\gamma )\qquad -\infty <\mu <\infty \quad -\infty <x_{0}<\infty \quad \gamma >0\quad \sigma >0}$

• هوغ، روبرت ف .؛ ماكين، جوزيف و.؛ كريغ، ألين ت. (2004). مقدمة في الإحصاء الرياضي (  الطبعة السادسة). أبر سادل ريفر، نيو جيرسي: برنتيس هول. ص  692. ISBN 978-0-13-008507-8MR 0467974 .​