قابلية القسمة اللانهائية (الاحتمالية)

في نظرية الاحتمالات ، يكون توزيع الاحتمالات قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية إذا كان من الممكن التعبير عنه كتوزيع احتمالي لمجموع عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق (iid) . تسمى الدالة المميزة لأي توزيع قابل للقسمة إلى ما لا نهاية بالدالة المميزة القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية . ^[1]

بشكل أكثر صرامة، يكون توزيع الاحتمالات F قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية إذا كان لكل عدد صحيح موجب n ، يوجد n متغير عشوائي iid X _{n 1} ، ... ، X _nn مجموعها S _n = X _{n 1} + ... + X _nn له نفس التوزيع F.

تم تقديم مفهوم قابلية القسمة اللانهائية لتوزيعات الاحتمالات في عام 1929 بواسطة برونو دي فينيتي . يستخدم هذا النوع من تحليل التوزيع في الاحتمالات والإحصاء لإيجاد عائلات توزيعات الاحتمالات التي قد تكون خيارات طبيعية لنماذج أو تطبيقات معينة. تلعب التوزيعات القابلة للقسمة اللانهائية دورًا مهمًا في نظرية الاحتمالات في سياق نظريات الحد. ^[1]

ومن أمثلة التوزيعات المستمرة التي يمكن تقسيمها إلى ما لا نهاية التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي ، وتوزيع ليفي ، وجميع الأعضاء الآخرين في عائلة التوزيع المستقر ، بالإضافة إلى توزيع جاما ، وتوزيع مربع كاي ، وتوزيع والد ، والتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي ^[2] وتوزيع t للطلاب .

ومن بين التوزيعات المنفصلة، ​​هناك أمثلة على ذلك مثل توزيع بواسون والتوزيع الثنائي السالب (ومن ثم التوزيع الهندسي أيضًا). والتوزيع ذو النقطة الواحدة الذي تكون نتيجته المحتملة الوحيدة هي 0 هو أيضًا قابل للقسمة إلى ما لا نهاية (بشكل تافه).

التوزيع المنتظم والتوزيع ثنائي الحدين غير قابلين للقسمة إلى ما لا نهاية، وكذلك أي توزيعات أخرى ذات دعم محدود (≈ مجال محدود الحجم )، بخلاف توزيع النقطة الواحدة المذكور أعلاه. ^[3] توزيع مقلوب متغير عشوائي له توزيع t لطلاب غير قابل للقسمة إلى ما لا نهاية أيضًا. ^[4]

أي توزيع بواسون مركب قابل للقسمة إلى ما لا نهاية؛ وهذا يتبع مباشرة من التعريف.

تظهر التوزيعات القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية في تعميم واسع النطاق لنظرية الحد المركزي : الحد كما هو الحال في n → + ∞ لمجموع S _n = X _{n 1} + ... + X _nn للمتغيرات العشوائية المستقلة التي يمكن إهمالها بشكل مقارب بشكل موحد (uan) داخل مصفوفة مثلثية

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}}$

يقترب - بالمعنى الضعيف - من توزيع قابل للقسمة إلى ما لا نهاية. الشرط المهمل بشكل مقارب بشكل موحد (uan) يعطى بواسطة

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ for every }}\varepsilon >0.}$

وبالتالي، على سبيل المثال، إذا تم استيفاء شرط الإهمال المقارب المنتظم (uan) من خلال قياس مناسب للمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل متطابق مع تباين محدود ، فإن التقارب الضعيف يكون للتوزيع الطبيعي في النسخة الكلاسيكية من نظرية الحد المركزي. وبشكل عام، إذا تم استيفاء شرط uan من خلال قياس المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل متطابق (مع عدم وجود لحظة ثانية محدودة بالضرورة)، فإن التقارب الضعيف يكون لتوزيع مستقر . من ناحية أخرى، بالنسبة لمجموعة مثلثية من المتغيرات العشوائية المستقلة (غير المقيسة) لبرنولي حيث يتم استيفاء شرط uan من خلال

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,}$

التقارب الضعيف للمجموع هو توزيع بواسون بمتوسط ​​λ كما هو موضح بالدليل المألوف لقانون الأعداد الصغيرة .

كل توزيع احتمالي قابل للقسمة إلى ما لا نهاية يتوافق بطريقة طبيعية مع عملية ليفي . عملية ليفي هي عملية عشوائية {  L _t  :  t  ≥ 0 } بزيادات مستقلة ثابتة ، حيث تعني الثبات أنه بالنسبة إلى s  <  t ، فإن توزيع احتمالية L t − L s يعتمد فقط على t − s وحيث تعني الزيادات المستقلة أن الفرق L t − L s مستقل عن الفرق المقابل _على أي فترة _لا تتداخل مع  [  s , t ] ، _وعلى نحو مماثل _لأي عدد محدود من الفترات  غير المتداخلة بشكل متبادل.

إذا كانت {  L _t  :  t  ≥ 0} عملية ليفي، فبالنسبة لأي t ≥ 0، سيكون  المتغير العشوائي L _t قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية: بالنسبة لأي n ، يمكننا اختيار ( X _{n 1} ، X _{n 2} ، ...، X _nn ) = ( L _{t / n} − L ₀ ، L _{2 t / n} − L _{t / n} ، ...، L _t − L _{( n −1) t / n} ). وبالمثل، فإن L _t − L _s قابل للقسمة إلى ما لا نهاية لأي s  <  t .

من ناحية أخرى، إذا كانت F توزيعًا قابلًا للقسمة إلى ما لا نهاية، فيمكننا إنشاء عملية ليفي {  L _t  :  t  ≥ 0 } منها. لأي فترة [ s ,  t ] حيث t  −  s  > 0 يساوي عددًا نسبيًا p / q ، يمكننا تعريف L _t − L _s ليكون له نفس توزيع X _{q 1} + X _{q 2} + ... + X _qp . تتم معالجة القيم غير النسبية لـ t  −  s  > 0 عبر وسيطة الاستمرارية.

تحتوي العملية الإضافية ( cadlag ، وهي عملية مستمرة في عملية عشوائية احتمالية بزيادات مستقلة ) على توزيع قابل للقسمة إلى ما لا نهاية لأي . لتكن عائلتها من التوزيعات القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية. ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$

${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$يلبي عددًا من شروط الاستمرارية والرتابة. وعلاوة على ذلك، إذا كانت عائلة من التوزيعات القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية تلبي شروط الاستمرارية والرتابة هذه، فهناك (بشكل فريد من حيث القانون) عملية إضافية مع هذا التوزيع. ^[5]${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}$

• نظرية كرامر
• توزيع غير قابل للتحلل
• توزيع بواسون المركب

• دومينغيز-مولينا، جيه إيه؛ روشا-أرتيجا، أ. (2007) "حول قابلية بعض التوزيعات المتماثلة المنحرفة للقسمة اللانهائية". رسائل الإحصاء والاحتمالات ، 77 (6)، 644-648 doi :10.1016/j.spl.2006.09.014
• ستيوتيل، ف.و. (1979)، "القسمة اللانهائية في النظرية والتطبيق" (مع المناقشة)، المجلة الاسكندنافية للإحصاء. 6، 57-64.
• ستيوتيل، ف.و. وفان هارن، ك. (2003)، قابلية القسمة اللانهائية لتوزيعات الاحتمالات على خط الأعداد الحقيقية (مارسيل ديكر).