التوزيع الإهليلجي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف التوزيع الإهليلجي بأنه أي توزيع من عائلة واسعة من التوزيعات الاحتمالية التي تعمم التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات . في الحالة المبسطة ثنائية وثلاثية الأبعاد، يشكل التوزيع المشترك قطعًا ناقصًا وسطحًا إهليلجيًا ، على التوالي، في مخططات الكثافة المتساوية.

في الإحصاء ، يُستخدم التوزيع الطبيعي في التحليل متعدد المتغيرات الكلاسيكي ، بينما تُستخدم التوزيعات الإهليلجية في التحليل متعدد المتغيرات المعمم ، لدراسة التوزيعات المتماثلة ذات الذيول الثقيلة ، مثل توزيع t متعدد المتغيرات ، أو الخفيفة (مقارنةً بالتوزيع الطبيعي). تتميز بعض الأساليب الإحصائية التي استُلهمت في الأصل من دراسة التوزيع الطبيعي بأداء جيد مع التوزيعات الإهليلجية العامة (ذات التباين المحدود)، وخاصةً التوزيعات الكروية (المُعرّفة أدناه). كما تُستخدم التوزيعات الإهليلجية في الإحصاء القوي لتقييم الإجراءات الإحصائية متعددة المتغيرات المقترحة.

تعريف

تُعرَّف التوزيعات الإهليلجية بدلالة الدالة المميزة لنظرية الاحتمالات. متجه عشوائيX{\displaystyle X}يكون للدالة المميزة في الفضاء الإقليدي توزيع إهليلجي إذا كانت دالتها المميزةϕ{\displaystyle \phi }يحقق المعادلة الوظيفية التالية (لكل متجه عمودي)ت{\displaystyle t})

ϕX-μ(ت)=ψ(ت′Σت){\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}

بالنسبة لبعض معلمات الموقعμ{\displaystyle \mu }، بعض المصفوفات غير السالبة المحددةΣ{\displaystyle \Sigma }ودالة قياسية ما ψ{\displaystyle \psi }[ 1 ] تم توسيع تعريف التوزيعات الإهليلجية للمتجهات العشوائية الحقيقية ليشمل المتجهات العشوائية في الفضاءات الإقليدية على حقل الأعداد المركبة ، مما يسهل تطبيقاتها في تحليل السلاسل الزمنية . [ 2 ] تتوفر طرق حسابية لتوليد متجهات شبه عشوائية من التوزيعات الإهليلجية، لاستخدامها في محاكاة مونت كارلو على سبيل المثال. [ 3 ]

تُعرَّف بعض التوزيعات الإهليلجية بشكل بديل بدلالة دوال الكثافة الخاصة بها . يأخذ التوزيع الإهليلجي ذو دالة الكثافة f الشكل التالي:

و(x)=ك⋅ز((x-μ)′Σ-1(x-μ)){\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}

أينك{\displaystyle k}هو ثابت التوحيد ،x{\displaystyle x}هون{\displaystyle n}متجه عشوائي ذو أبعاد n مع متجه وسيطμ{\displaystyle \mu }(وهو أيضاً متجه المتوسط ​​إذا كان الأخير موجوداً)، و Σ{\displaystyle \Sigma }هي مصفوفة موجبة محددة تتناسب مع مصفوفة التغاير إذا كانت الأخيرة موجودة. [ 4 ]

أمثلة

تتضمن الأمثلة توزيعات الاحتمالات متعددة المتغيرات التالية:

ملكيات

في الحالة ثنائية الأبعاد، إذا كانت الكثافة موجودة، فإن كل موضع تساوي الكثافة (مجموعة أزواج x1 و x2 التي تعطي جميعها قيمة معينة لـو(x){\displaystyle f(x)}يمثل ) شكلاً بيضاوياً أو اتحاد أشكال بيضاوية (ومن هنا جاء اسم التوزيع البيضاوي). وبشكل أعم، بالنسبة لأي قيمة لـ n ، فإن مواضع الكثافة المتساوية هي اتحادات أشكال بيضاوية . جميع هذه الأشكال البيضاوية أو الأشكال البيضاوية لها مركز مشترك μ ، وهي نسخ متماثلة (متماثلة) لبعضها البعض.

يُعد التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات حالة خاصة حيثز(z)=هـ-z/2{\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}بينما يكون التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات غير محدود (كل عنصر منx{\displaystyle x}يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة أو سالبة كبيرة بشكل تعسفي باحتمالية غير صفرية، لأنهـ-z/2>0{\displaystyle e^{-z/2}>0}لجميع غير السالبz{\displaystyle z}بشكل عام، يمكن أن تكون التوزيعات الإهليلجية محدودة أو غير محدودة - يكون هذا التوزيع محدودًا إذاز(z)=0{\displaystyle g(z)=0}للجميعz{\displaystyle z}أكبر من قيمة معينة.

توجد توزيعات إهليلجية ذات متوسط ​​غير مُعرَّف ، مثل توزيع كوشي (حتى في حالة المتغير الواحد). ولأن المتغير x يدخل دالة الكثافة بشكل تربيعي، فإن جميع التوزيعات الإهليلجية متناظرة حولμ.{\displaystyle \mu .}

إذا كانت مجموعتان جزئيتان من متجه عشوائي إهليلجي مشترك غير مرتبطتين ، فإن متوسطاتهما، إن وُجدت، تكون مستقلة عن بعضها البعض (متوسط ​​كل متجه جزئي مشروط بقيمة المتجه الجزئي الآخر يساوي المتوسط ​​غير المشروط). [ 8 ] : ص 748

إذا كان المتجه العشوائي X يتبع توزيعًا إهليلجيًا، فإن DX يتبع توزيعًا إهليلجيًا أيضًا لأي مصفوفة D ذات رتبة صفية كاملة . وبالتالي، فإن أي توليفة خطية من مكونات X تكون إهليلجية (وإن لم يكن بالضرورة بنفس التوزيع الإهليلجي)، وأي مجموعة جزئية من X تكون إهليلجية. [ 8 ] : ص 748

Applications

Elliptical distributions are used in statistics and in economics. They are also used to calculate the landing footprints of spacecraft.

In mathematical economics, elliptical distributions have been used to describe portfolios in mathematical finance.[9][10]

Statistics: Generalized multivariate analysis

In statistics, the multivariate normal distribution (of Gauss) is used in classicalmultivariate analysis, in which most methods for estimation and hypothesis-testing are motivated for the normal distribution. In contrast to classical multivariate analysis, generalized multivariate analysis refers to research on elliptical distributions without the restriction of normality.

For suitable elliptical distributions, some classical methods continue to have good properties.[11][12] Under finite-variance assumptions, an extension of Cochran's theorem (on the distribution of quadratic forms) holds.[13]

Spherical distribution

An elliptical distribution with a zero mean and variance in the form αI{\displaystyle \alpha I} where I{\displaystyle I} is the identity-matrix is called a spherical distribution.[14] For spherical distributions, classical results on parameter-estimation and hypothesis-testing hold have been extended.[15][16] Similar results hold for linear models,[17] and indeed also for complicated models (especially for the growth curve model). The analysis of multivariate models uses multilinear algebra (particularly Kronecker products and vectorization) and matrix calculus.[12][18][19]

Robust statistics: Asymptotics

Another use of elliptical distributions is in robust statistics, in which researchers examine how statistical procedures perform on the class of elliptical distributions, to gain insight into the procedures' performance on even more general problems,[20] for example by using the limiting theory of statistics ("asymptotics").[21]

Economics and finance

تُعدّ التوزيعات الإهليلجية مهمة في نظرية المحافظ الاستثمارية ، لأنه إذا كانت عوائد جميع الأصول المتاحة لتكوين المحفظة موزعة توزيعًا إهليلجيًا مشتركًا، فإنه يمكن وصف جميع المحافظ بشكل كامل من خلال موقعها وحجمها ؛ أي أن أي محفظتين لهما نفس موقع وحجم عائد المحفظة لهما نفس توزيع عائد المحفظة. [ 22 ] [ 8 ] تنطبق العديد من خصائص تحليل المحافظ، بما في ذلك نظريات فصل صناديق الاستثمار المشتركة ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية ، على جميع التوزيعات الإهليلجية. [ 8 ] : ص 748

ملحوظات

  1. ^ كامبانيس، هوانغ وسيمونز (1981 ، ص. 368) 
  2. ↑ فانغ، كوتز ونج (1990 ، الفصل 2.9 "التوزيعات الإهليلجية المعقدة المتناظرة"، الصفحات 64-66)
  3. ↑ جونسون (1987 ، الفصل 6، "التوزيعات ذات الخطوط البيضاوية، الصفحات 106-124) : جونسون، مارك إي. (1987). المحاكاة الإحصائية متعددة المتغيرات: دليل لاختيار وتوليد التوزيعات متعددة المتغيرات المستمرة . جون وايلي وأولاده.، "مناقشة واضحة بشكل مثير للإعجاب" وفقًا لـ Fang و Kotz و Ng (1990 ، ص 27) . 
  4. ↑ فرام، جي.، يونكر، إم.، وسزيماير، إيه. (2003). الاقترانات الإهليلجية: قابلية التطبيق والقيود. رسائل الإحصاء والاحتمالات ، 63(3)، 275-286.
  5. ↑ نولان، جون (29 سبتمبر 2014). "الكثافات المستقرة متعددة المتغيرات ودوال التوزيع: الحالة العامة والبيضاوية" . تم الاسترجاع في 26 مايو 2017 .
  6. ↑ باسكال، ف.؛ وآخرون (2013). "تقدير المعلمات لتوزيعات غاوسية معممة متعددة المتغيرات". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 61 (23): 5960-5971 . arXiv : 1302.6498 . Bibcode : 2013ITSP...61.5960P . doi : 10.1109/TSP.2013.2282909 . S2CID 3909632 .  
  7. 1 2 شميدت، رافائيل (2012). "نمذجة وتقدير مخاطر الائتمان باستخدام الدوال الاقترانية الإهليلجية". في بول، جورج؛ وآخرون (محررون). مخاطر الائتمان: القياس والتقييم والإدارة . سبرينغر. ص 274. ISBN   9783642593659.
  8. 1 2 3 4 أوين ورابينوفيتش (1983)
  9. ↑(Gupta, Varga & Bodnar 2013)
  10. ↑(Chamberlain 1983; Owen and Rabinovitch 1983)
  11. ↑Anderson (2004, The final section of the text (before "Problems") that are always entitled "Elliptically contoured distributions", of the following chapters: Chapters 3 ("Estimation of the mean vector and the covariance matrix", Section 3.6, pp. 101-108), 4 ("The distributions and uses of sample correlation coefficients", Section 4.5, pp. 158-163), 5 ("The generalized T2-statistic", Section 5.7, pp. 199-201), 7 ("The distribution of the sample covariance matrix and the sample generalized variance", Section 7.9, pp. 242-248), 8 ("Testing the general linear hypothesis; multivariate analysis of variance", Section 8.11, pp. 370-374), 9 ("Testing independence of sets of variates", Section 9.11, pp. 404-408), 10 ("Testing hypotheses of equality of covariance matrices and equality of mean vectors and covariance vectors", Section 10.11, pp. 449-454), 11 ("Principal components", Section 11.8, pp. 482-483), 13 ("The distribution of characteristic roots and vectors", Section 13.8, pp. 563-567))
  12. 12Fang & Zhang (1990)
  13. ↑Fang & Zhang (1990, Chapter 2.8 "Distribution of quadratic forms and Cochran's theorem", pp. 74-81)
  14. ↑Fang & Zhang (1990, Chapter 2.5 "Spherical distributions", pp. 53-64)
  15. ↑Fang & Zhang (1990, Chapter IV "Estimation of parameters", pp. 127-153)
  16. ↑Fang & Zhang (1990, Chapter V "Testing hypotheses", pp. 154-187)
  17. ↑Fang & Zhang (1990, Chapter VII "Linear models", pp. 188-211)
  18. ↑Pan & Fang (2007, p. ii)
  19. ↑Kollo & von Rosen (2005, p. xiii)
  20. ↑Kariya, Takeaki; Sinha, Bimal K. (1989). Robustness of statistical tests. Academic Press. ISBN 0123982308.
  21. ↑Kollo & von Rosen (2005, p. 221)
  22. ↑Chamberlain (1983)

References

  • Anderson, T. W. (2004). An introduction to multivariate statistical analysis (3rd ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967.
  • Cambanis, Stamatis; Huang, Steel; Simons, Gordon (1981). "On the theory of elliptically contoured distributions". Journal of Multivariate Analysis. 11 (3): 368–385. doi:10.1016/0047-259x(81)90082-8.
  • Chamberlain, Gary (February 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions". Journal of Economic Theory. 29 (1): 185–201. doi:10.1016/0022-0531(83)90129-1.
  • Fang, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Generalized multivariate analysis. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin). ISBN 3540176519. OCLC 622932253.
  • Fang, Kai-Tai; Kotz, Samuel; Ng, Kai Wang ("Kai-Wang" on front cover) (1990). Symmetric multivariate and related distributions. Monographs on statistics and applied probability. Vol. 36. London: Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304. OCLC 123206055.
  • Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas; Bodnar, Taras (2013). Elliptically contoured models in statistics and portfolio theory (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4614-8154-6. ISBN 978-1-4614-8153-9.
    Originally Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas (1993). Elliptically contoured models in statistics. Mathematics and Its Applications (1st ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.
  • Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich (2005). Advanced multivariate statistics with matrices. Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
  • Owen, Joel; Rabinovitch, Ramon (June 1983). "On the Class of Elliptical Distributions and their Applications to the Theory of Portfolio Choice". The Journal of Finance. 38 (3): 745–752. doi:10.2307/2328079. JSTOR 2328079.
  • Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). Growth curve models and statistical diagnostics(PDF). Springer series in statistics. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (New York). doi:10.1007/978-0-387-21812-0. ISBN 9780387950532. OCLC 44162563.

Further reading