اختبار لوغرانك

اختبار لوغرانك ، أو اختبار الرتبة اللوغاريتمية ، هو اختبار فرضية لمقارنة توزيعات البقاء لعينتين. وهو اختبار لا معلمي ، ومناسب للاستخدام عندما تكون البيانات ملتوية نحو اليمين ومُقيدة (تقنيًا، يجب أن يكون التقييد غير مُؤثر). يُستخدم على نطاق واسع في التجارب السريرية لتحديد فعالية علاج جديد مقارنةً بعلاج ضابط، عندما يكون القياس هو الوقت حتى وقوع حدث ما (مثل الوقت من بدء العلاج إلى الإصابة بنوبة قلبية). يُسمى هذا الاختبار أحيانًا اختبار مانتل-كوكس . ويمكن أيضًا اعتبار اختبار لوغرانك اختبار كوكران-مانتل-هينزل مُصنفًا زمنيًا .

اقترح ناثان مانتل هذا الاختبار لأول مرة ، وأطلق عليه ريتشارد وجوليان بيتو اسم اختبار لوغرانك . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

تقارن إحصائية اختبار لوغرانك تقديرات دوال المخاطر للمجموعتين عند كل وقت حدث مُلاحَظ. ويتم حسابها عن طريق حساب عدد الأحداث المُلاحَظ والمتوقع في إحدى المجموعتين عند كل وقت حدث مُلاحَظ، ثم جمع هذه القيم للحصول على ملخص شامل لجميع النقاط الزمنية التي حدث فيها حدث.

لنفترض وجود مجموعتين من المرضى، على سبيل المثال، مجموعة العلاج ومجموعة الضبط.${\displaystyle 1,\ldots ,J}$لتكن الأوقات المميزة للأحداث المرصودة في أي من المجموعتين.${\displaystyle N_{1,j}}$و${\displaystyle N_{2,j}}$ليكن عدد الأفراد "المعرضين للخطر" (الذين لم يتعرضوا لحدث ما أو لم يتم استبعادهم من الدراسة) في بداية الفترة${\displaystyle j}$في المجموعات، على التوالي. ليكن${\displaystyle O_{1,j}}$و${\displaystyle O_{2,j}}$ليكن عدد الأحداث الملاحظة في المجموعات في وقت${\displaystyle j}$وأخيرًا، حدد${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$و${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$.

الفرضية الصفرية هي أن المجموعتين لهما نفس دالة المخاطر،${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$وبالتالي، في ظل${\displaystyle H_{0}}$لكل مجموعة${\displaystyle i=1,2}$،${\displaystyle O_{i,j}}$يتبع توزيعًا فوق هندسيًا بمعاملات${\displaystyle N_{j}}$،${\displaystyle N_{i,j}}$،${\displaystyle O_{j}}$لهذا التوزيع قيمة متوقعة${\displaystyle E_{i,j}=O_{j}{\frac {N_{i,j}}{N_{j}}}}$والتباين${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$.

للجميع${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$تقارن إحصائية لوغرانك${\displaystyle O_{i,j}}$كما هو متوقع${\displaystyle E_{i,j}}$تحت${\displaystyle H_{0}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle Z_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$    (ل${\displaystyle i=1}$أو${\displaystyle 2}$)

من السهل أن نرى ذلك بالنسبة للجميع${\displaystyle j}$،${\displaystyle O_{2,j}-E_{2,j}=-(O_{1,j}-E_{1,j})}$و${\displaystyle V_{2,j}=V_{1,j}}$، لذا${\displaystyle Z_{2}=-Z_{1}}$.

بحسب نظرية النهاية المركزية ، فإن توزيع كل${\displaystyle Z_{i}}$يتقارب مع توزيع طبيعي معياري عندما${\displaystyle J}$تقترب من اللانهاية، وبالتالي يمكن تقريبها بالتوزيع الطبيعي القياسي لقيمة كبيرة بما فيه الكفاية.${\displaystyle J}$يمكن الحصول على تقريب محسّن من خلال مساواة هذه الكمية بتوزيعات بيرسون من النوع الأول أو الثاني (بيتا) مع تطابق اللحظات الأربع الأولى، كما هو موضح في الملحق ب من ورقة بيتو وبيتو. ^{[ 2 ]}

إذا كانت المجموعتان لهما نفس دالة البقاء، فإن إحصائية لوغرانك تقترب من التوزيع الطبيعي القياسي. مستوى أحادي الجانب${\displaystyle \alpha }$سيرفض الاختبار الفرضية الصفرية إذا${\displaystyle Z>z_{\alpha }}$أين${\displaystyle z_{\alpha }}$هو الجزء العلوي${\displaystyle \alpha }$الكمية المئوية للتوزيع الطبيعي القياسي. إذا كانت نسبة المخاطر هي${\displaystyle \lambda }$، هناك${\displaystyle n}$إجمالي عدد المشاركين،${\displaystyle d}$هل احتمال أن يتعرض أحد الأفراد في أي من المجموعتين لحدث ما في نهاية المطاف (بحيث${\displaystyle nd}$إذا كان (العدد المتوقع للأحداث وقت التحليل)، وكانت نسبة الأفراد الذين تم اختيارهم عشوائيًا لكل مجموعة 50%، فإن إحصائية لوغرانك تكون طبيعية تقريبًا بمتوسط${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$والتباين 1. ^{[ 4 ]} لمستوى أحادي الجانب${\displaystyle \alpha }$اختبار باستخدام الطاقة${\displaystyle 1-\beta }$حجم العينة المطلوب هو ${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$ أين${\displaystyle z_{\alpha }}$و${\displaystyle z_{\beta }}$هي كميات التوزيع الطبيعي القياسي.

يفترض${\displaystyle Z_{1}}$و${\displaystyle Z_{2}}$إحصائيات اختبار لوغرانك عند نقطتين زمنيتين مختلفتين في نفس الدراسة (${\displaystyle Z_{1}}$(سابقًا). مرة أخرى، افترض أن دوال المخاطر في المجموعتين تتناسب مع نسبة المخاطر.${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$هي احتمالات وقوع حدث ما لشخص ما عند النقطتين الزمنيتين حيث${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$. ${\displaystyle Z_{1}}$و${\displaystyle Z_{2}}$وهي تقريبًا توزيعات طبيعية ثنائية المتغيرات بمتوسطات${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$و${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$ والارتباط${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$. الحسابات التي تتضمن التوزيع المشترك ضرورية للحفاظ على معدل الخطأ بشكل صحيح عندما يتم فحص البيانات عدة مرات داخل الدراسة من قبل لجنة مراقبة البيانات .

• يمكن اشتقاق إحصائية لوغرانك كاختبار النتيجة لنموذج كوكس للمخاطر النسبية الذي يقارن بين مجموعتين. وبالتالي، فهي مكافئة تقاربياً لإحصائية اختبار نسبة الاحتمال المستندة إلى ذلك النموذج.
• إحصائية لوغرانك مكافئة تقاربياً لإحصائية اختبار نسبة الاحتمال لأي عائلة من التوزيعات ذات بديل المخاطر النسبية. على سبيل المثال، إذا كانت بيانات العينتين تتبع توزيعات أسية .
• لو${\displaystyle Z}$هي إحصائية لوغرانك،${\displaystyle D}$يمثل عدد الأحداث المرصودة، و${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$إذا كان هذا هو تقدير نسبة المخاطر،${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$تكون هذه العلاقة مفيدة عندما تكون اثنتان من الكميات معروفة (على سبيل المثال من مقال منشور)، ولكن هناك حاجة إلى الكمية الثالثة.
• يمكن استخدام إحصائية لوغرانك عندما تكون المشاهدات خاضعة للرقابة. أما إذا لم تكن المشاهدات الخاضعة للرقابة موجودة في البيانات، فإن اختبار ويلكوكسون لمجموع الرتب يكون مناسبًا.
• تُعطي إحصائية اختبار لوغرانك جميع الحسابات نفس الوزن، بغض النظر عن وقت وقوع الحدث. أما إحصائية اختبار لوغرانك لبيتو فتُعطي وزنًا أكبر للأحداث السابقة عند وجود عدد كبير من المشاهدات.

يعتمد اختبار لوغرانك على نفس الافتراضات التي يعتمد عليها منحنى كابلان-ماير للبقاء، وهي: أن الرقابة لا ترتبط بالتنبؤ بالنتائج، وأن احتمالات البقاء متساوية للمشاركين الذين تم تجنيدهم في وقت مبكر وآخر من الدراسة، وأن الأحداث وقعت في الأوقات المحددة. وتكون الانحرافات عن هذه الافتراضات ذات أهمية بالغة إذا اختلفت درجة تحققها بين المجموعات قيد المقارنة، على سبيل المثال، إذا كانت الرقابة أكثر احتمالاً في مجموعة ما مقارنةً بمجموعة أخرى. ^{[ 5 ]}

• مقدر كابلان-ماير
• نسبة الخطر