بنية السجل

في الهندسة الجبرية ، يوفر البناء اللوغاريتمي سياقًا مجردًا لدراسة المخططات شبه المستقرة ، ولا سيما مفهوم الشكل التفاضلي اللوغاريتمي والمفاهيم المرتبطة به في نظرية هودج . تُعد هذه الفكرة إحدى ركائز الهندسة اللوغاريتمية، ولها تطبيقات في نظرية فضاءات المعاملات ، ونظرية التشوه، ونظرية هودج p-adic لفونتين ، وغيرها.

الفكرة هي دراسة نوع جبري (أو مخطط ) U أملس ولكنه ليس بالضرورة مناسبًا، وذلك بتضمينه في X ، وهو مناسب، ثم النظر إلى حزم معينة على X. تكمن المشكلة في أن الحزمة الفرعية من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$إنّ المجموعة التي تتكون من دوال يكون تقييدها على U قابلاً للعكس لا تُشكّل حزمة من الحلقات (إذ إنّ إضافة دالتين غير صفريتين قد تُنتج دالة صفرية)، ولا نحصل إلا على حزمة من أحاديات فرعية من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$، بشكل مضاعف. إن تذكر هذا التركيب الإضافي على X يتوافق مع تذكر التضمين${\displaystyle j\colon U\to X}$، وهو ما يشبه X بهذا الهيكل الإضافي بنوع ذي حدود (يتوافق مع${\displaystyle D=XU}$). ^{[ 1 ]}

ليكن X مخططًا. يتكون هيكل ما قبل اللوغاريتم على X من حزمة من أحاديات (تبديلية).${\displaystyle {\mathcal {M}}}$على X بالإضافة إلى تشاكل أحاديات${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$، أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$يُعتبر شبه زمرة تحت ضرب الدوال.

هيكل ما قبل قطع الأشجار${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$تُعتبر بنية سجل إذا بالإضافة إلى${\displaystyle \alpha }$يُحدث تماثلاً${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$.

يتكون تشاكل البنى (ما قبل) اللوغاريتمية من تشاكل حزم من أحاديات تتبادل مع التشاكلات المرتبطة بها إلى${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

مخطط السجل هو ببساطة مخطط مزود ببنية سجل.

• لأي مخطط X ، يمكن تعريف بنية اللوغاريتم التافهة على X عن طريق أخذ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$و${\displaystyle \alpha }$أن يكون ذلك هو الإدراج.
• يأتي المثال المحفز لتعريف بنية اللوغاريتم من المخططات شبه المستقرة. ليكن X مخططًا،${\displaystyle j\colon U\to X}$تضمين مخطط فرعي مفتوح من X ، مع مكمل${\displaystyle D=XU}$قاسم ذو تقاطعات طبيعية . ثم هناك بنية لوغاريتمية مرتبطة بهذه الحالة، وهي${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$، مع${\displaystyle \alpha }$ببساطة، تحويل التضمين إلى${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. هذا ما يسمى بالبنية اللوغاريتمية المتعارف عليها (أو القياسية ) على X المرتبطة بـ D.
• ليكن R حلقة تقييم منفصلة ، ​​مع حقل الباقي k وحقل الكسر K. عندئذٍ يكون هيكل اللوغاريتم المتعارف عليه على${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$يتضمن ذلك إدراج${\displaystyle R\setminus \{0\}}$(وليس${\displaystyle R^{\times }}$!) داخل${\displaystyle R}$هذا في الواقع مثال على البناء السابق، ولكن مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$.
• باستخدام R كما هو موضح أعلاه، يمكن أيضًا تحديد بنية السجل المجوف على${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$عن طريق أخذ نفس حزمة المونويدات كما في السابق، ولكن بدلاً من ذلك إرسال المثالي الأقصى لـ R إلى 0.

من تطبيقات البنى اللوغاريتمية القدرة على تعريف الصيغ اللوغاريتمية (وتُسمى أيضًا الصيغ التفاضلية ذات الأقطاب اللوغاريتمية) على أي نظام لوغاريتمي. ومن هذا المنطلق، يمكن تعريف السلاسة اللوغاريتمية والإيتالية اللوغاريتمية، مما يُعمم مفاهيم التشكلات الملساء والتشكلات الإيتالية . وهذا بدوره يُتيح دراسة نظرية التشوه .

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم البنى اللوغاريتمية لتعريف بنية هودج المختلطة على أي تنوع معقد أملس X ، وذلك بأخذ عملية تكثيف ذات قاسم تقاطع طبيعي على الحدود D ، وكتابة مركب دي رام اللوغاريتمي المقابل . ^{[ 2 ]}

تظهر كائنات اللوغاريتم بشكل طبيعي أيضًا ككائنات على حدود فضاءات المعاملات ، أي من حالات الانحلال.

يُتيح علم الهندسة اللوغاريتمية أيضًا تعريف علم التماثل اللوغاريتمي البلوري ، وهو نظير لعلم التماثل البلوري الذي يتميز بسلوك جيد للأصناف التي ليست بالضرورة ملساء، بل ملساء لوغاريتميًا فقط. وهذا بدوره يُطبَّق على نظرية تمثيلات غالوا ، وخاصة تمثيلات غالوا شبه المستقرة.

• هندسة السجل
• مخطط شبه مستقر
• التماثل اللوغاريتمي البلوري