مساحة الوحدات

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة الجبرية ، يُعرف فضاء المعاملات بأنه فضاء هندسي (عادةً ما يكون مخططًا أو رصة جبرية ) تمثل نقاطه كائنات جبرية هندسية من نوع محدد، أو فئات تماثل لهذه الكائنات. غالبًا ما تظهر هذه الفضاءات كحلول لمسائل التصنيف : إذا أمكن إثبات أن مجموعة من الكائنات المهمة (مثل المنحنيات الجبرية الملساء من جنس محدد ) يمكن إعطاؤها بنية فضاء هندسي، فإنه يمكن حينها تحديد معلمات هذه الكائنات بإدخال إحداثيات على الفضاء الناتج. في هذا السياق، يُستخدم مصطلح "المعامل" كمرادف لمصطلح "المعلمة"؛ إذ فُهمت فضاءات المعاملات في البداية على أنها فضاءات للمعلمات وليست فضاءات للكائنات. ومن أنواع فضاءات المعاملات المعاملات الشكلية . وقد استخدم برنارد ريمان مصطلح "المعاملات" لأول مرة عام 1857. [ 1 ]

تحفيز

كل نقطة في فضاء المعاملات تُقابل حلاً لمسألة هندسية معينة. ويقابل حلان مختلفان النقطة نفسها إذا كانا متماثلين (أي متطابقين هندسياً). ويمكن اعتبار فضاء المعاملات بمثابة فضاء شامل للمعاملات الخاصة بالمسألة.

على سبيل المثال، لننظر في مسألة إيجاد جميع الدوائر في المستوى الإقليدي حتى التطابق. يمكن وصف أي دائرة بشكل فريد بإعطاء ثلاث نقاط، ولكن العديد من مجموعات النقاط الثلاث المختلفة تُعطي نفس الدائرة: التطابق هو تطابق متعدد إلى واحد. مع ذلك، تُحدد الدوائر بشكل فريد بإعطاء مركزها ونصف قطرها: وهما مُعاملان حقيقيان ومُعامل حقيقي موجب واحد. بما أننا مهتمون فقط بالدوائر "حتى التطابق"، فإننا نُحدد الدوائر التي لها مراكز مختلفة ولكن لها نفس نصف القطر، وبالتالي فإن نصف القطر وحده يكفي لتحديد مجموعة الدوائر المطلوبة. لذلك، فإن فضاء المعاملات هو الأعداد الحقيقية الموجبة .

غالبًا ما تحمل فضاءات المعاملات بنى هندسية وطوبولوجية طبيعية أيضًا. ففي مثال الدوائر، على سبيل المثال، لا يقتصر فضاء المعاملات على كونه مجموعة مجردة، بل إن القيمة المطلقة للفرق بين نصفي القطرين تُحدد مقياسًا لتحديد متى تكون دائرتان "متقاربتين". تُخبرنا البنية الهندسية لفضاءات المعاملات محليًا متى يكون حلان لمسألة تصنيف هندسي "متقاربين"، ولكن عمومًا، تتمتع فضاءات المعاملات أيضًا ببنية شاملة معقدة.

P1(R){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )}هي فضاء الخطوط المارة بنقطة الأصل في المستوى الحقيقي. يتقاطع كل خط مع دائرة الوحدة.S1{\displaystyle S^{1}}في مكانين، لذلك يتم تحديدها بشكل فريد من خلال زاوية0≤θ<π{\displaystyle 0\leq \theta <\pi }أو، بصورة مكافئة، كزوج من النقاط المتقابلة علىS1{\displaystyle S^{1}}.

على سبيل المثال، فكّر في كيفية وصف مجموعة الخطوط فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}تلك التي تتقاطع مع نقطة الأصل. نريد تعيين قيمة لكل خطل{\displaystyle L}من هذه العائلة كمية يمكنها تحديدها بشكل فريد - وهي المعامل. مثال على هذه الكمية هو الزاوية الموجبةθ(ل){\displaystyle \theta (L)}مع0≤θ<π{\displaystyle 0\leq \theta <\pi }الراديان. تُعرف مجموعة الخطوط التي تم تحديدها بهذه الطريقة باسمP1(R){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )}ويسمى خط الإسقاط الحقيقي .

يمكننا أيضًا وصف مجموعة الخطوط فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}التي تتقاطع مع نقطة الأصل عن طريق بناء طوبولوجي. على سبيل المثال: لننظر إلى دائرة الوحدةS1⊆R2{\displaystyle S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}ولاحظ أنه لكل نقطةs∈S1{\displaystyle s\in S^{1}}يوجد خط فريد يربط بين نقطة الأصل وs{\displaystyle s}ومع ذلك، هذا هو الخط الذي سنحصل عليه أيضًا من خلال النظر إلى-s{\displaystyle -s}لذلك نحدد النقاط المتقابلة من خلال علاقة التكافؤ∼{\displaystyle \sim }للاستسلامP1≅S1/∼{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\cong S^{1}/\sim }، مع طوبولوجيا القسمة .

وبالتالي، عندما نأخذ بعين الاعتبارP1(R){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )}كمساحة معيارية من الخطوط التي تتقاطع مع نقطة الأصل فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}نلتقط الطرق التي يمكن بها لأفراد العائلة (الخطوط في هذه الحالة) أن تتغير من خلال تغيير الزاوية باستمرارθ{\displaystyle \theta }.

أمثلة أساسية

الفضاء الإسقاطي وغراسمانيون

الفضاء الإسقاطي الحقيقيPن(R){\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}هو فضاء المعاملات للخطوط المارة بنقطة الأصل فيRن+1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}وبالمثل، الفضاء الإسقاطي المعقدPن(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}هو فضاء جميع الخطوط المركبة التي تمر بنقطة الأصل فيجن+1{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}.

وبشكل أعم، غراسمانيانجير(ك،V){\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}فضاء متجهيV{\displaystyle V}هو فضاء المعاملات لجميعك{\displaystyle k}الفضاءات الخطية ذات الأبعاد n من V.

الفضاء الإسقاطي كمعاملات لحزم خطوط واسعة جدًا يتم توليدها بواسطة مقاطع عالمية

كلما تم تضمين مخططX{\displaystyle X}في الفضاء الإسقاطي العالميPZن{\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}[ 2 ] [ 3 ] يتم إعطاء التضمين بواسطة حزمة خطيةل→X{\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}ون+1{\displaystyle n+1}أقسامs0،...،sن∈Γ(X،ل){\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}والتي لا تختفي جميعها في نفس الوقت. هذا يعني، بالنظر إلى نقطة معينة

x:المواصفات(R)→X{\displaystyle x:{\text{Spec}}(R)\to X}

هناك نقطة مرتبطة

x^:المواصفات(R)→PZن{\displaystyle {\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}

تُعطيها التراكيب

[s0:⋯:sن]∘x=[s0(x):⋯:sن(x)]∈PZن(R){\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)}

عندئذٍ، تكون حزمتان من الخطوط ذات أقسام متكافئتين

(ل،(s0،...،sن))∼(ل′،(s0′،...،sن′)){\displaystyle ({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))}

إذا وفقط إذا كان هناك تماثلϕ:ل→ل′{\displaystyle \phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'} بحيثϕ(sأنا)=sأنا′{\displaystyle \phi (s_{i})=s_{i}'}وهذا يعني دالة المعاملات المرتبطة

PZن:مدرسة→مجموعات{\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}

يرسل مخططًاX{\displaystyle X}إلى المجموعة

PZن(X)={(ل،s0،...،sن):ل→X هي حزمة خطوطs0،...،sن∈Γ(X،ل) تشكل أساس الأقسام العالمية}/∼{\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim }

يمكن إثبات صحة ذلك من خلال المرور بسلسلة من التكرارات المنطقية: أي تضمين إسقاطيأنا:X→PZن{\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}أعطِ الحزمة المُولَّدة عالميًاأنا*ياPZن(1){\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)}مع أقسامأنا*x0،...،أنا*xن{\displaystyle i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}}. وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى حزمة خطوط وافرةل→X{\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}تم إنتاجه عالميًا بواسطةن+1{\displaystyle n+1}تُعطي الأقسام تضمينًا كما هو موضح أعلاه.

أصناف تشاو

تُعدّ مجموعة تشاو ( d , P3 ) مجموعة جبرية إسقاطية تُعطي معلمات لمنحنيات الدرجة d في P3 . ويتم بناؤها كما يلي: ليكن C منحنى من الدرجة d في P3 ، ثم نعتبر جميع الخطوط في P3 التي تتقاطع مع المنحنى C. هذا هو قاسم الدرجة d ، DC، في G (2, 4)، وهو فضاء غراسمان للخطوط في P3 . عندما يتغير C ، بربط C بـ DC ، نحصل على فضاء معلمات لمنحنيات الدرجة d كمجموعة جزئية من فضاء قواسم الدرجة d لفضاء غراسمان: تشاو (d, P3 ) .

مخطط هيلبرت

مخطط هيلبرت Hilb ( X ) هو مخطط معياري. كل نقطة مغلقة في Hilb ( X ) تُقابل مخططًا فرعيًا مغلقًا لمخطط ثابت X ، وكل مخطط فرعي مغلق يُمثَّل بهذه النقطة. مثال بسيط على مخطط هيلبرت هو مخطط درجة المعلمة.د{\displaystyle d}الأسطح الفائقة للفضاء الإسقاطيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}يتم ذلك بواسطة الحزمة الإسقاطية

حأنالبد(Pن)=P(Γ(يا(د))){\displaystyle {\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}

مع عائلة عالمية مقدمة من

يو={(V(و)،و):و∈Γ(يا(د))}{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}}

أينV(و){\displaystyle V(f)}هو المخطط الإسقاطي المرتبط بالدرجةد{\displaystyle d}متعددة الحدود المتجانسةو{\displaystyle f}.

التعريفات

توجد عدة مفاهيم مترابطة لما يمكننا تسميته بالفضاءات المعيارية. كل تعريف من هذه التعريفات يُضفي طابعًا رسميًا على مفهوم مختلف لما يعنيه أن تمثل نقاط الفضاء M أشكالًا هندسية.

مساحة الوحدات الدقيقة

هذا هو المفهوم القياسي. بشكل تقريبي، إذا كان لدينا فضاء M حيث تتوافق كل نقطة m ∊ M مع كائن جبري هندسي U m ، فيمكننا تجميع هذه الكائنات في حزمة تكرارية U فوق M. (على سبيل المثال، يحمل فضاء غراسمان G ( k , V ) حزمة من الرتبة k يكون ليفها عند أي نقطة [ L ] ∊ G ( k , V ) هو ببساطة الفضاء الخطي L ⊂ V ). يُسمى M فضاءً أساسيًا للعائلة U. نقول إن هذه العائلة شاملة إذا كانت أي عائلة من الكائنات الجبرية الهندسية T فوق أي فضاء أساسي B هي سحب عكسي لـ U على طول خريطة فريدة B → M. فضاء المعاملات الدقيق هو فضاء M الذي يُمثل أساسًا لعائلة شاملة.

بتعبير أدق، لنفترض أن لدينا دالة F من المخططات إلى المجموعات، تُسند إلى مخطط B مجموعة جميع العائلات المناسبة من الكائنات ذات الأساس B. يُسمى الفضاء M فضاءً معياريًا دقيقًا للدالة F إذا كان M يُمثل F ، أي إذا وُجد تماثل طبيعي τ  : F → Hom (−, M )، حيث Hom (−, M ) هي دالة النقاط. هذا يعني أن M يحمل عائلة شاملة؛ هذه العائلة هي العائلة على M التي تُقابل دالة التطابق 1 M ∊ Hom ( M , M ).

فضاء المعاملات الخشن

تُعدّ فضاءات المعاملات الدقيقة مرغوبة، لكنها لا توجد دائمًا، وغالبًا ما يصعب إنشاؤها، لذا يلجأ الرياضيون أحيانًا إلى مفهوم أضعف، وهو مفهوم فضاء المعاملات التقريبي. يُسمى الفضاء M فضاء معاملات تقريبي للدالة F إذا وُجد تحويل طبيعي τ  : F → Hom (−, M )، وكان τ تحويلًا عامًا بين هذه التحويلات الطبيعية. بتعبير أدق، يكون M فضاء معاملات تقريبي لـ F إذا كانت أي عائلة T على أساس B تُنتج تطبيقًا φ T  : B → M ، وكان أي كائنين V و W (يُعتبران عائلتين على نقطة) يُقابلان نفس النقطة في M إذا وفقط إذا كان V و W متماثلين. بالتالي، M هو فضاء يحتوي على نقطة لكل كائن يمكن أن يظهر في عائلة، وتعكس هندسته الطرق التي يمكن أن تختلف بها الكائنات في العائلات. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن فضاء المعاملات التقريبي لا يحمل بالضرورة أي عائلة من الكائنات المناسبة، فضلًا عن عائلة عامة.

بمعنى آخر، يتضمن فضاء المعاملات الدقيق كلاً من الفضاء الأساسي M والعائلة الشاملة U → M ، بينما يحتوي فضاء المعاملات الخشن على الفضاء الأساسي M فقط .

مجموعة الوحدات النمطية

كثيرًا ما تأتي الأشكال الهندسية المثيرة للاهتمام مزودةً بالعديد من التشاكلات الذاتية الطبيعية . وهذا يجعل وجود فضاء معياري دقيق أمرًا مستحيلاً (بشكل بديهي، الفكرة هي أنه إذا كان L شكلًا هندسيًا ما، فيمكن تحويل العائلة التافهة L × [0,1] إلى عائلة ملتوية على الدائرة S1 عن طريق تعريف L × {0} مع L × {1} عبر تشاكل ذاتي غير تافه. الآن ، إذا وُجد فضاء معياري دقيق X ، فإن التطبيق S1 → X لا ينبغي أن يكون ثابتًا، ولكنه سيكون ثابتًا على أي مجموعة مفتوحة مناسبة بحكم التفاهة). مع ذلك، يمكن أحيانًا الحصول على فضاء معياري تقريبي. لكن هذا النهج ليس مثاليًا، إذ لا يُضمن وجود مثل هذه الفضاءات، وغالبًا ما تكون شاذة عند وجودها، وتفتقر إلى تفاصيل حول بعض العائلات غير التافهة من الأشكال التي تصنفها.

يتمثل أحد الأساليب الأكثر تطورًا في إثراء التصنيف بتذكر التشاكلات. وبشكل أدق، يمكن على أي قاعدة B اعتبار فئة العائلات على B مع اعتبار التشاكلات بين العائلات فقط بمثابة مورفيزمات. ثم يُنظر في الفئة الليفية التي تُسند إلى أي فضاء B زمرة العائلات على B. يعود استخدام هذه الفئات الليفية في الزمر لوصف مسألة المعاملات إلى غروتينديك (1960/1961). عمومًا، لا يمكن تمثيلها بمخططات أو حتى فضاءات جبرية ، ولكن في كثير من الحالات، لها بنية طبيعية تشبه بنية الرزمة الجبرية .

ظهرت المكدسات الجبرية واستخدامها في تحليل مسائل المعاملات في بحث ديليجن-مامفورد (1969) كأداة لإثبات عدم قابلية اختزال فضاء المعاملات (التقريبي) لمنحنيات من جنس معين. توفر لغة المكدسات الجبرية أساسًا طريقة منهجية للنظر إلى الفئة الليفية التي تشكل مسألة المعاملات على أنها "فضاء"، ويكون مكدس المعاملات للعديد من مسائل المعاملات أكثر انتظامًا (مثل كونه أملسًا) من فضاء المعاملات التقريبي المقابل.

أمثلة أخرى

معاملات المنحنيات

مجموعة المعاملاتمز{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}يُصنِّف هذا التصنيف عائلات المنحنيات الإسقاطية الملساء من النوع g ، بالإضافة إلى تماثلاتها. عندما يكون g > 1، يمكن ضغط هذه المجموعة بإضافة نقاط "حدودية" جديدة تُقابل منحنيات عقدية مستقرة (مع تماثلاتها). يكون المنحنى مستقرًا إذا كان له مجموعة محدودة فقط من التماثلات الذاتية. يُرمز إلى المجموعة الناتجة بـم¯ز{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}تحتوي كلتا مجموعتي المعاملات على عائلات شاملة من المنحنيات. ويمكن أيضًا تعريف فضاءات معاملات خشنة تمثل فئات التشاكل للمنحنيات الملساء أو المستقرة. وقد دُرست هذه الفضاءات الخشنة قبل ابتكار مفهوم مجموعة المعاملات. في الواقع، ابتكر ديلين ومومفورد فكرة مجموعة المعاملات في محاولة لإثبات إسقاطية فضاءات المعاملات الخشنة. وفي السنوات الأخيرة، بات من الواضح أن مجموعة المنحنيات هي في الواقع الكائن الأكثر جوهرية.

كلا المجموعتين أعلاه لهما بُعد 3g⁻³ ؛ لذا يمكن تحديد منحنى عقدي مستقر تمامًا باختيار قيم 3g⁻³ من المعاملات ، عندما تكون g > 1. في الأجناس الأدنى، يجب مراعاة وجود عائلات سلسة من التشاكلات الذاتية، عن طريق طرح عددها. يوجد منحنى عقدي واحد فقط من الجنس صفر، وهو كرة ريمان، ومجموعة تشاكلاته هي PGL(2). ومن ثم، فإن بُعدم0{\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}يكون

dim(space of genus zero curves) − dim(group of automorphisms) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

وبالمثل، في الجنس 1، يوجد فضاء أحادي البعد من المنحنيات، ولكن لكل منحنى من هذا النوع مجموعة أحادية البعد من التشاكلات الذاتية. ومن ثم، فإن المكدسم1{\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}له بُعد 0. فضاءات المعاملات الخشنة لها بُعد 3g −3 مثل الحزم عندما g > 1 لأن المنحنيات ذات الجنس g > 1 لها مجموعة منتهية فقط كتشاكل ذاتي لها، أي بُعد (مجموعة من التشاكلات الذاتية) = 0. في النهاية، في الجنس صفر، يكون لفضاء المعاملات الخشنة بُعد صفر، وفي الجنس واحد، يكون له بُعد واحد.

يمكن أيضًا إثراء المسألة بدراسة مجموعة المعاملات لمنحنيات العقد من الرتبة g ذات n نقطة مميزة. يُقال إن هذه المنحنيات المميزة مستقرة إذا كانت المجموعة الفرعية من تحويلات المنحنيات التي تُثبّت النقاط المميزة منتهية. يُرمز إلى مجموعات المعاملات الناتجة لمنحنيات الرتبة g الملساء (أو المستقرة) ذات n نقطة مميزة بـمز،ن{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}(أوم¯ز،ن{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}), ولها أبعاد 3 g  −  3  + n . 

تُعد مجموعة المعاملات حالة ذات أهمية خاصةم¯1،1{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}منحنيات من النوع 1 بنقطة مميزة واحدة. هذه هي مجموعة المنحنيات الإهليلجية ، وهي الموطن الطبيعي للأشكال النمطية التي تمت دراستها بكثرة ، والتي هي مقاطع ميرومورفية من الحزم على هذه المجموعة.

وحدات الأصناف

في الأبعاد الأعلى، يصبح بناء ودراسة معاملات الأصناف الجبرية أكثر صعوبة. على سبيل المثال، يُعدّ فضاء معاملات الأصناف الأبيلية ، مثل صنف سيجل المعياري ، نظيرًا في الأبعاد الأعلى لفضاء معاملات المنحنيات الإهليلجية المذكور أعلاه . هذه هي المشكلة التي تقوم عليها نظرية صيغ سيجل المعيارية . انظر أيضًا صنف شيمورا .

باستخدام تقنيات نشأت من برنامج النموذج الأدنى، تم بناء فضاءات المعاملات لأصناف من النوع العام بواسطة يانوس كولار ونيكولاس شيبرد-بارون ، والمعروفة الآن باسم فضاءات معاملات KSB. [ 4 ]

من المعروف أنه لا يمكن وضع نظرية معاملات مثالية لجميع أصناف فانو. بقيادة تشن يانغ شو ، تم بناء فضاءات معاملات أصناف فانو من خلال حصرها في فئة خاصة من الأصناف المستقرة من النوع K. وبشكل أدق، يوجد مخطط إسقاطي يُحدد معاملات أصناف فانو متعددة الاستقرار من النوع K، وهو فضاء المعاملات الجيد لمجموعة المعاملات التي تُحدد معاملات أصناف فانو شبه المستقرة من النوع K.

يُعد بناء فضاءات المعاملات لمتنوعات كالابي-ياو مشكلة مفتوحة مهمة، ولم يتم فهم سوى حالات خاصة مثل فضاءات المعاملات لأسطح K3 أو المتنوعات الأبيلية . [ 5 ]

معاملات حزم المتجهات

من المسائل المهمة الأخرى في مجال المعاملات فهم هندسة (مختلف المجموعات الفرعية من) مجموعة المعاملات Vect n ( X ) لحزم المتجهات من الرتبة n على تنوع جبري ثابت X. [ 6 ] وقد حظيت هذه المجموعة بأكبر قدر من الدراسة عندما يكون X أحادي البعد، وخاصة عندما تكون n تساوي واحدًا. في هذه الحالة، يكون فضاء المعاملات التقريبي هو مخطط بيكارد ، والذي، مثله مثل فضاء معاملات المنحنيات، دُرِسَ قبل ابتكار مجموعات المعاملات. عندما تكون رتبة الحزم 1 ودرجتها صفرًا، فإن دراسة فضاء المعاملات التقريبي هي دراسة تنوع جاكوبي .

في تطبيقات الفيزياء ، تم العثور على عدد معاملات الحزم المتجهة والمشكلة المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بعدد معاملات الحزم الرئيسية G ذات أهمية في نظرية القياس .

حجم فضاء المعاملات

الخطوط الجيوديسية البسيطة وأحجام ويل-بيترسون لفضاءات المعاملات لأسطح ريمان ذات الحدود.

طرق بناء فضاءات المعاملات

يعود تاريخ الصياغة الحديثة لمسائل المعاملات وتعريف فضاءات المعاملات بدلالة دوال المعاملات (أو بشكل أعم، الفئات المُليفة في الزمر الجزئية )، والفضاءات التي تُمثلها (تقريبًا)، إلى غروتينديك (1960/1961)، حيث وصف الإطار العام والمناهج والمشكلات الرئيسية باستخدام فضاءات تايخمولر في الهندسة التحليلية المعقدة كمثال. وتتناول المحاضرات، على وجه الخصوص، الطريقة العامة لبناء فضاءات المعاملات من خلال تثبيت مسألة المعاملات قيد الدراسة أولًا.

بتعبير أدق، فإن وجود تشاكلات ذاتية غير تافهة للكائنات المصنفة يجعل من المستحيل الحصول على فضاء معياري دقيق. ومع ذلك، غالبًا ما يكون من الممكن النظر في مسألة معيارية معدلة لتصنيف الكائنات الأصلية مع بيانات إضافية، مختارة بحيث يكون التطابق هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحترم أيضًا البيانات الإضافية. باختيار مناسب للبيانات المقيدة، سيكون للمسألة المعيارية المعدلة فضاء معياري (دقيق) T ، والذي غالبًا ما يوصف بأنه مخطط فرعي لمخطط هيلبرت مناسب أو مخطط قسمة . علاوة على ذلك، يتم اختيار البيانات المقيدة بحيث تتوافق مع حزمة رئيسية ذات زمرة بنية جبرية G. وبالتالي، يمكن العودة من المسألة المقيدة إلى المسألة الأصلية بأخذ خارج القسمة بفعل G ، وتصبح مسألة بناء الفضاء المعياري هي إيجاد مخطط (أو فضاء أكثر عمومية) يكون (بمعنى قوي مناسب) خارج قسمة T / G لـ T بفعل G. المسألة الأخيرة، بشكل عام، لا تقبل حلاً. ومع ذلك، يتم تناول هذا الأمر من خلال نظرية الثوابت الهندسية الرائدة (GIT)، التي طورها ديفيد مامفورد في عام 1965، والتي تُظهر أنه في ظل ظروف مناسبة يكون خارج القسمة موجودًا بالفعل.

لفهم كيفية عمل ذلك، لننظر في مسألة تحديد معلمات المنحنيات الملساء من النوع g > 2. يُكافئ المنحنى الأملس مع نظام خطي كامل من الدرجة d > 2g مخططًا فرعيًا مغلقًا أحادي البعد من الفضاء الإسقاطي P d−g . بالتالي، يمكن تضمين فضاء المعاملات للمنحنيات الملساء والأنظمة الخطية (التي تستوفي معايير معينة) في مخطط هيلبرت لفضاء إسقاطي ذي أبعاد عالية كافية. يمتلك هذا الموضع H في مخطط هيلبرت تأثيرًا من PGL( n ) يمزج عناصر النظام الخطي؛ وبالتالي، يُستعاد فضاء المعاملات للمنحنيات الملساء كحاصل قسمة H على المجموعة الخطية العامة الإسقاطية.

يرتبط نهج عام آخر بشكل أساسي بمايكل آرتين . تقوم الفكرة هنا على البدء بكائن من النوع المراد تصنيفه ودراسة نظرية تشوهه . وهذا يعني أولًا بناء تشوهات متناهية الصغر ، ثم اللجوء إلى نظريات التمثيل المسبق لدمجها في كائن على قاعدة شكلية . بعد ذلك، يوفر اللجوء إلى نظرية الوجود الشكلية لغروتينديك كائنًا من النوع المطلوب على قاعدة هي حلقة محلية كاملة. يمكن تقريب هذا الكائن، عبر نظرية التقريب لآرتين، بكائن مُعرَّف على حلقة مولدة نهائيًا. يمكن بعد ذلك اعتبار طيف هذه الحلقة الأخيرة بمثابة مخطط إحداثيات على فضاء المعاملات المطلوب. من خلال تجميع عدد كافٍ من هذه المخططات، يمكننا تغطية الفضاء، لكن الخريطة من اتحاد أطيافنا إلى فضاء المعاملات ستكون، بشكل عام، متعددة إلى واحد. لذلك، نُعرِّف علاقة تكافؤ على الأولى؛ أي أن نقطتين متكافئتان إذا كان الكائنان على كل منهما متماثلين. وهذا يعطي مخططًا وعلاقة تكافؤ، وهو ما يكفي لتعريف فضاء جبري (في الواقع مكدس جبري إذا كنا حذرين) إن لم يكن دائمًا مخططًا.

في الفيزياء

يُستخدم مصطلح فضاء المعاملات أحيانًا في الفيزياء للإشارة تحديدًا إلى فضاء المعاملات لقيم التوقع الفراغي لمجموعة من الحقول العددية ، أو إلى فضاء المعاملات للخلفيات الوترية المحتملة .

تظهر فضاءات المعاملات أيضًا في الفيزياء في نظرية المجال الطوبولوجي ، حيث يمكن للمرء استخدام تكاملات مسار فاينمان لحساب أعداد التقاطع لفضاءات المعاملات الجبرية المختلفة.

انظر أيضاً

أدوات البناء

مساحات الوحدات

مراجع

  1. ↑ تشان، ميلودي. "فضاءات المعاملات للمنحنيات: الكلاسيكية والاستوائية" (ملف PDF) . AMS .
  2. ↑ "الفرضية 27.13.1 (01NE) - مشروع Stacks" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2020 .
  3. ↑ "الهندسة الجبرية - ما الذي يصنفه الفضاء الإسقاطي؟" . موقع تبادل المعلومات الرياضية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2020 .
  4. ↑ ج. كولار. معاملات الأصناف من النوع العام، دليل المعاملات. المجلد الثاني، 2013، الصفحات 131-157.
  5. ↑ هويبرختس، د. ، 2016. محاضرات حول أسطح K3 (المجلد 158). مطبعة جامعة كامبريدج.
  6. ↑ "الحزم الجبرية ومعاملات حزم المتجهات" (PDF) .

ملحوظات

المقالات البحثية

الأوراق الأساسية

الطلبات المبكرة

مراجع أخرى

  • بابادوبولوس، أثاناس، محرر (2007)، دليل نظرية تايخمولر. المجلد الأول، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، 11، الجمعية الرياضية الأوروبية (EMS)، زيورخ، doi : 10.4171/029 ، ISBN 978-3-03719-029-6MR 2284826​ 
  • بابادوبولوس، أثاناس، محرر (2009)، دليل نظرية تايخمولر. المجلد الثاني، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، 13، الجمعية الرياضية الأوروبية (EMS)، زيورخ، doi : 10.4171/055 ، ISBN 978-3-03719-055-5MR 2524085​ 
  • بابادوبولوس، أثاناس، محرر (2012)، دليل نظرية تايخمولر. المجلد الثالث، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية، 17، الجمعية الرياضية الأوروبية (EMS)، زيورخ، doi : 10.4171/103 ، ISBN 978-3-03719-103-3.
  • لوري، ج. (2011). "مسائل المعاملات لأطياف الحلقات". وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات 2010 (ICM 2010) . الصفحات 1099-1125 . doi : 10.1142/9789814324359_0088 . ISBN  978-981-4324-30-4.