نظرية هودج

في الرياضيات ، تُعرف نظرية هودج ، نسبةً إلى دبليو في دي هودج ، بأنها طريقة لدراسة مجموعات التماثل لمتشعب أملس M باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية . وتتمثل الملاحظة الأساسية في أنه، عند وجود مقياس ريماني على M ، فإن لكل فئة تماثل ممثلًا قانونيًا ، وهو شكل تفاضلي يتلاشى تحت تأثير مؤثر لابلاس للمقياس. وتُسمى هذه الأشكال بالتناظرية .

طُوِّرت هذه النظرية على يد هودج في ثلاثينيات القرن العشرين لدراسة الهندسة الجبرية ، واستندت إلى أعمال جورج دي رام في علم التماثل دي رام . ولها تطبيقات رئيسية في مجالين: مشعبات ريمان ومشعبات كاهلر . ويُجسِّد المجال الأخير الدافع الأساسي لهودج، وهو دراسة المتنوعات الإسقاطية المعقدة . وقد أصبحت نظرية هودج أداةً مهمةً في الهندسة الجبرية، لا سيما من خلال ارتباطها بدراسة الدورات الجبرية .

على الرغم من أن نظرية هودج تعتمد جوهرياً على الأعداد الحقيقية والمركبة ، إلا أنه يمكن تطبيقها على مسائل في نظرية الأعداد . في المسائل الحسابية، قدمت أدوات نظرية هودج p -adic براهين بديلة، أو نتائج مماثلة، لنظرية هودج الكلاسيكية.

كان مجال الطوبولوجيا الجبرية لا يزال في مراحله الأولى في عشرينيات القرن العشرين. لم يكن قد تبلور فيه مفهوم التماثل بعد ، وكان التفاعل بين الأشكال التفاضلية والطوبولوجيا غير مفهوم بشكل كافٍ. في عام ١٩٢٨، نشر إيلي كارتان فكرة بعنوان " حول أعداد بيتي في فضاءات المجموعات المغلقة "، اقترح فيها -دون أن يثبت- ضرورة ربط الأشكال التفاضلية بالطوبولوجيا. عند قراءتها، استلهم جورج دي رام، الذي كان طالبًا آنذاك، هذه الفكرة. في أطروحته عام ١٩٣١، أثبت نتيجة تُعرف الآن بنظرية دي رام . وبحسب نظرية ستوكس ، فإن تكامل الأشكال التفاضلية على طول السلاسل الشاذة يُنتج، لأي مشعب أملس مضغوط M ، اقترانًا ثنائي الخطية كما هو موضح أدناه:

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

كما ذُكر في الأصل، ^{[ 1 ]} تنص نظرية دي رام على أن هذا اقتران تام ، وبالتالي فإن كل حد من الحدود الموجودة على الجانب الأيسر هو فضاء متجهي مزدوج للآخر. في اللغة المعاصرة، تُصاغ نظرية دي رام غالبًا على أنها تنص على أن علم التماثل المفرد ذو المعاملات الحقيقية متماثل مع علم تماثل دي رام.

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

إن عبارة دي رام الأصلية هي نتيجة لحقيقة أن علم التماثل المفرد على الأعداد الحقيقية هو ثنائي علم التماثل المفرد.

في سياق منفصل، استخدم سولومون ليفشيتز _في بحثه المنشور عام ١٩٢٧ أساليب طوبولوجية لإعادة إثبات نظريات ريمان . ^{[ ٢ ]} بعبارة أخرى، إذا كان _ω₁ و ω₂ تفاضلين هولومورفيين على منحنى جبري C ، فإن حاصل ضربهما الخارجي يساوي صفرًا بالضرورة لأن C له بُعد عقدي واحد فقط؛ وبالتالي، فإن حاصل الضرب الكأسي لفئاتهما الكوهومولوجية يساوي صفرًا، وعندما تم توضيح ذلك، قدم ليفشيتز برهانًا جديدًا لعلاقات ريمان . بالإضافة إلى ذلك، إذا كان ω تفاضلًا هولومورفيًا غير صفري، فإن${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$هي صيغة حجمية موجبة، استطاع ليفشيتز من خلالها إعادة اشتقاق متراجحات ريمان. في عام 1929، اطلع دبليو في دي هودج على ورقة ليفشيتز. ولاحظ على الفور أن مبادئ مماثلة تنطبق على الأسطح الجبرية. بتعبير أدق، إذا كانت ω صيغة تحليلية غير صفرية على سطح جبري، فإن${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$موجب، لذا فإن حاصل ضرب الكوب${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle {\bar {\أوميغا }}}$يجب أن تكون قيمتها غير صفرية. ويترتب على ذلك أن ω نفسها يجب أن تمثل فئة تماثل غير صفرية، لذا لا يمكن أن تكون جميع دوراتها صفرية. وقد حلّ هذا مسألةً طرحها سيفيري. ^{[ 3 ]}

رأى هودج أن هذه التقنيات قابلة للتطبيق على الأصناف ذات الأبعاد الأعلى أيضًا. وقد أوصى زميله بيتر فريزر برسالة دي رام إليه. عند قراءة رسالة دي رام، أدرك هودج أن الأجزاء الحقيقية والخيالية لشكل رياضي من الدرجة الأولى على سطح ريمان متقابلة بشكل ما. وتوقع وجود ازدواجية مماثلة في الأبعاد الأعلى؛ تُعرف هذه الازدواجية الآن باسم مؤثر نجمة هودج . كما افترض أن لكل فئة من فئات التماثل ممثلًا مميزًا يتميز بخاصية تلاشيه هو وممثله المزدوج تحت تأثير مؤثر المشتقة الخارجية؛ وتُسمى هذه الأشكال الآن بالأشكال التوافقية. كرّس هودج معظم ثلاثينيات القرن العشرين لهذه المسألة. ظهرت محاولته الأولى المنشورة لإثبات صحة البرهان عام 1933، لكنه اعتبرها "بدائية للغاية". حتى أن هيرمان فايل ، أحد ألمع علماء الرياضيات في تلك الحقبة، لم يتمكن من تحديد صحة برهان هودج. في عام ١٩٣٦، نشر هودج برهانًا جديدًا. ورغم أن هودج اعتبر البرهان الجديد متفوقًا بكثير، إلا أن بونينبلست اكتشف خللًا خطيرًا فيه. وبشكل مستقل، قام هيرمان فايل وكونيهيكو كودايرا بتعديل برهان هودج لتصحيح هذا الخطأ. وقد أثبت هذا التعديل التشاكل الذي سعى إليه هودج بين الأشكال التوافقية وفئات علم التماثل.

بالنظر إلى الماضي، يتضح أن الصعوبات التقنية في نظرية الوجود لم تتطلب في الواقع أي أفكار جديدة جوهرية، بل مجرد توسيع دقيق للأساليب الكلاسيكية. أما الجدة الحقيقية، التي كانت إسهام هودج الأبرز، فكانت في مفهوم التكاملات التوافقية وأهميتها في الهندسة الجبرية. هذا الانتصار للمفهوم على التقنية يُذكّرنا بحادثة مماثلة في أعمال سلف هودج العظيم، برنارد ريمان.

— إم إف عطية ، ويليام فالانس دوغلاس هودج، 17 يونيو 1903 - 7 يوليو 1975، مذكرات السيرة الذاتية لزملاء الجمعية الملكية ، المجلد 22، 1976، الصفحات 169-192.

ليكن X مشعبًا إسقاطيًا عقديًا أملسًا ، أي أن X مشعب فرعي عقدي مغلق من فضاء إسقاطي عقدي CP ^N. وبحسب نظرية تشاو ، فإن المشعبات الإسقاطية العقدية جبرية تلقائيًا: إذ تُعرَّف بانعدام المعادلات متعددة الحدود المتجانسة على CP ^N. ويُنتج المقياس الريماني القياسي على CP ^N مقياسًا ريمانيًا على X يتمتع بتوافق قوي مع البنية العقدية، مما يجعل X مشعبًا كاهلريًا .

بالنسبة لمتشعب معقد X وعدد طبيعي r ، يمكن كتابة كل شكل من أشكال C∞ r على X (بمعاملات معقدة) بشكل فريد كمجموع أشكال من النوع ( p , q ) حيث p + q = r ، أي الأشكال التي ^يمكن كتابتها محليًا كمجموع محدود من الحدود، حيث يأخذ كل حد الشكل التالي:

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

with f a C^∞ function and the z_s and w_sholomorphic functions. On a Kähler manifold, the (p, q) components of a harmonic form are again harmonic. Therefore, for any compact Kähler manifold X, the Hodge theorem gives a decomposition of the cohomology of X with complex coefficients as a direct sum of complex vector spaces:^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

This decomposition is in fact independent of the choice of Kähler metric (but there is no analogous decomposition for a general compact complex manifold). On the other hand, the Hodge decomposition genuinely depends on the structure of X as a complex manifold, whereas the group H^r(X, C) depends only on the underlying topological space of X.

Taking wedge products of these harmonic representatives corresponds to the cup product in cohomology, so the cup product with complex coefficients is compatible with the Hodge decomposition:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

The piece H^p,q(X) of the Hodge decomposition can be identified with a coherent sheaf cohomology group, which depends only on X as a complex manifold (not on the choice of Kähler metric):^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

where Ω^p denotes the sheaf of holomorphic p-forms on X. For example, H^p,0(X) is the space of holomorphic p-forms on X. (If X is projective, Serre's GAGA theorem implies that a holomorphic p-form on all of X is in fact algebraic.)

On the other hand, the integral along a cycle Z can be written as the cap product of the homology class of Z and the cohomology class represented by ${\displaystyle \alpha }$. By Poincaré duality, the homology class of Z is dual to a cohomology class which we will call [Z], and the cap product can be computed by taking the cup product of [Z] and α and capping with the fundamental class of X.

لأن [ Z ] فئة تماثلية، فإن لها تحليل هودج. وبحسب الحساب الذي أجريناه أعلاه، إذا قمنا بتغليف هذه الفئة بأي فئة من النوع${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$ثم نحصل على صفر. لأن${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$نستنتج أن [ Z ] يجب أن يقع في${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$.

يمثل عدد هودج h ( ^{p , q} ( X )) بُعد الفضاء المتجهي المركب H( ^{p , q} ( X )). تُعد هذه الأعداد ثوابت مهمة لتنوع إسقاطي مركب أملس؛ فهي لا تتغير عند تغيير البنية المركبة لـ X بشكل مستمر، ومع ذلك فهي ليست ثوابت طوبولوجية بشكل عام. من بين خصائص أعداد هودج تناظر هودج h( ^{p , q)} = h( ^{q , p)} (لأن H( ^{p , q} ( X )) هو المرافق المركب لـ H( ^{q , p} ( X )) و h ^{(p , q)} = h ^{(n - p , n - q)} (بحسب ازدواجية سير ).

يمكن سرد أعداد هودج لمتنوعة إسقاطية معقدة سلسة (أو مشعب كاهلر مضغوط) في معين هودج (كما هو موضح في حالة البعد المعقد 2):

على سبيل المثال، كل منحنى إسقاطي أملس من النوع g له شكل ماسي هودج

على سبيل المثال، كل سطح K3 يحتوي على ماسة هودج

أعداد بيتي للمجموعة X هي مجموع أعداد هودج في صف معين. ومن التطبيقات الأساسية لنظرية هودج أن أعداد بيتي الفردية b²a _{+ 1 لمجموعة إسقاطية عقدية ملساء (أو مشعب كاهلر مضغوط) تكون زوجية، وذلك بحسب تناظر هودج.} ^لكن هذا لا ينطبق على المشعبات العقدية المضغوطة عمومًا، كما يتضح من مثال سطح هوبف ، الذي يتماثل شكليًا مع S₁ ^× S₃ _، وبالتالي فإن b₁ = ₁ .

تُعدّ "حزمة كاهلر" مجموعةً قويةً من القيود المفروضة على تماثلية المتنوعات الإسقاطية المعقدة الملساء (أو مشعبات كاهلر المدمجة)، وهي مبنية على نظرية هودج. تشمل النتائج نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة ، ونظرية ليفشيتز الصعبة ، وعلاقات هودج-ريمان الثنائية الخطية . ^{[ 9 ]} ينبثق العديد من هذه النتائج من أدوات تقنية أساسية يمكن إثباتها لمشعبات كاهلر المدمجة باستخدام نظرية هودج، بما في ذلك متطابقات كاهلر و...${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ليما .

كما أن نظرية هودج والامتدادات مثل نظرية هودج غير التبادلية تعطي قيودًا قوية على المجموعات الأساسية الممكنة لمتشعبات كاهلر المدمجة.

يترك${\displaystyle X}$أن يكون صنفًا إسقاطيًا معقدًا سلسًا. صنفًا فرعيًا معقدًا${\displaystyle Y}$في${\displaystyle X}$من الأبعاد المشتركة${\displaystyle p}$يُعرّف عنصرًا من مجموعة التماثل.${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$علاوة على ذلك، تتمتع الفئة الناتجة بخاصية مميزة: صورتها في علم التماثل المركب.${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$يقع في الجزء الأوسط من تحليل هودج،${\displaystyle H^{p,p}(X)}$تتنبأ حدسية هودج بعكس ذلك: كل عنصر من${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$صورته في علم التماثل المعقد تقع في الفضاء الجزئي${\displaystyle H^{p,p}(X)}$يجب أن يكون له مضاعف صحيح موجب وهو${\displaystyle \mathbb {Z} }$- توليفة خطية من فئات الأنواع الفرعية المعقدة من${\displaystyle X}$. (يُطلق على هذا التركيب الخطي اسم دورة جبرية على${\displaystyle X}$.)

تتمثل النقطة الحاسمة في أن تحليل هودج هو تحليل للتماثل ذي معاملات مركبة، وهو عادةً لا ينتج عن تحليل للتماثل ذي معاملات صحيحة (أو نسبية). ونتيجة لذلك، فإن التقاطع

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

قد تكون أصغر بكثير من المجموعة بأكملها${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}}$حتى لو كان رقم هودج${\displaystyle h^{p,p}}$كبير. باختصار، تتنبأ فرضية هودج بأن "الأشكال" المحتملة للأصناف الفرعية المعقدة من${\displaystyle X}$(كما هو موضح في علم التماثل) يتم تحديدها بواسطة بنية هودج لـ${\displaystyle X}$(الجمع بين علم التماثل التكاملي وتحليل هودج لعلم التماثل المركب).

تنص نظرية ليفشيتز (1,1) على أن حدسية هودج صحيحة لـ${\displaystyle p=1}$(حتى بشكل صحيح، أي بدون الحاجة إلى مضاعف صحيح موجب في العبارة).

هيكل هودج لمجموعة متنوعة${\displaystyle X}$يصف التكاملات للأشكال التفاضلية الجبرية على${\displaystyle X}$فئات التماثل في${\displaystyle X}$بهذا المعنى، ترتبط نظرية هودج بمسألة أساسية في حساب التفاضل والتكامل : لا توجد عمومًا "صيغة" لتكامل دالة جبرية . على وجه الخصوص، يمكن أن تكون التكاملات المحددة للدوال الجبرية، والمعروفة بالدورات ، أعدادًا متسامية . وتعكس صعوبة حدسية هودج نقص فهم هذه التكاملات بشكل عام.

مثال: لسطح K3 إسقاطي معقد أملس${\displaystyle X}$المجموعة${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{22}}$، و${\displaystyle H^{1,1}(X)}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {C} ^{20}}$يمكن أن يكون لتقاطعها رتبة تتراوح بين 1 و20؛ وتسمى هذه الرتبة عدد بيكارد .${\displaystyle X}$فضاء المعاملات لجميع الأسطح الإسقاطية K3 يحتوي على مجموعة لا نهائية قابلة للعد من المكونات، كل منها ذو بُعد مركب 19. الفضاء الجزئي لأسطح K3 ذو عدد بيكارد${\displaystyle a}$له أبعاد${\displaystyle 20-a}$^{[ 10 ]} (وبالتالي ، بالنسبة لمعظم أسطح K3 الإسقاطية، فإن تقاطع${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$مع${\displaystyle H^{1,1}(X)}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$لكن بالنسبة لأسطح K3 "الخاصة"، يمكن أن يكون التقاطع أكبر.

يُشير هذا المثال إلى أدوارٍ مُتعددةٍ تُؤديها نظرية هودج في الهندسة الجبرية المُعقدة. أولًا، تُحدد نظرية هودج قيودًا على الفضاءات الطوبولوجية التي يُمكن أن تمتلك بنية مُتنوع إسقاطي مُعقد أملس. ثانيًا، تُقدم نظرية هودج معلوماتٍ حول فضاء المعاملات للمُتنوعات الإسقاطية المُعقدة الملساء ذات نوع طوبولوجي مُحدد. وتكون الحالة المُثلى عندما تتحقق نظرية توريلي ، أي أن المُتنوع مُحدد حتى التشاكل بواسطة بنية هودج الخاصة به. أخيرًا، تُقدم نظرية هودج معلوماتٍ حول زمرة تشاو للدورات الجبرية على مُتنوع مُعين. وتتعلق حدسية هودج بصورة خريطة الدورة من زمر تشاو إلى علم التماثل العادي، لكن نظرية هودج تُقدم أيضًا معلوماتٍ حول نواة خريطة الدورة، على سبيل المثال باستخدام جاكوبيان الوسيطة المُبنية من بنية هودج.

تُوسّع نظرية هودج المختلطة ، التي طورها بيير ديلين ، نظرية هودج لتشمل جميع الأصناف الجبرية المعقدة، وليس بالضرورة الأصناف الملساء أو المتراصة. بمعنى آخر، فإن تماثل أي صنف جبري معقد له نوع أكثر عمومية من التفكيك، وهو بنية هودج المختلطة .

يُقدّم علم التماثل التقاطعي تعميمًا مختلفًا لنظرية هودج على الأصناف الشاذة . فقد بيّن موريهيكو سايتو أن علم التماثل التقاطعي لأي صنف إسقاطي معقد (ليس بالضرورة أملسًا) له بنية هودج خالصة، تمامًا كما في الحالة الملساء. في الواقع، تمتد حزمة كاهلر بأكملها لتشمل علم التماثل التقاطعي.

من الجوانب الأساسية للهندسة المعقدة وجود عائلات متصلة من المشعبات المعقدة غير المتماثلة (والتي تتشابه جميعها في شكلها كمشعبات حقيقية). يصف مفهوم فيليب غريفيث لتنوع بنية هودج كيف أن بنية هودج لمتنوع إسقاطي معقد أملس${\displaystyle X}$يختلف عندما${\displaystyle X}$يختلف الأمر. من الناحية الهندسية، يُعادل هذا دراسة رسم الخرائط الدورية المرتبطة بمجموعة من الأصناف. تُعد نظرية سايتو لوحدات هودج تعميمًا لهذه النظرية. وبشكل تقريبي، وحدة هودج مختلطة على صنف ما${\displaystyle X}$هي عبارة عن حزمة من هياكل هودج المختلطة فوق${\displaystyle X}$، كما قد ينشأ من عائلة من الأصناف التي لا يشترط أن تكون ناعمة أو متراصة.

• نظرية الجهد
• ازدواجية سير
• تحلل هيلمهولتز
• نظرية الدورة الثابتة المحلية
• نظرية أراكيلوف
• نظرية هودج-أراكيلوف
• ddbar lemma ، وهي نتيجة رئيسية لنظرية هودج للمشعبات الكاهلرية المدمجة.

• أرابورا، دونو، حساب بعض أرقام هودج (PDF)
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994) [1978]. مبادئ الهندسة الجبرية . مكتبة وايلي كلاسيكس. وايلي إنترساينس. ISBN 0-471-05059-8MR 0507725 .​ 
• هودج، دبليو في دي (1941)، "نظرية وتطبيقات التكاملات التوافقية"، مجلة نيتشر ، المجلد  148، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص  97، رمز Bibcode : 1941Natur.148...97D ، doi : 10.1038/148097a0 ، ISBN 978-0-521-35881-1، MR 0003947 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• Huybrechts، Daniel (2005)، الهندسة المعقدة: مقدمة ، سبرينغر ، ISBN 3-540-21290-6، MR 2093043 
• فوازين، كلير (2007) [2002]، نظرية هودج والهندسة الجبرية المعقدة (مجلدان) ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511615344 ، ISBN 978-0-521-71801-1، MR 1967689 
• وارنر، فرانك (1983) [1971]، أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات لي ، سبرينغر ، ISBN 0-387-90894-3، MR 0722297 
• ويلز الابن، ريموند أو. (2008) [1973]، التحليل التفاضلي على المشعبات المعقدة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  65 (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر ، doi : 10.1007/978-0-387-73892-5 ، hdl : 10338.dmlcz/141778 ، ISBN 978-0-387-73891-8MR 2359489​ 
• كود بايثون لحساب أعداد هودج للأسطح الفائقة على GitHub